Ссылка на файл: >>>>>> http://file-portal.ru/Параметры имеют значение при решении/
Содержание:
Уравнения с параметрами
Реферат: Тема: «Решение задач с параметрами»
Государственное образовательное учреждение профессионального высшего образования. Методы решения уравнений, содержащих параметр. Студент V курса математического факультета Кузнецов Е. Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению уравнений, содержащих параметр. Решение задач с параметрами вызывает большие трудности у учащихся, так как их изучение не является отдельной составляющей школьного курса математики, и рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях. Трудности при изучении данного вида уравнений связаны со следующими их особенностями:. Обилие формул и методов, используемых при решении уравнений данного вида;. Возможность решения одного и того же уравнения, содержащего параметр различными методами;. Выше изложенное обусловило проблему исследования , которая заключается в исследовании целесообразности и возможности изучения методов решения уравнений, содержащих параметры, в старших классах средней школы и в разработке соответствующей методики. Решение этой проблемы составило цель исследования. Объектом исследования является процесс обучения алгебре в классах и алгебре и началам анализа в классах. Предметом исследования являются классы уравнений, содержащих параметры, и их методы решения. Проблема, предмет, гипотеза исследования обусловили следующие задачи:. Теоретические основы решения уравнений, содержащих параметр. Уравнение F 0 имеет некоторое вполне определенное множество быть, может, пустое решений. Аналогично рассматриваются неравенства и системы, содержащие параметры. Допустимыми системами значений параметров считаются системы, допустимые для каждого уравнения в отдельности. Решить уравнение, содержащее параметры, это значит, для каждой допустимой системы значений параметров найти множество всех решений данного уравнения. Понятие эквивалентности применительно к уравнениям, содержащие параметр, устанавливается следующим образом. Итак, эквивалентные уравнения при всякой допустимой системе значений параметров имеют одно и то же множество решений. Преобразование уравнения, изменяющее множество допустимых систем значений параметров, приводит к уравнению, не эквивалентному данному уравнению. Предположим, что каждое из неизвестных, содержащихся в уравнении. Говорят, что система функций Х , заданных совместно, удовлетворяет уравнению F , если при подстановке этих функций вместо неизвестных х , у , Анализ школьных учебников по алгебре и началам анализа. Рассматриваются простейшие линейные уравнения, но коэффициент при х является параметром и необходимо исследовать на количество корней или принадлежность корня к целым числам. А именно, выясняется расположение графика функции в зависимости от коэффициента , который и является параметром. При изучении остальных тем учебника 8 класса параметр не использовался. При формулировании свойств функции в зависимости от коэффициента , и предлагается для решения задача на нахождение нулей функции, которая зависит от параметра. При рассмотрении графиков функций и строятся предпосылки для решения уравнений, содержащих параметр, графическим методом параллельный перенос. При изучении систем уравнений предлагаются дополнительные задачи с параметром на исследование количества решений системы. В системе упражнений для повторения курса VII-IX классов заданий, содержащих параметр, не представлено см. Надо отметить, что данное учебное пособие состоит из двух частей: При изучении параметра, такие значения переменной и будем называть особыми, для которых будут соответствовать частные решения. Номера задачника содержат задания, в которых требуется нахождение коэффициента уравнения если известно решение уравнения, то есть говорится о том, чтобы найти значения параметра, если известно решение уравнения. В номерах необходимо найти значения переменной, если известно, что график функции проходит через данную точку. А именно номера , где необходимо найти коэффициенты уравнения данной функции, если известно наибольшее или наименьшее значение функции. И также номера в которых известно точки пересечения с осями координат. Особенно нужно выделить следующие номера: В номерах предлагаются уравнения, содержащие параметр, где необходимо найти значение параметра, если дано уравнение, которое имеет определенное количество корней. Эти задания повышенного уровня. Также предлагается домашняя контрольная работа, в которой имеется уравнение, содержащее параметр. Предлагая эти уравнения для решения, учителю необходимо показать некоторые методы решения квадратных уравнений с параметром. В частности два основных метода: В задачнике представлены уравнения с параметром, где