Способы решения уравнений содержащих модуль
Содержание:
Уравнения с модулем. Средний уровень.
Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно. Способы решения уравнений содержащих модуль. Основные способы, используемые при решении уравнений, содержащих модуль. Напомним основные понятия, используемые в данной теме. Уравнением с одной переменной называют равенство, содержащее переменную. Корнями уравнения называются значения переменной, при которых уравнение обращается в верное равенство. Решить уравнение — значит, найти все его корни или доказать, что корней нет. Уравнением с модулем называют равенство, содержащее переменную под знаком модуля. При решении уравнений, содержащих знак абсолютной величины, мы будем основываться на определении модуля числа и свойствах абсолютной величины числа. Существует несколько способов решения уравнений с модулем. Рассмотрим каждый из них. Исходя из определения модуля, произведем следующие рассуждения. Решая полученные уравнения, находим: Рассуждая аналогично, рассмотрим два случая. Используя еще раз определение модуля, получим: Понятно, что в этом случае уравнение не имеет решений, так как по определению модуль всегда неотрицателен. Метод интервалов — это метод разбиения числовой прямой на промежутки, в которых по определению модуля знак абсолютной величины можно будет снять. Для каждого из промежутков необходимо решить уравнение и сделать вывод относительно получившихся корней. Корни, удовлетворяющие промежуткам, и дадут окончательный ответ. Найдем корни нули каждого выражения, содержащегося под знаком модуля: Эти значения х разбивают числовую прямую на три промежутка: Число -4 является решением данного уравнения, так как оно принадлежит рассматриваемому промежутку. Рассуждая аналогично, получим уравнение: Прежде всего, следует установить область допустимых значений. Возникает естественный вопрос, почему в предыдущих примерах не было необходимости этого делать. В этом уравнении в правой части стоит выражение с переменной, которое может быть отрицательным. Найдем нуль выражения, стоящего под знаком модуля: Это значение принадлежит ОДЗ, значит, является корнем уравнения. Суть данного метода заключается в использовании графиков функций для нахождения корней уравнения. Этот метод реже других применяют для решения уравнений, содержащих модуль, так как, во-первых, он занимает достаточно много времени и не всегда рационален, а, во-вторых, результаты, полученные при построении графиков, не всегда являются точными. Графики не пересекаются, значит, уравнение не имеет решений. Абсциссы точек пересечения графиков и есть корни уравнения: Учитывая соотношение 1 , получим: Таким образом, корни исходного уравнения: В силу соотношения 2 получаем: Учитывая соотношение 2 , получаем: Например, геометрический смысл выражения х-а - длина отрезка координатной оси, соединяющей точки с абсциссами а и х. Перевод алгебраической задачи на геометрический язык часто позволяет избежать громоздких решений. Исходя из геометрической интерпретации модуля, левая часть уравнения представляет собой сумму расстояний от некоторой точки с абсциссой х до двух фиксированных точек с абсциссами 2 и 3. Тогда очевидно, что все точки с абсциссами, принадлежащими отрезку [2;3] обладают требуемым свойством, а точки, расположенные вне этого отрезка — нет. Отсюда, множеством решений уравнения является отрезок [2;3]. Рассуждая аналогично, получим, что разность расстояний до точек с абсциссами 2 и 3 равна 1 только для точек, расположенных на координатной оси правее числа 3. Следовательно, решением данного уравнения будет являться луч, выходящий из точки 3, и направленный в положительном направлении оси ОХ. Обобщением вышеприведенных уравнений 10 и 11 являются следующие равносильные переходы: Проанализировав представленные способы решения уравнений, содержащих модуль, можно сделать вывод, что ни один из них не является универсальным и для получения наилучших результатов необходимо добиваться того, чтобы ученик овладел возможно большим количеством методов решения, оставляя право выбора решения за собой. Рассуждать будем, исходя из определения модуля. Если выражение, находящееся под модулем. Если значения выражения под знаком модуля отрицательно, тогда, по определению, оно будет равно: Теперь можно сделать вывод: Одним из способов решения уравнений, содержащих модуль, является графический способ. Суть этого способа заключается в том, чтобы построить графики данных функций. В случае, если графики пересекутся, точки пересечений данных графиков будут являться корнями нашего уравнения. В случае, если графики не пересекутся, мы сможем сделать вывод, что уравнение корней не имеет. Этот способ, вероятно, реже других применяют для решения уравнений, содержащих модуль, так как, во-первых, он занимает достаточно много времени и не всегда рационален, а, во-вторых, результаты, полученные при построении графиков, не всегда являются точными. Другой способ решения уравнений, содержащих модуль - это способ разбиения числовой прямой на промежутки. В