Сегодня затронем очень распространенную задачу в курсе высшей математики — вычисление определителя матрицы. С необходимостью вычисления определителя можно встретиться в большинстве предметов, поэтому уметь его находить нужно обязательно. Что же такое определитель? Определитель — это многочлен, комбинирующий элементы квадратной матрицы таким образом, что его значение сохраняется при транспонировании и линейных комбинациях строк или столбцов. Тогда забудьте, для решения задач вам это не пригодится. А вот что стоит запомнить, так это то, что вычислить определитель можно только для квадратной матрицы. Чаще всего на практике требуется найти определитель матриц 2х2 и 3х3. Реже — определитель 4-го порядка. И еще пару слов про обозначения. Запомните эту формулу, кроме нее вам ничего не придется запоминать, определители 3-го, 4-го и высших порядков считаются, основываясь на ней же. Переходим к матрицам 3х3. Для нахождения определителя матрицы 3-го порядка существует формула:. Но как по мне, запоминать ее — только над своим мозгом издеваться. Можно, конечно, пользоваться ей с листочка, но велика вероятность запутаться. Есть более простой вариант использования этой формулы — способ Саррюса. Если приглядеться, то мы получили формулу, данную чуть выше, только теперь ничего не надо запоминать. Этот метод вычисления хоть и довольно прост, но не пользуется большой популярностью. В большинстве случаев для матриц 3-го порядка применяется метод раскрытия по строке столбцу. Поэтому следует научиться решать именно этим методом, а не предыдущим. Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки столбца на соответствующие алгебраические дополнения. В данном случае удобнее раскрыть определитель по первой строке, поскольку в ней присутствует 0, что несколько упростит вычисления. Мысленно выделяем первую строку я для наглядности обведу ее красным цветом. В этом месте хочу сделать отступление и напомнить общепринятый вид матрицы. До этого для простоты использовалось обозначение матрицы через , но теперь нас не устроят эти обозначения, поскольку дальше вы ничего не поймете. Матрицы принято записывать с помощью двойных индексов, первый из которых обозначает номер строки, а второй — номер столбца, в котором стоит элемент. Теперь, ориентируясь на эту классическую матрицу, выписываем из нашей матрицы первый элемент первой строки, то есть. И, наконец, трюк с вычеркиванием. Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит первый элемент первую строку и первый столбец , а все что осталось записываем в определитель. Теперь уже он имеет размерность 2х2. Переходим ко второму слагаемому. Выписываем второй элемент первой строки. В общем виде он имеет маркировку , и в нашем случае равен 0. Дальнейшие множители в практическом задании выписывать не имело бы смысла, но я распишу все подробно, чтобы было понятно откуда что берется. Затем мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит наш. Оставшееся переписываем в определитель 2х2 и умножаем на то, что уже имеется во втором слагаемом:. Наконец, третий элемент первой строки. Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит , оставшееся записываем в определитель 2х2. Ну вот, основная работа сделана — мы разложили определитель 3-ей размерности по первой строке. В этом разложении теперь присутствуют определители 2-го порядка, а что делать с ними мы уже изучили в начале данной статьи. Главное быть внимательным и не запутаться в знаках. В данном примере мы раскладывали определитель по первой строке, поскольку в ней стоит и это избавляет нас от подсчета одного слагаемого. Если бы стоял в первом столбце и во второй или третьей строке, то было бы целесообразно раскладывать определитель по первому столбцу. Если же нулей в матрице нет, то можно раскладывать по ЛЮБОЙ строке или по ЛЮБОМУ столбцу — смотря что вам больше понравится. Для закрепления материала давайте найдем определитель матрицы без нулей. И разложим его по второму столбцу так мне захотелось. Матрица придумана мной, поэтому определитель получился таким жестоким. На практике такие почти не встречаются. Определитель матрицы 4х4 вычисляется по той же схеме. Для примера разложу один, но для определителя 4-го порядка получаются весьма громоздкие вычисления и шанс где-нибудь ошибиться резко возрастает. Поэтому, для нахождения определителей выше 3-го порядка существуют более эффективные способы. С ними мы и познакомимся в следующий раз. Заказать работу Готовые работы Учимся решать Посмеёмся Карта сайта вматематике. Выполняем контрольные, рефераты, курсовые, дипломы по всем предметам. Как найти определитель матрицы?
