Краткая история развития алгебры
Реферат по алгебре ученицы Храмцовой Ольги на тему "История возникновения алгебры" (7 класс)
История возникновения алгебры и ее развития
История возникновения алгебры уходит своими корнями в глубокую древность. Очевидно, ее появление было вызвано и непосредственно связано с первыми астрономическими и другими расчетами, так или иначе использующими натуральные числа и арифметические операции. История возникновения алгебры подтверждается подобными оригинальными записями, найденными среди образцов письменности самых ранних цивилизаций. К примеру, египтяне и вавилоняне уже умели решать простейшие уравнения первой и второй степеней, квадратные уравнения. Но их вычисления носили строго практический характер. История возникновения алгебры, как теоретической науки, приводит нас в античную Грецию. Именно здесь в IV веке появилось первое сочинение, которое являлось непосредственным исследованием абстрактных алгебраических вопросов. Это был трактат мыслителя Диофанта. Здесь уже четко обозначены простейшие алгебраические аксиомы: К сожалению, это единственный труд, который дошел до нас из седых древних времен, да и то не в полном объеме. С крушением античной цивилизации под натиском варварских народов теряются и многие ее достижения. В том числе и история алгебры прерывает свое развитие у европейских народов на целое тысячелетие. С VII века центром множества наук, а математики и медицины особенно, становится мусульманский Восток. Как бы то ни было, но именно арабский мир на долгие столетия становится светочем науки. Вместе с тем восточные последователи, очевидно, опирались на некоторые греческие достижения. Во всяком случае, точно известно, что им были известны труды античных математиков. С одной стороны, мусульманам действительно принадлежит заслуга сохранения для мира античного алгебраического наследия, но вместе с тем, за несколько столетий они так и не внесли в развитие этой науки новых существенных открытий. Математика изучалась, но не совершенствовалась. Интересно, что история возникновения алгебры вовсе не ограничивается Европой и имеющей с ней связь арабской цивилизацией. Так, существенных результатов в этой науке достигли индийские математики. Китайцы совершенно независимо, еще на заре нашей эры, научились решать уравнения первой степени. Им были известны иррациональные и отрицательные числа. Прерванная история развития алгебры вновь начинает свой отсчет уже в Новое время. Первым сочинением после трактата Диофанта считается труд купца из Италии Леонардо, который познакомился с арифметикой и алгеброй, путешествуя по востоку. Постепенное разложение феодализма, а вместе с ним церковной схоластики и догматики, неторопливая поступь капитализма и стремление к территориальным открытиям привели к возрождению все научные отрасли на континенте. И уже спустя пару столетий Европа вновь становится передовым в научном и техническом плане регионом. Жизнь Экономика Наука Авто Отдых Хай-тек Здоровье. Самый красивый летний мальчик в мире. Почему вам необходим регулярный секс. Лучшие стрижки для тех, кому за Как холодная вода влияет на здоровье? О чем сожалеют на смертном одре: ТОП самых извращенных тенденций красоты. Почему надо заниматься сексом как можно чаще? Как дата рождения определяет всю вашу дальнейшую жизнь. Забавные факты о сексе, которые вам стоит узнать. Главная Образование История История возникновения алгебры и ее развития. Подписаться Поделиться Рассказать Рекомендовать. Подписаться Поделиться Рассказать Рекоммендовать. Иногда на снимки попадали поистине неверо Топ разорившихся звезд Оказывается, иногда даже самая громкая слава заканчивается провалом, как в случае с этими знаменитостями Никогда не делайте этого в церкви! Если вы не уверены относительно того, правильно ведете себя в церкви или нет, то, вероятно, поступаете все же не так, как положено. Как жаль, что хорошие супруги не растут на деревьях. Если ваша вторая половинка делает эти 13 вещей, то вы можете с Каково быть девственницей в 30 лет? Каково, интересно, женщинам, которые не занимались сексом практически до достижения среднего возраста?