необходимо: Особенно можно выделить следующие номера: И предлагаются задания повышенного уровня с параметром — номера В них от ученика требуется полное понимание применения теоремы Виета и обратного утверждения. Имеется домашняя контрольная работа, в которой снова присутствуют уравнения с параметром. Это потребует рассмотреть отдельно случаи, когда этот коэффициент равен нулю см. В этих заданиях предлагаются простейшие системы с параметром см. Рассмотрим учебник алгебры и начала анализа класса. Сначала параметр встречается при изучении арккосинуса, арксинуса, арктангенса, арккотангенса и решении уравнений вида , , ,. Рассматривается решение этих уравнений в общем виде, и в зависимости от значения а рассматриваются частные случаи, причем ставится ограничение на множество значений переменной а , для первых двух уравнений. Следующие задачи, содержащие параметр, предлагаются при изучении производной функции. Номера , , содержат задания с параметром, которые предложены для закрепления знаний о касательной. Также отметим номера , так как в них необходимо решить уравнения третьей и четвертой степени графическим методом. Предложено следующее задание номера , В конце изучения курса алгебры и начала анализа в 11 классе выделен параграф для решения уравнений, содержащих параметр. В параграфе объясняется, что такое параметр на простейших уравнениях, рассматриваются линейные и квадратные уравнения. Задачи, которые предлагаются для этой темы, где предложены различные задания для обобщения всех умений решения задач номера Обобщая все задачи с параметром можно заявить, что данный учебник предлагает параметр как для углубленного изучения пройденных тем, как для изучения непосредственно самого параметра см. Начнем анализ этой группы учебников с 7 класса. Особенно можно выделить номер , который предлагается в задачах повышенного уровня. Особенность заданий состоит в том, что предлагаются линейные, дробно-рациональные и квадратные уравнения с параметром при старшем коэффициенте. После рассмотрения различных способов решения систем уравнений с двумя неизвестными предлагаются задачи, одна из которых содержит систему с двумя параметрами, где необходимо найти эти параметры, если система имеет единственное решение; бесконечное множество решений; не имеет решений см. Из них можно выделить номера , , , в которых предлагаются задания на исследование количества корней уравнения в зависимости от значения параметра. В этих заданиях необходимо найти значение параметра, если известно пересечение двух функций в заданной точке и параметр, содержится в коэффициенте одной из функций. На этом авторы прекращают использование параметра при изучении тем учебника, но большое внимание уделяют параметру при повторении. Все номера одного характера — исследовать корни квадратного уравнения, то есть найти количество корней или сами корни в зависимости от значений параметра. Главным плюсом этого учебника является то, что авторы применяли уравнения, содержащие параметр, именно там, где его использование очень широко — при изучении квадратных уравнений. В этой теме количество задач, содержащих параметр, не может быть ограничено. Предлагаются квадратные уравнения, где необходимо:. Также предлагаются неравенства с параметром, где необходимо найти значение параметра, если неравенство выполняется при всех значениях неизвестной см. Алгебра и начала анализа класс. В этом учебнике при изучении уравнения рассматривается принадлежность корня множествам ,. Аналогично при рассмотрении уравнения , ,. При повторении курса алгебры и начала анализа 10 класса в системе задач не встречается заданий с параметром и можно утверждать, что в системе изучения этого курса авторы не уделяют внимания к параметру как таковому. В системе задач при итоговом повторении всего курса алгебры содержатся задачи с параметром, аналогичные всем рассмотренным ранее в предыдущих учебниках и данном. Главным плюсом этого учебника является то, что предложены примерные виды заданий, предлагавшиеся на вступительных экзаменах в вузы. В отличие от учебника Мордковича система задач с параметрами предложена только для углубленного изучения и повторения пройденного материала см. Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы:. Предлагаются задания творческого характера, требующие от учащихся применения полученных знаний и умений в нестандартных условиях;. Основные виды уравнений, содержащих параметр. Линейные и квадратные уравнения, содержащие параметр. Линейные и квадратные уравнения, содержащие параметр, можно объединить в одну группу — группу уравнений с параметром не выше второй степени. Уравнения с параметром не выше второй степени являются самыми распространенными в практике итоговых и конкурсных заданий. Их общий вид определяется многочленом. Для таких уравнений всякое частное уравнение не выше второй степени принадлежит одному из следующих типов:. Контрольные значения параметра определяются уравнением. На выделенных контрольными значениями промежутках допустимых значений параметра дискриминант имеет определенный знак, соответствующие частные уравнения принадлежат одному из двух последних типов. Тогда решением всякого уравнения с параметром не выше второй степени осуществляется по следующим этапам:. На числовой прямой отмечаются все контрольные значения параметра, для которых соответствующие частные уравнения не определены. На области допустимых значений параметра исходного уравнения при помощи равносильных преобразований приводится к виду. Выделяют множество контрольных значений параметра, для которых. Если уравнение имеет конечное множество решений, то для каждого найденного контрольного значения параметра соответствующее частное уравнение решается отдельно. Проводится классификация частных уравнений по первым трем типам. На бесконечном множестве решений уравнения проводится решение уравнения , выделяются типы бесконечных и пустых особых частных уравнений. Множеству значений параметра, для которых и , соответствует третий тип не особых частных уравнений. Выделяются контрольные значения параметра, для которых дискриминант обращается в нуль. Соответствующие не особые частные уравнения имеют двукратный корень. Найденные контрольные значения параметра разбивают область допустимых значений параметра на промежутки. На каждом из промежутков определяется знак дискриминанта. Множеству значений параметра, для которых и , соответствует тип не особых частных уравнений, не имеющих решений, для значений параметра из множества, где и , частные уравнения имеют два различных действительных корня см. Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х обращается в 0. При этих значениях параметра а, невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х. Таким образом, целесообразно множество всех действительных значений параметра разбить на подмножества. Это уравнение не имеет корней. Корнем этого уравнения является любое действительное число. В данном случае контрольным значением параметра a является единица. Значит, целесообразно рассмотреть уравнение 3 как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра: Значит, можно говорить о качественном изменении уравнения. Поэтому значения параметра, при которых обращается в 0 дискриминант квадратного уравнения, также относят к контрольным значениям. Составим дискриминант уравнения Таким образом, осталось решить уравнение 3 в случае, когда и в случае, когда и. Если , то уравнение 3 не имеет действительных корней;. Дробно-рациональные уравнения, содержащие параметр , сводящиеся к линейным. Процесс решения дробно-рациональных уравнений протекает по обычной схеме: После чего учащиеся решают известным им способом целое уравнение, исключая посторонние корни, то есть числа, которые обращают общий знаменатель в нуль. В случае уравнений с параметрами эта задача более сложная. Здесь, чтобы посторонние корни исключить, требуется находить значение параметра, обращающее общий знаменатель в нуль, то есть решать соответствующие уравнения относительно параметра см. Находим корни уравнения 5: При переходе от уравнения 4 к уравнению 5 расширилась область определения уравнения 4 , что могло привести к появлению посторонних корней. Иррациональные уравнения, содержащие параметр. Главными особенностями при решении уравнений такого типа являются:. При рассмотрении всех особых случаев и возведении обеих частей иррационального уравнения в квадрат мы переходим к решению квадратного уравнения с параметром. Рассмотрим несколько примеров и попробуем заметить эти особенности при решении см. Перепишем исходное уравнение в виде:. При возведении в квадрат обеих частей исходного уравнения и проведения тождественных преобразований получим:. Так как левая часть равенства отрицательна, то х 2 не удовлетворяет исходному уравнению. Проведя равносильные преобразования, получим:. Если , то можно возвести полученное равенство в квадрат:. Имеем истинное равенство при условии, что. Показательные уравнения, содержащие параметр. Большинство показательных уравнений с параметрами сводится к показательным уравнениям вида: Логарифмические уравнения, содержащие параметр. Решение логарифмических уравнений с параметрами сводится к нахождению корней элементарного логарифмического уравнения. Важным моментом решения уравнений такого типа является проверка принадлежности найденных корней ОДЗ исходного уравнения см. Осуществим на ОДЗ цепочку равносильных преобразований исходного уравнения:. Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:. Выясним, при каких значениях параметра а , это неравенство истинно:. Тригонометрические уравнения, содержащие параметр, не рассматриваем, то есть, не рассматриваем методы решения уравнений такого вида, так как существует большое количество специфических методов решения, именно, тригонометрических уравнений, содержащих параметр. Для этих методов существует большое количество материала, исследование которого может рассматриваться, как отдельная тема. Основные методы решения уравнений, содержащих параметр. Поиск решений уравнений, содержащих параметр. В самом начале знакомства с параметром у учеников возникает некий психологический барьер, который обусловлен противоречивыми характеристиками параметра. С одной стороны, параметр в уравнении следует считать величиной известной, а с другой — он может принимать различные значения. Получается, что параметр в уравнении — это неизвестная известная, переменная постоянная величина. Очевидно, при уравнение системы не имеет решения. Если , то тогда. Следовательно, нужно проверить условия и. Решением системы будет пересечение интервалов, а, именно,. Если , то ;. Делая замену , получаем, что или. Проверим, являются ли найденные значения переменной корнями. Подставляя значения переменной в уравнение, получаем, что не подходит, тогда корнями являются значения. Делая замену , получаем или. Аналогично, как и при , проверкой устанавливаем, что только и не являются корнями. Параметр и количество решений уравнений, содержащих параметр. Выделим класс задач, где за счет параметра на переменную накладывается какие-либо ограничения. Для таких задач характерны следующие формулировки:. Решением уравнения неравенства, системы является какое-то подмножество множества действительных чисел и другие см. В зависимости от значения параметра найти число корней уравнения. Наличие сложного корня наводит на мысль выделения квадрата двучлена под внешним корнем. Итак, мы вплотную подошли к задаче рассмотрения различных случаев параметра. Если , то уравнение не имеет решения. Если , то рассмотрим. При условии , и очевидно это уравнение имеет только один корень. При — одно решение,. При каких значениях параметра уравнение. Уравнение переписываем в равносильную систему. Решением неравенства является объединение промежутков. Уравнение системы имеет один корень когда. Теперь проверим, принадлежит ли корень нашим интервалам: При уравнение имеет единственное решение. Теперь перейдем к следствию. Возникла ситуация, которая дает нам возможность воспользоваться механизмом отсеивания корней. Область определения исходного уравнения найдем из условий. Очевидно, и удовлетворяют первым двум условиям. Тогда для единственности решения достаточно потребовать. Найдем решение первой системы, преобразуем ее. Имеем, что решением первой системы является объединение интервалов. Параметр и свойства решений уравнений, содержащих параметр. В этом пункте мы рассмотрим задачи, в которых условие требует, чтобы ответ был каким-либо наперед заданным подмножеством или идут ограничения на множество значений переменной см. При каких значениях параметра оба корня уравнения больше 3? Корнями данного уравнения будут. Для условия необходимо выполнение системы. Первое неравенство системы и второе будут иметь общие точки только в том случае если выражение под корнем равно нулю. Ни при каких значениях параметра оба корня данного уравнения не могут быть больше 3. Во всех разобранных задач параметр рассматривался как фиксированное, но неизвестное число. Между тем с формальной точки зрения параметр — это переменная, причем равноправная с другими. Подобная интерпретация, естественно, формирует еще один тип а точнее метод решения задач с параметрами см. Указать все значения параметра , для которых уравнение имеет решение? Исходное уравнение , с учетом , равносильно системе. Рассмотрим квадратное уравнение, относительно параметра. Найдем дискриминант рассматриваемого уравнения. Поэтому последняя система равносильна. Вершина параболы — есть точка с координатами. Минимум функции есть значение ординаты вершины параболы. Поэтому можем утверждать, что параметр принимает значения в отрезке на отрезке. Важно показать при изучении параметров связь параметра с конкретными значениями и эта задача показывает эту связь. Цель этой задачи в том, чтобы показать что задачи, не содержащие параметр, можно решать и способами решения уравнений, содержащих параметр. Решение этого уравнения показывает, что исследования различных решений с параметрами позволяет решать задачи более простыми методами. Это уравнение равносильно системе. Представим уравнение системы в виде квадратного уравнения относительно числа 5. Откуда, учитывая , получаем. Методы поиска необходимых условий. Использование симметрии аналитических выражений. В тех случаях, когда непосредственный поиск значений переменной затруднен, можно