Высшая математика — просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: Наш форум и библиотека: Не нашлось нужной задачи? Задайте вопрос на форуме! Высшая математика для чайников, или с чего начать? Векторы для чайников Скалярное произведение векторов Линейная не зависимость векторов. Базис векторов Переход к новому базису Векторное и смешанное произведение векторов Формулы деления отрезка в данном отношении Прямая на плоскости Простейшие задачи с прямой на плоскости Линейные неравенства Как научиться решать задачи по аналитической геометрии? Эллипс Гипербола и парабола Задачи с линиями 2-го порядка Как привести уравнение л. Полярные координаты Как построить линию в полярной системе координат? Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида. Множества и действия над ними Основы математической логики Формулы и законы логики Уравнения высшей математики Комплексные числа Выражения, уравнения и с-мы с комплексными числами Действия с матрицами Как вычислить определитель? Свойства определителя и понижение его порядка Как найти обратную матрицу? Матричные выражения Матричные уравнения Как решить систему линейных уравнений? Матричный метод решения системы Метод Гаусса для чайников Несовместные системы и системы с общим решением Как найти ранг матрицы? Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы. Примеры решений Замечательные пределы Методы решения пределов Бесконечно малые функции. Эквивалентности Правила Лопиталя Сложные пределы Пределы последовательностей Пределы по Коши. Примеры решений Логарифмическая производная Производные неявной, параметрической функций Простейшие задачи с производной Производные высших порядков Что такое производная? Производная по определению Как найти уравнение нормали? Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных. Графики и свойства элементарных функций Как построить график функции с помощью преобразований? Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи. Область определения функции двух переменных. Линии уровня Основные поверхности Предел функции 2 переменных Повторные пределы Непрерывность функции 2п Частные производные Частные производные функции трёх переменных Производные сложных функций нескольких переменных Как проверить, удовлетворяет ли функция уравнению? Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов. Примеры решений Метод замены переменной в неопределенном интеграле Интегрирование по частям Интегралы от тригонометрических функций Интегрирование дробей Интегралы от дробно-рациональных функций Интегрирование иррациональных функций Сложные интегралы Определенный интеграл Как вычислить площадь с помощью определенного интеграла? Теория для чайников Объем тела вращения Несобственные интегралы Эффективные методы решения определенных и несобственных интегралов S в полярных координатах S и V, если линия задана в параметрическом виде Длина дуги кривой S поверхности вращения Приближенные вычисления определенных интегралов Метод прямоугольников. Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты. Ряды для чайников Как найти сумму ряда? Признаки Коши Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница Ряды повышенной сложности. Степенные ряды Разложение функций в степенные ряды Сумма степенного ряда Равномерная сходимость Другие функциональные ряды Приближенные вычисления с помощью рядов Вычисление интеграла разложением функции в ряд Как найти частное решение ДУ приближённо с помощью ряда? Вычисление пределов Ряды Фурье. Двойные интегралы Как вычислить двойной интеграл? Примеры решений Двойные интегралы в полярных координатах Как найти центр тяжести плоской фигуры? Тройные интегралы Как вычислить произвольный тройной интеграл? Криволинейные интегралы Интеграл по замкнутому контуру Формула Грина. Работа силы Поверхностные интегралы. Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса. Примеры решений типовых задач комплексного анализа Как найти функцию комплексной переменной? Решение ДУ методом операционного исчисления Как решить систему ДУ операционным методом? Основы теории вероятностей Задачи по комбинаторике Задачи на классическое определение вероятности Геометрическая вероятность Задачи на теоремы сложения и умножения вероятностей Зависимые события Формула полной вероятности и формулы Байеса Независимые испытания и формула Бернулли Локальная и интегральная теоремы Лапласа Статистическая вероятность Случайные величины. Математическое ожидание Дисперсия дискретной случайной величины Функция распределения Геометрическое распределение Биномиальное распределение Распределение Пуассона Гипергеометрическое распределение вероятностей Непрерывная случайная величина, функции F x и f x Как вычислить математическое ожидание и дисперсию НСВ? Равномерное распределение Показательное распределение Нормальное распределение. Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом. Заказать контрольную Часто задаваемые вопросы Гостевая книга. Авторские работы на заказ. По высшей математике и физике. В ходе решения задач по высшей математике очень часто возникает необходимость вычислить определитель матрицы. Определитель матрицы фигурирует в линейной алгебре, аналитической геометрии, математическом анализе и других разделах высшей математики. Таким образом, без навыка решения определителей просто не обойтись. Также для самопроверки Вы можете бесплатно скачать калькулятор определителей , он сам по себе не научит решать определители, но очень удобен, поскольку всегда выгодно заранее знать правильный ответ! Я не буду давать строгое математическое определение определителя, и, вообще, буду стараться минимизировать математическую терминологию, большинству читателей легче от этого не станет. Задача данной статьи — научить Вас решать определители второго, третьего и четвертого порядка. Весь материал изложен в простой и доступной форме, и даже полный пустой чайник в высшей математике после внимательного изучения материала сможет правильно решать определители. Определитель можно вычислить только для квадратной матрицы более подробно см. На практике чаще всего можно встретить определитель второго порядка, например: Определитель четвертого порядка тоже не антиквариат, и к нему мы подойдём в конце урока. Надеюсь, всем понятно следующее: Числа внутри определителя живут сами по себе, и ни о каком вычитании речи не идет! Менять местами числа нельзя! Как частность, можно осуществлять парные перестановки строк или столбцов определителя со сменой его знака, но часто в этом нет никакой необходимости — см. Таким образом, если дан какой-либо определитель, то ничего внутри него не трогаем! Если дана матрица , то ее определитель обозначают. Вычислить определитель — это значит НАЙТИ ЧИСЛО. Для этого нужно применить определенные правила, формулы и алгоритмы, о чём сейчас и пойдет речь. Формула длинная и допустить ошибку по невнимательности проще простого. Как избежать досадных промахов? Для этого придуман второй способ вычисления определителя, который фактически совпадает с первым. Суть состоит в том, что справа от определителя приписывают первый и второй столбец и аккуратно карандашом проводят линии:. Нетрудно заметить, что это ОДНО И ТО ЖЕ, просто во втором случае немного переставлены множители формулы, и, самое главное, вероятность допустить ошибку значительно меньше. Потому что в подавляющем большинстве случаев определители требуется раскрывать именно так. Решить определитель можно, раскрыв его по любой строке или по любому столбцу. Таким образом, получается 6 способов, при этом во всех случаях используется однотипный алгоритм. Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки столбца на соответствующие алгебраические дополнения. Все намного проще, будем использовать ненаучный, но понятный подход, доступный даже для человека, далекого от математики. В следующем примере будем раскрывать определитель по первой строке. Для этого нам понадобится матрица знаков: Легко заметить, что знаки расположены в шахматном порядке. Матрица знаков — это мое собственное изобретение. Данное понятие не научное, его не нужно использовать в чистовом оформлении заданий, оно лишь помогает Вам понять алгоритм вычисления определителя. Сначала я приведу полное решение. Снова берем наш подопытный определитель и проводим вычисления:. Термин рекомендую запомнить, тем более, он запоминающийся: Коль скоро выбран способ разложения определителя по первой строке , очевидно, что всё вращается вокруг неё: Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель. НЕ ПУТАЕМСЯ В ЗНАКАХ! Аналогично определитель можно разложить по любой строке или по любому столбцу. Естественно, во всех шести случаях ответ получается одинаковым. При этом матрица знаков у нас увеличится:. А как это получилось, попробуйте разобраться самостоятельно. Дополнительная информация будет позже. Если кто захочет прорешать определитель до конца, правильный ответ: Для тренировки лучше раскрыть определитель по какому-нибудь другому столбцу или другой строке. Потренироваться, раскрыть, провести расчёты — это очень хорошо и полезно. Но сколько времени вы потратите на большой определитель? Нельзя ли как-нибудь быстрее и надёжнее? Предлагаю ознакомиться с эффективными методами вычисления определителей на втором уроке — Свойства определителя. Как можно отблагодарить автора? Качественные работы без плагиата — Zaochnik. Копирование материалов сайта запрещено. Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида Элементы высшей алгебры: Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы Пределы: Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных Функции и графики: Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи ФНП: Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов Интегралы: Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты Числовые ряды: Признак Лейбница Ряды повышенной сложности Функциональные ряды: Примеры решений Кратные интегралы: Работа силы Поверхностные интегралы Элементы векторного анализа: Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса Комплексный анализ: Подготовка к ЕГЭ По высшей математике и физике Помогут разобраться в теме, подготовиться к экзамену.
https://gist.github.com/06d0db4da8a7ef75bc864515193182d4
https://gist.github.com/2061c10c271524407d43030b8103f57a
https://gist.github.com/70225b1b2f35676805fb9aa58aece301