этом случае нам нужно разбить числовую прямую так, что по определению модуля, знак абсолютной величины на данных промежутках можно будет снять. Затем, для каждого из промежутков мы должны будем решить данное уравнение и сделать вывод, относительно получившихся корней удовлетворяют они нашему промежутку или нет. Корни, удовлетворяющие промежутки и дадут окончательный ответ. Установим, при каких значениях x, модуль равен нулю: Получим два промежутка, на каждом из которых решим уравнение: Получим две смешанных системы: Абсциссы точек пересечения графиков функций дадут решения уравнения. Практика обучения учащихся способам решения уравнений, содержащих модули, позволила выявить достоинства и недостатки каждого способа, которые для удобства сведены в таблицу. Метод последовательного раскрытия модулей. Объявляя условие раскрытия одного модуля, можно пользоваться им для раскрытия других модуле тем самым, выигрывая время в решении задачи. Последовательность действий, направленных на поиск ответа, позволяет контролировать и проверять промежуточные результаты. Необходимость раскрытия модуля, что для некоторых заданий приводит к потере темпа в получении ответа. Самый эффективный способ, так как сопровождается относительно небольшим объемом работы. В силу необходимости нахождения концов интервалов может возникнуть ситуация, когда соответствующее уравнение либо вызывает серьезные затруднения при определении корней, либо недоступно ученику на данном этапе обучения. Данный способ имеет очень широкое применение в других темах школьного курса математики. Метод решения при помощи зависимостей между числами, их модулями и квадратами этих чисел. В некоторых случаях применение данного способа позволяет решать уравнения определенного вида на более раннем этапе. В некоторых случаях выбор данного способа приводит к громоздкому решению, а иногда решение сводится к уравнению, недоступному для ученика на данном этапе обучения. Применение данного способа ограничивается уравнениями определенного вида. Проанализировав достоинства и недостатки каждого из указанных способов, можно с уверенностью сказать, что на мотивационном этапе формирования умения решать уравнения с модулем ученикам следует показывать все, доступные на данном этапе обучения способы решения, и, главное, на конкретных примерах доказывать, что первый этап решения — выбор самого эффективного способа. Это уравнение можно решить тремя способами. Вершина параболы в точке 2; Строим график и отображаем часть параболы, которая лежит ниже оси ОХ в верхнюю полуплоскость. Графики функций пересеклись в точке с абсциссой 3. Таким образом, можно сделать следующий вывод: АЛГОРИТМ ОБРАЗЕЦ ЗАДАНИЯ 1. Отметить все нули подмодульных выражений на числовой прямой. Они разобьют числовую прямую на промежутки, в которых все подмодульные выражения имеют постоянный знак. Из каждого промежутка взять произвольное число и подсчетом определить знак подмодульного выражения, по знаку раскрыть модули. Решить уравнения и выбрать решения, принадлежащие данному промежутку. Оба корня удовлетворяют условию. Решим уравнение методом интервалов. Учитывая знак, раскрыть модули. Выпишите уравнения, которые решаются с помощью зависимостей между величинами, их модулями и квадратами величин. Выпишите уравнения, которые решаются с использованием геометрической интерпретации модуля. Решением этого уравнения являются числа …….. При каком значении а уравнение можно решить, используя геометрическую интерпретацию модуля: Выберите специальность, которую Вы хотите получить: Учитель английского языка Учитель биологии Учитель географии Учитель информатики Учитель испанского языка Учитель истории Учитель китайского языка Учитель математики Учитель мировой художественной культуры Учитель начальных классов Учитель немецкого языка Учитель обществознания Учитель основ безопасности жизнедеятельности Учитель основ религиозных культур и светской этики Учитель русского языка и литературы Учитель физики Учитель физической культуры Учитель французского языка Учитель химии Воспитатель детей дошкольного возраста Главный бухгалтер образовательного учреждения Менеджер образования Методист образовательной организации Педагог дополнительного образования детей и взрослых Педагог по обучению лиц с ограниченными возможностями здоровья Педагог среднего профессионального образования Педагог-библиотекарь Педагог-воспитатель группы продлённого дня Педагог-организатор Педагого-психолог Преподаватель бухгалтерского учета Преподаватель высшей школы Преподаватель маркетинга Преподаватель права Преподаватель экологии Преподаватель экономики Социальный педагог Специалист в области воспитания Специалист в области охраны труда Специалист в сфере закупок Специалист по безопасности и антитеррористической защищенности объектов территорий образовательной организации Специалист по организации и предоставлению туристских услуг Специалист по организационному и документационному обеспечению управления организацией Специалист по управлению персоналом и оформлению трудовых отношений. Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок". По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца. ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ. Профессиональной переподготовки 30 курсов от руб. Курсы для всех от руб. Повышение квалификации 36 курсов от руб. Лицензия на осуществление образовательной деятельности: Адрес редакции и издательства: Правообладатель товарного знака ИНФОУРОК: Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов. Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако редакция сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи. Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ Эл. Астрономия Биология Воспитательная работа География Директору, завучу Доп. Классному руководителю Логопедия Математика Музыка Начальные классы ОБЖ Обществознание Русский язык и литература Социальному педагогу Технология Украинский язык Физика Физкультура Химия Школьному психологу Языки народов РФ. Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца часов. Начало обучения новой группы: Подать заявку на курс. Свойства модуля Существует несколько способов решения уравнений с модулем. А Аналитическое решение 1-й способ Рассуждать будем, исходя из определения модуля. Если выражение, находящееся под модулем неотрицательно, т. Способы Достоинства Недостатки Метод последовательного раскрытия модулей 1. Метод интервалов Самый эффективный способ, так как сопровождается относительно небольшим объемом работы. Графический метод Данный способ имеет очень широкое применение в других темах школьного курса математики. Метод решения при помощи зависимостей между числами, их модулями и квадратами этих чисел В некоторых случаях применение данного способа позволяет решать уравнения определенного вида на более раннем этапе. Геометрическая интерпретация модуля Перевод алгебраической задачи на геометрический язык часто позволяет избежать громоздких решений. Учитель английского языка Учитель биологии Учитель географии Учитель информатики Учитель испанского языка Учитель истории Учитель китайского языка Учитель математики Учитель мировой художественной культуры Учитель начальных классов Учитель немецкого языка Учитель обществознания Учитель основ безопасности жизнедеятельности Учитель основ религиозных культур и светской этики Учитель русского языка и литературы Учитель физики Учитель физической культуры Учитель французского языка Учитель химии Воспитатель детей дошкольного возраста Главный бухгалтер образовательного учреждения Менеджер образования Методист образовательной организации Педагог дополнительного образования детей и взрослых Педагог по обучению лиц с ограниченными возможностями здоровья Педагог среднего профессионального образования Педагог-библиотекарь Педагог-воспитатель группы продлённого дня Педагог-организатор Педагого-психолог Преподаватель бухгалтерского учета Преподаватель высшей школы Преподаватель маркетинга Преподаватель права Преподаватель экологии Преподаватель экономики Социальный педагог Специалист в области воспитания Специалист в области охраны труда Специалист в сфере закупок Специалист по безопасности и антитеррористической защищенности объектов территорий образовательной организации Специалист по организации и предоставлению туристских услуг Специалист по организационному и документационному обеспечению управления организацией Специалист по управлению персоналом и оформлению трудовых отношений Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок". Чтобы добавить отзыв, войдите в Ваш кабинет или зарегистрируйтесь. Вы первый можете оставить свой комментарий. Конспект открытого урока по геометрии в 7 классе по теме: Урок"Дроби,уравнения и осьмушка хлеба блокадного Ленинграда" Использование интерактивной доски на уроках геометрии для оптимизации учебно-познавательной деятельности учащихся Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Пользователь превысил лимит на количество одновременно исполняемых CGI. В данный момент исполнение невозможно. В случае, если вы не можете решить проблему самостоятельно — напишите о ней на support agava. Интернет-услуги и сервисы Хостинг , Colocation , аренда серверов , Раскрутка , Бесплатный хостинг файлов , Владельцам сайтов , Почта , Бизнес и экономика Банки , Инвестиции , Недвижимость , Страхование , Торговля , Работа, Подбор персонала , Курсы, семинары. Автомобили , Телефоны , КПК , Собаки , Кошки , Книги. Регистрация Войти в Личный кабинет. CGI script error Ошибка исполнения CGI приложения Русское описание Пользователь превысил лимит на количество одновременно исполняемых CGI. English description Site has exceeded maximum processes limit Execution of CGI is impossible, try again later. Автомобили , Телефоны , КПК , Собаки , Кошки , Книги Книжный магазин Компьютеры и оргтехника Авто-мото Производство и услуги Туризм и отдых Связь.
Правила провоза багажа райнэйр
Вьетнамско русский словарь
Заявления в банки на рефинансирование
Бухгалтерские проводки выбытия основных средств
Расписание электричек москва б волгана сегодня