Метод парабол (метод Симпсона)
Метод Симпсона (парабол).
Численное интегрирование
Использование трех точек для интерполирования подынтегрального выражения позволяет использовать параболическую функцию полином второй степени. Это приводит к формуле Симпсона приближенного вычисления интеграла. Воспользуемся заменой переменной таким образом, чтобы границы отрезка интегрирования вместо [a,b] стали [-1,1], для этого введем переменную z:. Обозначим соответствующие значения подынтегральной функции в узлах интерполяции. При необходимости, исходный отрезок интегрирования может быть разбит на N сдвоенных отрезков, к каждому из которых применяется формула Симпсона. Шаг интерполирования при этом составит. Приближенное значение интеграла получается суммированием N площадей:. В данную сумму входят одинаковые слагаемые для внутренних узлов с четным значением индекса - 2i. Поэтому можно перегруппировать слагаемые в этой сумме таким образом. Погрешность этого приближенного метода уменьшается пропорционально длине шага интегрирования в четвертой степени, то есть при увеличении числа интервалов вдвое ошибка уменьшается в 16 раз. Здесь мы рассмотрим так называемый процесс Эйткена. Он дает возможность оценить погрешность метода и указывает алгоритм уточнения результатов. Расчет проводится последовательно три раза при различных шагах разбиения h 1 , h 2 , h 3 , причем их отношения постоянны: Пусть в результате численного интегрирования получены значения интеграла I 1 , I 2 , I 3. Тогда уточненное значение интеграла вычисляется по формуле. Из анализа погрешностей методов численного интегрирования следует, что точность получаемых результатов зависит как от характера изменения подынтегральной функции, так и от шага интегрирования. Будем считать, что величину шага мы задаем. При этом ясно, что для достижения сравнимой точности при интегрировании слабо меняющейся функции шаг можно выбирать большим, чем при интегрировании резко меняющихся функций. На практике нередко встречаются случаи, когда подынтегральная функция меняется по-разному на отдельных участках отрезка интегрирования. Это обстоятельство требует такой организации экономичных численных алгоритмов, при которой они автоматически приспосабливались бы к характеру изменения функции. Такие алгоритмы называются адаптивными приспосабливающимися. Они позволяют вводить разные значения шага интегрирования на отдельных участках отрезка интегрирования. Это дает возможность уменьшить машинное время без потери точности результатов расчета. Рассмотрим принцип работы адаптивного алгоритма. Первоначально отрезок [a,b] разбиваем на n частей. В дальнейшем каждый такой элементарный отрезок делим последовательно пополам. Окончательное число шагов, их расположение и размеры зависят от подынтегральной функции и допустимой погрешности e. К каждому элементарному отрезку [x i-1 , x i ] применяем формулы численного интегрирования при двух различных его разбиениях. Получаем приближения для интеграла по этому отрезку:. Полученные значения сравниваем и проводим оценку их погрешности. Если погрешность находится в допустимых границах, то одно из этих приближений принимается за значение интеграла по этому элементарному отрезку. В противном случае происходит дальнейшее деление отрезка и вычисление новых приближений. С целью экономии времени точки деления располагаются таким образом, чтобы использовались вычисленные значения в точках предыдущего разбиения. Процесс деления отрезка пополам и вычисления уточненных значений продолжается до тех пор, пока их разность станет не больше некоторой заданной величины d i, зависящей от e и h:. Аналогичная процедура проводится для всех n элементарных отрезков. Величина принимается в качестве искомого значения интеграла. Условия и соответствующий выбор величин d i обеспечивают выполнение условия. FAQ Обратная связь Вопросы и предложения. Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Метод парабол метод Симпсона Использование трех точек для интерполирования подынтегрального выражения позволяет использовать параболическую функцию полином второй степени. Рассмотрим произвольный интеграл Воспользуемся заменой переменной таким образом, чтобы границы отрезка интегрирования вместо [a,b] стали [-1,1], для этого введем переменную z: Обозначим соответствующие значения подынтегральной функции в узлах интерполяции Система уравнений для нахождения коэффициентов полинома , проходящего через три точки , и примет вид или Коэффициенты легко могут быть получены Вычислим теперь значение интеграла от интерполяционного многочлена Путем обратной замены переменной вернемся к исходному интегралу. Учтем, что соответствует соответствует соответствует Получим формулу Симпсона для произвольного интервала интегрирования: Приближенное значение интеграла получается суммированием N площадей: Тогда уточненное значение интеграла вычисляется по формуле а порядок точности используемого метода численного интегрирования определяется соотношением. Уточнение значения интеграла можно также проводить методом Рунге-Ромберга. Получаем приближения для интеграла по этому отрезку: Процесс деления отрезка пополам и вычисления уточненных значений продолжается до тех пор, пока их разность станет не больше некоторой заданной величины d i, зависящей от e и h:
Вычисление интегралов по формулам прямоугольников, трапеций и формуле Симпсона. Решение многих технических задач сводится к вычислению определенных интегралов, точное выражение которых сложно, требует длительных вычислений и не всегда оправдано практически. Здесь бывает вполне достаточно их приближенного значения. Например, необходимо вычислить площадь, ограниченную линией, уравнение которой неизвестно, осью х и двумя ординатами. В этом случае можно заменить данную линию более простой, для которой известно уравнение. Площадь полученной таким образом криволинейной трапеции принимается за приближенное значение искомого интеграла. Геометрически идея способа вычислений определенного интеграла по формуле прямоугольников состоит в том, что площадь криволинейной трапеции А 1 АВВ 1 заменяется площадью равновеликого прямоугольника А 1 А 2 В 1 В 2 , которая по теореме о среднем равна. Практически трудно найти такое значение с , при котором b-a f c в точности равнялось бы. Для получения более точного значения площадь криволинейной трапеции разбивают на n прямоугольников, высоты которых равны y 0 , y 1 , y 2 , …,y n -1 и основания. Если суммировать площади прямоугольников, которые покрывают площадь криволинейной трапеции с недостатком, функция неубывающая, то вместо формулы используют формулу. Значения находят из равенств. Эти формулы называются формулами прямоугольников и дают приближенный результат. С увеличением n результат становится более точным. Вычислить по формуле прямоугольников. Разделим промежуток интегрирования на 5 частей. При помощи калькулятора или таблицы найдем значения подынтегральной функции с точностью до 4-х знаков после запятой:. Пусть необходимо вычислить площадь А 1 АmBB 1 криволинейной трапеции, выражаемую формулой. Заменим дугу AmB хордой AB и вместо площади криволинейной трапеции А 1 АmBB 1 вычислим площадь трапеции А 1 АBB 1: Для получения более точного результата необходимо разбить площадь криволинейной трапеции на n площадей ординатами, отстоящими друг от друга на расстоянии. Суммируем площади получившихся трапеций: Ширина реки 26 м , промеры глубины в поперечном сечении реки через каждые 2 м дали, следующие результаты:. Секундный расчет воды Q получим, если умножим эту площадь поперечного сечения на скорость течения реки: Здесь точно оценить погрешность нельзя. Это более совершенный способ — график подынтегральной функции приближается не ломаной линией, а маленькими параболами. Сколько промежуточных отрезков — столько и маленьких парабол. Если взять те же три отрезка, то метод Симпсона даст ещё более точное приближение, чем метод прямоугольников или метод трапеций. Задача на вычисление определенного интеграла по формуле Симпсона — самая популярное задание на практике. И методу парабол будет уделено значительное внимание. Рассмотрим определенный интеграл , где — функция, непрерывная на отрезке. Проведём разбиение отрезка на чётное количество равных отрезков. Чётное количество отрезков обозначают через. Итак, наше разбиение имеет следующий вид: Термины аналогичны терминам метода трапеций: Формула Симпсона для приближенного вычисления определенного интеграла имеет следующий вид: Детализируя это нагромождение, разберу формулу подробнее: Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле Симпсона с точностью до 0, Разбиение начать с двух отрезков. Необходимо вычислить определенный интеграл с определенной точностью.. Как и для метода трапеций, существует формула, которая сразу позволит определить нужное количество отрезков, чтобы гарантированно достичь требуемой точности. Если у нас два отрезка разбиения , то узлов будет на один больше: И формула Симпсона принимает весьма компактный вид: Еще раз комментирую, как заполняется таблица:. Во второй строке сначала пишем нижний предел интегрирования , а затем последовательно приплюсовываем шаг. В третью строку заносим значения подынтегральной функции. Например, если , то. Теперь удваиваем количество отрезков до четырёх: Формула Симпсона для данного разбиения принимает следующий вид: Погрешность больше требуемой точности: Формула Симпсона примет вид: И снова заполним расчетную таблицу: Погрешность меньше требуемой точности: Осталось взять наиболее точное приближение , округлить его до трёх знаков после запятой и записать:. Вычислите по формуле трапеций , разбивая отрезок на 4 равные части; найдите его точное значение по формуле Ньютона-Лейбница и относительную погрешность в процентах. Вычислите по формуле трапеций с точностью до 0, Увлечёшься девушкой-вырастут хвосты, займёшься учебой-вырастут рога - - или читать все Все вышеперечисленное Все вышеперечисленное правильно Все перечисленное Глава 8. Численное интегрирование Перечисленное в п. Синусы лимфатических узлов характеризует все перечисленное, КРОМЕ 1 Синусы лимфатических узлов характеризует все перечисленное, КРОМЕ 1 Тема 4. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Методические указания по теме 4. Вычисление интегралов по формулам прямоугольников. Если суммировать площади прямоугольников, которые покрывают площадь криволинейной трапеции с недостатком, функция неубывающая, то вместо формулы используют формулу Если с избытком, то Значения находят из равенств. Вычислить по формуле прямоугольников Разделим промежуток интегрирования на 5 частей. При помощи калькулятора или таблицы найдем значения подынтегральной функции с точностью до 4-х знаков после запятой: По формуле прямоугольников с недостатком С другой стороны по формуле Ньютона-Лейбница Найдем относительную погрешность вычисления по формуле прямоугольников: Вычисление интегралов по формулам трапеций.
Что нельзя делать после имплантации
Понятие и признаки информационного общества
Кинель черкасский на карте
Телефон на 2 сим карты днепропетровск
Новости тюмени 21 июня 2017