Знакомство с математикой греч. Один из первых русских учебников, написанный Л. Магницким в г. Арифметика изучает действия над числами, учит решать задачи, сводящиеся к арифметическим операциям: Изучение свойств самих чисел составляет предмет теории чисел. Основные этапы развития арифметики: В современном изложении, арифметика — область знаний о числе и арифметических операциях в числовых множествах. Арифметику можно представлять и как начальную ступень математики, на которой, когда возникла необходимость в поиске общих приемов решения однотипных арифметических задач, и появилась алгебра. В школьном курсе алгебры, после изучения алгебраических уравнений 1-й степени линейных уравнений , выделяются два направления изучения предмета: Эти направления развивались и в высшей алгебре: В первом случае следует отметить вклад Э. Работы Галуа содержали окончательное решение проблемы о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах Сегодня это называется теорией Галуа [9] и составляет один из самых глубоко проработанных разделов алгебры. Во втором случае исследование систем уравнений привело к созданию теории определителей, а затем и алгебры матриц. Появление теоремы Кронекера-Капелли завершило построение общей теории систем линейных уравнений. Оба направления оказались настолько плодотворными, что из них возникло несколько новых разделов алгебры, стимулируемых запросами, не только математическими, но и естественно научными дисциплинами. Казалось, что развитие алгебры пойдет по традиционному пути. Будут искать новые классы уравнений, доказывать новые тождества и т. Гамильтон , но в середине XIX в. Hausdorff и, особенно, Г. Cantor , была создана теория множеств — учение о свойствах множеств элиминирующих лат. Важным здесь оказались именно свойства множеств как носителя информации, а не его природа то есть его элементов. К свойствам множеств как объекта для алгебры относятся операции алгебраические и аналогичные им по смыслу, результат применения которых к элементам множества дает элемент того же множества. Анализ применения арифметических операций сложения, умножения, вычитания и деления и арифметических действий наибольшего общего делителя, наименьшего общего кратного и др. Более того, оказалось, что и для нечисловых множеств например, векторов или подобных треугольников выполняются операции сложения и умножения не в смысле их обозначения или названий, а в содержательном смысле, представленном в виде свойств. Тем самым был осуществлен переход от алгебры первого уровня абстракции — использование вместо чисел букв при поиске общих приемов решения арифметических задач — к алгебре более высокого уровня абстракции: Изучение системы аксиом, определяющих операцию композиции, привело к мысли, что можно изучать только их свойства независимо от объектов, к которым они применяются. Это означает, что два множества с заданными операциями, между которыми можно установить взаимно-однозначное соответствие и они удовлетворяют одной и той же системе аксиом, одинаковы. Такие множества называются изоморфными , то есть обладающими одинаковыми свойствами. Другими словами, изучая одно из них, мы тем самым узнаем свойства другого. Поскольку различных множеств с заданными в них операциями очень велико, то стали классифицировать множества хотя и не изоморфные, но обладающие общими свойствами частично. Классы таких множеств получили название алгебраической системы , то есть системы, генерирующей множества с операциями универсальные алгебры. Ясно, что алгебраическая система сама является универсальной алгеброй. Например, изучив свойства операции умножения матриц, пришли к выделению понятия группы, одного из важнейших понятий не только как представителя универсальной алгебры [2, 7], но и во всей математике. Другим примером универсальной алгебры является понятие поля — множества, для элементов которого определены две операции композиции: Наиболее известны поля множеств рациональных чисел Q , действительных вещественных чисел R , комплексных чисел C , названия которых образованы от французских слов Quotient — отношение, Reel — действительный, Complex — комплексный. Аксиомы поля подобраны так, чтобы в нем выполнялись не только арифметические операции, но и большинство других действий в зависимости от конкретного числового множества. Так как каждое из перечисленных числовых множеств является полем, то, чтобы не связывать себя с числами из конкретных множеств, назовем элементы множеств скалярами scalaris — ступенчатый — величины, определяемые только своими числовыми значениями [2, 11]. Скалярное множество будем называть полем, если в нем заданы две бинарные операции композиции: Для любых скаляров a , b , g из числового множества найдется скаляр , называемый суммой a и b , такой, что. Для любых скаляров a , b , g найдется скаляр или , называемый произведением a и b , такой, что. Легко проверить, что множества Q , R , C удовлетворяют этим наборам аксиом. В дальнейшем в качестве основного будем рассматривать поле действительных чисел. Среди других универсальных алгебр отметим а решетки — множества с двумя бинарными операциями; например, решетку образует множество положительных рациональных чисел с операциями нахождения наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя; б линейные пространства над числовым полем — множество с одной операцией — сложения и умножением на скаляры; в множество с одной бинарной операцией, обычно называемой умножением реже — сложением , удовлетворяющей системе аксиом B 1 — 4 поля, называется группой , а множество с двумя операциями называется кольцом. Пусть задано непустое множество G с одной алгебраической операцией композиции, обычно называемой умножением. Тогда для любых элементов a , b из G композиция записывается