сначала выделить необходимые условия, а затем от необходимых условий перейти к достаточным условиям. Будем называть задачи, решаемые таким методом, задачами с поиском необходимых условий. Необходимые условия задач этого пункта:. В каждой задаче обязательно фигурирует аналитическое выражение, геометрический образ которого имеет ось или плоскость симметрии. Во всех задачах в той или иной форме присутствует требование единственности решения. Если описываемые задачи имеют решением координаты точки М, то найдется симметричная точка М 1 , координаты которой тоже являются решением, тогда точка М должна лежать в силу единственности решения на оси симметрии, но заметим, что это требование не является достаточным. Высказанные соображения и составляют основу одного из метода поиска необходимых условий, о котором будет идти речь в следующих задачах см. При каких уравнение имеет одно решение. При замене на и наоборот уравнение не меняет смысла, поэтому если точка с координатами — решение то и — решение. А так как в условии необходимо единственность решения, то. Так как , то , что возможно только для случая равенства и при. Откуда находим два корня уравнения, а в силу единственности, дискриминант приравниваем к нулю и получаем. При уравнение имеет одно решение. Фактически все важные свойства квадратичной функции определяются таблицей. При каких значениях параметра все пары чисел , удовлетворяющие неравенству , одновременно удовлетворяют и? Часто бывает удобно начать решение задачи с рассмотрения упрощенной модели. Так, в конкретном случае уместно поставить задачу: Ответом на этот вопрос очевиден: Тогда в этом примере нужно, чтобы при всех. Дискриминант меньший либо равный нулю определит искомый параметр. При каких значениях наибольшее значение трехчлена меньше 4. Так как графиком трехчлена является парабола, то необходимость наибольшего значения меньшего 4 обязывает параметр. Наибольшее значение будет в вершине параболы. Решением этого неравенства есть. Учитывая необходимость , то. Найдем корни этого уравнения. По теореме Виета выполняется следующая система уравнений , где и. Рассмотрим задачу, решение которой при использовании теоремы Виета намного упрощается. При каком значении параметра сумма квадратов корней уравнения принимает наименьшее значение? Уравнение имеет два корня при любом. Используя теорему Виета, найдем. Таким образом, найдем наименьшее значение функции на множестве. Поскольку при , а при , то наименьшее значение при. Аппарат математического анализа касательная к прямой. Учащиеся, как правило, затрудняются с определением касательной к кривой типичен ошибочный ответ: Пояснить учащимся суть вещей могут помочь, например, следующие задачи см. При каком значении параметра k касательная к графику функции образует с осью ОХ угол, равный , и отсекает от второй четверти треугольник, площадь которого равна? Пусть — координаты точки касания. Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид. По условию имеем ,. Уравнение касательной становится таким: Найдем координаты точки пересечения касательной с осями. Тогда, с учетом второй четверти и:. Найти все значения параметра , при которых на графике функции существует единственная точка с отрицательной абсциссой, касательная в которой параллельна прямой. Ясно, что угловой коэффициент касательной, о которой говорится в условии, равен 2. Тогда, если — абсцисса точки касания, то , то есть. Остается потребовать, чтобы это уравнение имело единственный корень. При уравнение не имеет смысла, при уравнение равносильно:. Для единственности корня необходимо, чтобы дискриминант был равен нулю,. При таких значениях параметра корнем уравнения является , который, как очевидно, принимает отрицательные значения. Найти критические точки функции. Напомним определение критической точки. Внутренняя точка области определения функции, в которой производная равна 0 или не существует, называется критической. Поскольку найденная производная существует во всех внутренних точках области определения функции , то критические точки следует искать среди корней уравнения , откуда. Если , то - критическая точка;. Свойства функций в задачах, содержащих параметр. Учащиеся не всегда умеют сознательно использовать информацию о свойствах функций, например, о ее множестве значений, непрерывности, экстремумах и так далее. Многие школьники лишь формально усваивают понятие производной, не понимают ее геометрического смысла. Есть проблемы и при изучении понятий первообразной и интеграла. Задачи, которые приведены ниже, призваны пояснить школьнику смысл всех этих понятий и показать возможности их применения см. Предложенные задачи классифицированы в зависимости от того, какое свойство функции является основным в решении. Иногда задачи не содержат прямой подсказки