в виде и является элементом G. Подстановкой множества называется взаимно-однозначное отображение этого множества на себя по следующей схеме. Пусть , тогда подстановка обозначается как , где ,. Произведением называется подстановка, получаемая по правилу: В аксиоме 2 в качестве нейтрального элемента используется тождественная подстановка , то есть , в которой каждый элемент переходит в себя порядок чисел в верхней строке не важен. Для аксиомы 3 в качестве обратного элемента рассматривается подстановка , действующая наоборот, то есть или. Для подстановки s обратная. Тем самым показано, что конечные подстановки образуют группу по умножению. В дальнейшем они будут использованы при аксиоматическом построении и вычислении определителей. Относительно группы с операцией сложения заметим, что обычно она абелева и используются аксиомы 1 — 4 с соответствующей поправкой на знак операции. Примерами таких групп являются множества целых чисел , множество четных целых чисел. Покажем, что для любых элементов a , b группы G , уравнения и имеют единственное решение: В самом деле, имеем. Аналогично можно доказать обратимость сложения — это вычитание, для групповой операции сложения: Пусть задано непустое множество K с двумя алгебраическими операциями: Множество K называется кольцом, если выполняются свойства аксиомы. Из аксиом набора A , B , C 1—6 следует, что кольцо образует абелеву группу относительно сложения. Единицей кольца является символ 1, причем. Кольцо не обязано обладать единицей, а также не всегда , если и [3, 11]. Если в B добавлена аксиома , то кольцо называется коммутативным. Кольцо одно из самых популярных универсальных алгебр. Алгебра, как часть математики, в своем развитии прошла два неравноценных по времени этапа. Первый этап тысячелетний, до середины XIX в. Алгебру этого времени условно назовем элементарной. Были решены все поставленные перед ней до XVII в задачи. К этому времени алгебра не только получила самостоятельное развитие и уже не опиралась на геометрию, но ее методы стали использоваться и в самой геометрии. Завершился первый этап созданием общей теории решения систем линейных алгебраических уравнений, комплексных чисел и решением проблемы разрешимости алгебраических уравнений в радикалах. Второй этап последние лет условно назовем современной алгеброй. Отметим её вклад в теорию множеств, создание универсальных алгебр и алгебраических систем — глубоко разработанной теории, объединяющей алгебру и математическую логику. На долю линейной алгебры отнесем изучение линейных векторных пространств, линейных преобразований операторов, функций билинейных и квадратичных форм на линейных пространствах и, кроме того, исследование решений систем линейных уравнений и неравенств. Ясно, что основным инструментом исследования являются теория множеств, математическая логика и методы, собственно, самой алгебры, не говоря об арифметике [3, 7]. Результаты, полученные в линейной алгебре, востребованы в математических и естественных науках, математической экономике, из прикладных отметим компьютерные науки: Существует направление в науке — теория нейронных систем [12] и сетей с компонентами из искусственных нейронов. Методы линейной алгебры в них являются основными при проверке эффективности работы параллельных программ. Множество — фундаментальное понятие математики, используемое почти во всех ее разделах. Каждый, имеющий отношение к науке, будь то математик, инженер или философ, в своих исследованиях всегда приходит к обобщениям, то есть рассматривает некоторую совокупность объектов как целое. Известное определение одного из основателей теории множеств Г. Со временем, когда идеи Кантора стали проникать в умы исследователей, появились противоречия антиномии и определение Кантора перешло в разряд поясняющих понятий. Иначе и быть не могло, поскольку множество есть понятие исходное, на котором конструируются остальные понятия современной математики и, следовательно, пока неопределяемое. Будем придерживаться мнения, что множество — совокупность объектов, объединенных общим признаком , свойством. Объекты множества называются его элементами. Описание элементов есть описание множества и наоборот. Если число элементов множества ограничено, то оно называется конечным, иначе — бесконечным. Если число элементов множества мало, то его описание обычно трудностей не вызывает достаточно перечислить его элементы. Ранее, при обсуждении понятия универсальной алгебры, характеристическим свойством множеств объявлялась алгебраическая операция или система ее аксиом. Свойство P не должно быть противоречивым или слишком длинным чтобы мысль не терялась. В связи со сказанным основания теории множеств будем излагать, используя аксиоматический подход. Конечно, аксиомы тоже основаны на интуитивном представлении о множествах, но благодаря такому подходу не будет возникать необходимости привлекать интуитивное представление при выявлении тех или иных свойств множеств, следующих из систем аксиом. При изучении свойств множеств часто возникает необходимость группировать элементы множеств по признакам. Если все элементы множества распределены по группам и нет элемента, который мог бы находиться в двух группах, то множество разбито на непересекающиеся группы или классы. Оказывается, что не всегда множество можно разбить на классы, хотя способов достаточно много. Пусть мы пожелали получить на некотором числовом множестве разбиение чисел по признаку: Такого разбиения быть не может [3], ведь по условию никакое число не может попасть в один класс с самим собой, поскольку получается, что должно быть , а это невозможно сравни с. Поэтому для того, чтобы разбиение на классы было осуществимо, должны быть выработаны условия осуществимости. В алгебре этому посвящен