использовать область значения функции. Такая необходимость возникает в ходе решения. Так как , то пусть. Очевидно, при решение имеется. Найдем корни , так как , то рассмотрим три случая:. Рассмотрим область допустимых значений. Тогда получаем равносильное уравнение. Учтем два случая, так как , то. Этот случай мы рассмотрели. При решении задач весьма полезным оказывается следующее обстоятельство. Если в уравнении , где , , а для всех , то можно перейти к равносильной системе уравнений см. Произведем преобразование правой части. Тогда наше уравнение будет иметь вид. Оценим левую и правую части уравнения. Тогда заключаем, что обе части уравнения должны быть равны единице и это нас приводит к системе. Выразим х из первого уравнения системы и подставим во второе уравнение. Решением последней системы будут и. Найти все действительные значения , при которых область определения функции. Область определения будет все действительные числа, если функция будет определена, то есть задача состоит в нахождении значений параметра. Учитывая условие , решением последнего неравенства будет являться интервал. Прежде всего заметим, что в случае возрастания убывания функции имеет место равносильность уравнений и см. Так как функция монотонна и возрастает, а значение справа фиксировано, то данное уравнение имеет не более одного корня. Легко заметить, что - корень. Перепишем данное уравнение в виде. Тогда исходное уравнение становится таким. Функция возрастает на промежутке , так как , то. Следовательно, принадлежат промежутку монотонности функции. Тогда , то есть. Сопоставим с исходным и получим. Для полученное квадратное уравнение имеет положительный дискриминант. Определить число корней уравнения. Исходное уравнение имеет не более одного корня. Если , то уравнение имеет единственный корень;. Указать все значения параметра , для которых уравнение имеет решения см. Пользуясь тем, что эта задача уже была решена, рассмотрим сразу систему. Отметим, что эта функция обратима и обратной к ней является. Так как функция возрастающая, то общие точки лежат на прямой. Решение которой нам известно. Рассмотрим функцию и они взаимно обратные и возрастающие. Следовательно, при эта функция обратима, причем функция является для нее обратной. Заметим, что мы использовали функцию, стоящую в правой части уравнения, потому что такой выбор не изменяет область определения первоначального уравнения. Решение же уравнения приведено было выше. Координатная плоскость x ; y. Задачи, содержащие параметр, требуют к себе своеобразный подход, здесь необходимо грамотное и тщательное исследование. Для применения графических методов требуется умение выполнять дополнительное построение различных графиков, вести графические исследования, соответствующие данным значениям параметра. Уравнения с параметром вызывают серьезные трудности логического характера. Каждое такое уравнение — это, по существу, краткая запись семейства уравнений. Ясно, что выписать каждое уравнение из бесконечного семейства невозможно, но, тем не менее, каждое из них должно быть решено. Легче всего это сделать с помощью графического представления зависимости переменной от параметра. На плоскости функция задает семейство кривых зависящих от параметра. Нас будет интересовать с помощью какого преобразования плоскости можно переходить к другим кривым семейства см. Для каждого значения параметра определить число решений уравнения. Это прямая параллельна оси ОХ. Если , то решений нет;. Сразу следует отметить, что выбор семейства кривых не отличается однообразием в отличие от самих задач , а точнее он один: Более того, центр поворота принадлежит прямой. При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение? В се лучи проходящие между ОА и ОВ пересекаются в одной точке, также в одной точке пересекаются ОВ и ОМ касательная. Угловые коофициэнты ОА и ОВ равны соответственно. Угловой коэффициент касательной равен. Легко находится из системы. Итак, прямые семейства имеют с дугой только одну общую точку при. При каких уравнение имеет решение? Исследуя ее на монотонность узнаем, что она возрастает на промежутке и убывает на. Точка - является точкой максимума. Функция же - это семейство прямых, проходящих через точку. Обратимся к рисунку 2. Графиком функции является дуга АВ. Прямые , которые будут находиться между прямыми ОА и ОВ, удовлетворяют условию задачи. Коэффициент наклона прямой ОА является число , а ОВ —. При уравнение имеет 1 решение;. Найти все значения параметра , при каждом из которых уравнение имеет ровно 8 решений. Первая из них задает семейство полуокружностей с центром в точке с координатами , второе семейство прямых параллельных оси абсцисс. Число корней будет соответствовать числу 8 тогда, когда радиус полуокружности будет больше и меньше , то есть. Координатная плоскость x ; a. Вообще, уравнения, содержащие параметр, не обеспечены какой-либо четкой, методически оформленной системой решения. Те или иные значения параметра приходится искать на ощупь, перебором, решая большое количество промежуточных уравнений. Такой подход далеко не всегда обеспечивает успех в отыскании всех значений параметра, при которых уравнение не имеет решений, имеет одно, два и более решений. Зачастую часть значений параметра теряются или появляются лишние значения. Для того чтобы эти последние, приходится проводить специальное исследование которое может оказаться довольно трудным. Рассмотрим метод, упрощающий работу по решению уравнений с параметром. Метод состоит в следующем. Из уравнения с переменной x и параметра a выразим параметр как функцию от x: В координатной плоскости x O a строим график функции. Рассмотрим прямые и выделим те промежутки оси O a , на которых эти прямые удовлетворяют следующим условиям: Если поставлена задача найти значения x , то выражаем x через a для каждого из найденных промежутков значения a в отдельности. Взгляд на параметр как на равноправную переменную находит свое отражение в графических методах. Таким образом, возникает координатная плоскость. Казалось бы, такая незначительная деталь, как отказ от традиционного обозначения координатной плоскости буквами x и y определяет один из эффективнейших методов решения задач с параметрами. Описанный метод очень нагляден. Кроме того, в нем находят применение почти все основные понятия курса алгебры и начал анализа. Задействуется весь набор знаний, связанных с исследованием функции: При каких значениях параметра уравнение имеет два корня? Из графика видно, что при уравнение имеет 2 корня. При уравнение имеет два корня. Найдите множество всех чисел , для каждого из которых уравнение имеет только два различных корня. Перепишем данное уравнение в следующем виде:. Теперь важно не упустить, что , и — корни исходного уравнения лишь при условии. Обратим внимание на то, что график удобнее строить на координатной плоскости. На рисунке 5 искомый график — объединение сплошных линий. При , или , или. Курс лучше изучать в 11 классе, так как уравнения такого вида содержат задания итоговой аттестации. Курс рассчитан на систематизацию методов решения уравнений, содержащих параметр и их классификацию. Все методы, рассмотренные в данной работе, рассматривать на факультативах не имеет смысла. Необходимо рассмотреть основные методы решения наиболее часто встречаемых на выпускных и вступительных экзаменах, а именно, методы решения квадратных уравнений, линейных, аналитический и графический методы и методы решения уравнений методом исследования области значения функции. Данный курс рассчитан на 16 часов. Занятия проводятся по два часа. В эти часы не входит время, предоставленное для проверки знаний и умений и повторения. Параметр и решение линейных уравнений и простейших квадратных уравнений с параметром. Оно проведено и рассмотрено в опытном преподавании. Упрощение уравнения и приведение уравнения к произведению многочленов или выделение полного квадрата. Составление системы логических следований, при которых используется один из выше приведенных способов упрощения уравнения. Параметр как равноправная переменная. Решение уравнений, не содержащих параметра, но использование методов решения уравнений, содержащих параметр. Метод исследования области значения функции. Ученики при изучении области значения зачастую не понимают ее практического значения. Это занятие покажет им, как можно использовать данное свойство функций. Координатная плоскость x , y. Основой решения уравнений данным методом является построение графиков функций правой и левой частей и рассмотрение количества точек пересечения в зависимости от значения параметра. Поэтому задачи решаемые данным методом имеют свою специфику, а именно, рассматриваются задачи на нахождение количества корней уравнения при различных значениях параметра. Координатная плоскость x , а. Опытное преподавание осуществлялось во время прохождения практики на V курсе. Практика проходила в 10 классе 28 школы. Разработка факультативного занятия на тему: Для того чтобы понять, что такое параметр разберем несколько простых примеров, с помощью которых мы и попытаемся понять смысл параметра. Зададим себе вопрос, как мы будем решать это уравнение. При делении на неизвестную величину необходимо учесть, что эта величина может быть равна нулю. При получаем следующее уравнение , которое не имеет решения. Если же , то мы можем разделить на a и получим. Теперь запишем ответ, но нужно учитывать то, что мы рассматривали различные значения неизвестной а и поэтому ответ нужно записывать для всех случаев. Следующее уравнение 2 также как и 1 требует рассмотрения