раздел, изучающий отношения — одна из форм взаимосвязи объектов исследования. Под отношениями понимаются, например: Отношением эквивалентности для элементов a , b , c , … множества, называется признак, удовлетворяющий условиям:. Понятия, родственные эквивалентности, — равенство, тождество. Легко проверить выполнение этих условий для классов. A , B , C , …, , , , …, для обозначения элементов множеств: Если множество A состоит из элементов a , b , c , то есть конечное, то пишут. Пусть , где R — множество действительных чисел. Это множество может быть интерпретировано и как множество, состоящее из трех элементов, являющихся корнями уравнения, и как множество, у которого хотя бы один из них есть действительное число, в то время как два других корня могут быть комплексными числами. Поскольку при таком описании мы не можем точно сказать, является ли произвольно выбранное число элементом множества, то это означает, что его характеристическое свойство неопределенно. Следует данное множество определить, например, так: Заметим, что условие не является необходимым. Может оказаться, что во множестве, заданном характеристическим свойством, не содержится ни одного элемента. Например, , если решение уравнения рассматривать в области действительных чисел, и состоит из двух элементов , если решать уравнение в области комплексных чисел, где. Кстати, уже можно сформулировать аксиому: Кажется, что пустое множество не несет никакой конструктивной информации. На самом деле это не так. Его введение позволило получить, например, фундаментальные результаты как в самой алгебре, так и в других теориях, например теории вероятностей [8, 12]. Пусть M — множество и множество , говорят, что B подмножество M. Пустое множество является подмножеством любого множества, то есть. Множество, элементами которого являются другие множества, называется системой множеств. Все его возможные подмножества: Обозначим через систему множеств, состоящую из всех подмножеств множества A. Говорят, что порождена множеством A. Множества типа относятся к классу универсальных. В теориях и приложениях важными являются бесконечные универсальные множества пространства. В таких множествах можно выполнять действия с целью получения других множеств. Выполнения этих действий в универсальных множествах, аналогичных алгебраическим операциям в универсальных алгебрах, приводит к результату, который определяется как подмножество исходного множества. Эти операции называются теоретико-множественными. К ним относятся операции: Эти операции сильно напоминают алгебраические, что находит подтверждение и в аксиомах теории множеств [6], основанных, в общем-то, на здравом смысле. Аксиомы не являются независимыми. Например, аксиома умножения выводится из аксиомы разности, так как. Из аксиом 1 и 2 следует единственность , аналогично получаем единственность. Из аксиом 1, 4 и 5 следует, что существует единственное множество — не содержащее элементов, то есть пустое множество. Пусть F — система множеств. Если для любых выполняется операции. Применяя алгебраическую терминологию, можно сказать, что алгебра множеств есть коммутативное кольцо с единицей. Число — одно из основных понятий математики. Число выражает результат измерения или счета. Для изображения чисел используют различные специальные знаки, называемые цифрами. В Древней Руси, культура которой была тесно связана с греческой, числа, как и у греков, записывались буквами. Числа 1,2,3… обозначались буквами , , …. В России уже в XVII в. Впервые появилась в Индии и через арабов попала в Россию, отсюда и название — арабские цифры. Из этих цифр можно построить любое, сколь угодно большое, но конечное натуральное число. Наряду с натуральными числами применялись дроби — числа, составленные из целого числа долей единицы. Множества натуральных чисел и дробей было достаточно, чтобы выразить результат любого измерения. Древнегреческие ученые могли выполнять все арифметические действия, включая возведения в степень, извлечение корня, имели понятие об аналоге нуля, но этого было недостаточно, чтобы все операции объединить в единую систему, поскольку не существовало еще идеи числа. Поэтому сильнейшим шоком для всех оказалось открытие несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной. Оказалось, что натуральных чисел вместе с дробями недостаточно, чтобы решить эту проблему, когда выяснилось, что диагональ квадрата со стороной 1 равна. Такие числа они назвали иррациональными, то есть недоступными разуму. Возможно, что отсюда началась эпоха теоретической математики: Математика разделилась на две части: С развитием алгебры, то есть с появлением уравнений, для их решения, уже в первой степени, потребовались отрицательные числа и 0. Изучение понятия числа осуществлялось не только путем обобщения были сначала открыты комплексные числа, а затем осуществлено формальное построение теории действительных чисел , но и путем выделения важных частных случаев. Во множестве действительных чисел выделены множества рациональных и иррациональных чисел. Рациональные числа всегда представимы в виде десятичных дробей, в которых, начиная с некоторого места, числа повторяются имеют период , а иррациональные периода не имеют, то есть их задают бесконечной десятичной непериодической дробью. Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Следующая. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование. Деталирование сборочного чертежа Когда производственнику особенно важно наличие гибких производственных мощностей? Собственные движения и пространственные скорости звезд Тема
Каталог виктории калининград
Как быстро научиться разговаривать по соленому
Магазин проспект асбест каталог товаров
Расписание электричек подсолнечная фроловское
Валерия познакомится с парнем