случаев, когда коэффициент при равен нулю или нет. При первом значении мы получаем уравнение , у которого решений нет, а при втором значении получаем уравнение , решением которого является все множество действительных чисел. Если , то мы можем разделить на коэффициент при х и получим. Если , то нет решения;. Если и , то. Дальше рассмотрим уравнение 3. Решаем это уравнение методом группировки. В этом уравнении мы не рассматривали различные значения, принимаемые неизвестной а , так как при решении нам не приходилось делить на а. Решая эти три уравнения, мы имели дело с уравнениями, содержащие параметр, где - это параметр. Итак, давайте попробуем дать определение параметру. Мы узнали о параметре, решая эти три уравнения, что параметр есть неизвестная, так как он параметр принимал различные значения, но, с другой стороны, мы решали эти уравнения, принимая параметр за известную величину. Итак, параметр — это неизвестная, при некоторых значениях которой необходимо рассматривать и решать частные уравнения. Эти значения называются особыми. В первом уравнении особым значением параметра было значение неизвестной а , равное нулю, во втором — равное 1 и -1, а в третьем особых значений нет. Сейчас рассмотрим еще два уравнения, решить которые предлагается учащимся. Если , то решений нет, так как уравнение не имеет смысла. Для начала найдем, какие значения может принимать параметр. Для этого необходимо решить систему , решением которой является промежуток. Теперь решаем само уравнение. В ходе решения у нас снова нет необходимости рассматривать какие-либо дополнительные условия. Для тех значений параметра, которые не вошли в область значений параметра уравнение не имеет корней. Если , то корней нет. Для уравнений, в решении которых рассматривается различные значения параметра, будем пользоваться следующим алгоритмом решения. Находим область значений параметра. Для тех значений параметра, которые входят в область:. Находим особые значения параметра, при которых, содержащее параметр выражение, на которое происходит деление, обращается в 0. Для них рассматриваем уравнения, которые получились при подстановке значений параметра. Решаем уравнение, исключая эти значения. Для тех значений параметра, которые не входят в область - корней нет. Собираем все значения параметра и соответствующие им значения неизвестной записываем ответ. Дальше решим, используя алгоритм, следующее уравнение. Найдем область значения принимаемые параметром —. Получаем уравнение , которое не имеет решения. Если , то решаем уравнение. Для - решений нет. При решении уравнений, содержащих параметр, существуют особые способы решения. Главным отличием является то, что при решении происходит перебор значений параметра и рассмотрения для этих значений соответствующего значения неизвестной. Во время проведения занятий было выявлено, что ученики не имеют ни малейшего представления о том, что такое параметр и встретились на практике с уравнений, содержащих параметр, впервые. Это осложнило мою работу, которая заключалась в том, чтобы дать ученикам образное понятие о параметре, а так же общее представление о том, как решаются линейные и простейшие квадратные уравнения, содержащие параметр. При проведении исследования были решены следующие задачи:. Тригонометрические уравнения, содержащие параметр, при проведении данного исследования специально не были выделены. Для данного класса уравнений существует большое количество специфических методов решения. Исследованию которых может быть посвящена отдельная работа;. Учитывая, что уравнения, содержащие параметр, встречаются уже в 7 классе, можно разбить все методы решения уравнений, содержащих параметр, на группы, которые возможно рассмотреть во время учебных занятий;. Задачи с параметрами [Текст]: Якир — Киев, Квадратный трехчлен в задачах. Учимся решать задачи с параметрами: Караулов — Киров, Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа для классов. Алгебра и начала анализа [Текст]: Алгебра 7 класс [Текст]: Алгебра 8 класс [Текст]: Алгебра 9 класс [Текст]: Алгебра и начала анализа класс [Текст]: Главная Опубликовать работу О сайте. Методы решения уравнений содержащих параметр. Сохрани ссылку на реферат в одной из сетей:
Скачать gta grand theft auto
Up 24 jawbone инструкция
Расписание автобуса 148 кемерово маручак 2017
Примеры с параметрами и методы их решения
Какая сейчас погода в твери
Как сделать корпоративную почту
Другие новости 4
Задачи с параметрами
Яблоня ред ранний описание фото отзывы
Рекомендательное письмо образец для бухгалтера экономиста
«Решение уравнений с параметрами»
Как сделать трафарет цветов своими руками фото
Спортмастерна новослободской каталог товаров
Как работает убер такси для водителей
Задачи с параметрами из ЕГЭ
Мужчина привязан к постели