Задачи комбинаторики.
Задачи по комбинаторике для 5-8 классов
Комбинаторика
Человеку часто приходится иметь дело с задачами, в которых нужно подсчитать число всех возможных способов расположения некоторых предметов или число всех возможных способов осуществления некоторого действия. Разные пути или варианты, которые приходится выбирать человеку, складываются в самые разнообразные комбинации. Такие задачи приходиться рассматривать при определении наиболее выгодных коммуникаций внутри города, при организации автоматической системы управления, значит и в теории вероятностей, и в математической статистике со всеми их многочисленными приложениями. И целый раздел математики, называемый комбинаторикой, занят поиском ответов на вопросы: Комбинаторика — ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов, казалось, долгое время лежала вне основного русла развития математики и ее приложений. На протяжении двух с половиной столетий основную роль в изучении природы играл математический анализ. Процессы, имевшие атомистическую природу, заменялись непрерывными, чтобы можно было применить к ним развитый аппарат математики. Положение коренным образом изменилось после создания быстродействующих вычислительных машин, компьютеров. Из области, интересовавшей большей частью составителей занимательных задач и находившей основные применения в кодировании и расшифровке древних письменностей, она превратилась в область, находящуюся на магистральном пути развития науки. Стали выходить журналы по комбинаторике, печататься книги, посвященные этой науке. Элементы комбинаторики находят отражение и в школьном курсе математики. В нынешнее время комбинаторика имеет огромное значение в различных областях науки и сферы. С комбинаторными величинами приходится иметь дело представителям многих специальностей: Усиление интереса к комбинаторике в последнее время обуславливается бурным развитием кибернетики и вычислительной техники. Вывод общих формул, позволяющих решать комбинаторные задачи. Показать, что область комбинаторики широко применяется в различных сферах жизнедеятельности. И если бы не вмешался Соловей, участники квартета, наверное, перепробовали бы все возможные варианты. Разумеется, все паспорта должны иметь разные номера. Сколько может быть различных паспортов? Нас приглашают сыграть в Лото-Миллион. Суть игры в том, что нужно из 49 номеров угадать 6, которые выпадут во время тиража. Для участия в игре следует приобрести специальную карточку и вычеркнуть в ней 6 любых квадратов, пронумерованных числами от 1 до Чтобы выиграть наверняка, можно было бы запастись таким количеством карточек, какое необходимо для вычеркивания 6 номеров всеми возможными способами. Общее у всех трёх задач то, что их решением занимается отдельная область математики, называемая комбинаторикой. В повседневной жизни нередко перед нами возникают проблемы, которые имеют не одно, а несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, очень важно не упустить ни один из них. Для этого надо осуществить перебор всех возможных вариантов или хотя бы подсчитать их число. Такого рода задачи называют комбинаторными. Комбинаторика — ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов, — возникла в XVII в. Долгое время комбинаторика лежала вне основного русла развития математики. Элементы комбинаторики находили отражение и в школьном курсе математики. С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определённом порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись ещё в доисторическую эпоху. Ещё первобытный вождь понимал, что у десятка охотников вероятность поразить копьём зубра гораздо больше, чем у одного. Поэтому и охотились тогда коллективно. Неосновательно было бы думать, что такие древние полководцы, как Александр Македонский или Дмитрий Донской, готовясь к сражению, уповали только на доблесть и искусство воинов. Несомненно, они на основании наблюдений и опыта военного руководства умели как-то оценить вероятность своего возвращения со щитом или на щите, знали, когда принимать бой, когда уклониться от него. Позднее, с опытом, человек всё чаще стал взвешивать случайные события, классифицировать их исходы как невозможные, возможные и достоверные. Он заметил, что случайностями не так уж редко управляют объективные закономерности. Наиболее интересные для начинающих задачи комбинаторики и теории вероятностей возникли в области азартных игр. Этому, по-видимому, способствовало наличие монеты или игральной кости. Одним из первых занялся подсчетом числа различных комбинаций при игре в кости итальянский математик Тарталья. Однако при этом не учитывалось, что одна и та же сумма очков может быть получена разными способами. Со временем появились различные игры нарды, карты, шашки, шахматы и т. В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных. Не только азартные игры давали пищу для комбинаторных размышлений математиков. Еще с давних пор дипломаты, стремясь к тайне переписки, изобретали сложные шифры, а секретные службы других государств пытались эти шифры разгадать. Стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах, например, на различных перестановках букв с использованием ключевых слов и т. Как раздел математики комбинаторика возникла в XVI веке, так как для решения вероятностных задач необходимо было подсчитать число различных комбинаций элементов. Первые научные исследования по комбинаторике принадлежат итальянским ученым Дж. Дальнейшее развитие комбинаторики связано с трудами Б. Паскаля — гг. Ферма — гг. Позднее крупный вклад в развитие комбинаторных методов был сделан Г. Лейбницем — гг. Бернулли — гг. Эйлером — гг. В их работах были даны определения основных понятий комбинаторики, развиты первые комбинаторные методы и указаны их применения, а также прослежена связь комбинаторики с исчислением вероятностей. Именно комбинаторика послужила фундаментальной основой началам теории вероятностей. Возрождение интереса к комбинаторике относится к м годам XX века. Это связано с развитием кибернетики и дискретной математики. Возможность использовать ЭВМ активизировала интерес к классическим комбинаторным задачам. В жизни каждый из нас часто сталкивается с задачами о подсчёте числа комбинаций, составленных из некоторых элементов по определённым правилам. Начнём с нескольких примеров, типичных для комбинаторики задач. В классе 30 учащихся. Так как по условию задачи каждый учащийся может быть избран старостой, то, очевидно, существует 30 способов выбора старосты. Любой из 30 способов выбора старосты может осуществляться вместе с любым из 29 способов выбора физорга. Для дежурства в классе в течение недели кроме воскресенья выделены 6 учащихся. Сколькими способами можно установить очерёдность дежурств, если каждый учащийся дежурит один раз? В понедельник может дежурить любой из выделенных шести человек. Во вторник может дежурить каждый из ещё не дежуривших пяти учащихся. К среде остаются четыре человека, которые ещё не дежурили, и поэтому на среду дежурного можно будет назначать 4 способами. Каждый из этих способов может комбинироваться с любым из 30 способов выбора дежурных на понедельник и вторник. В четверг сможет дежурить любой из трёх ещё не дежуривших учащихся, в пятницу — любой из двух ещё не дежуривших. К субботе выбора не будет, так как останется один человек, который ещё не дежурил. Он и будет дежурным в субботу. Ясно, что число способов, которыми можно установить очерёдность дежурств, равно. Для проведения экзамена создаётся комиссия из двух преподавателей. Сколько различных комиссий можно составить из пяти преподавателей? Обозначим для удобства преподавателей буквами А, В, С, Д, Е. Теперь выпишем все возможные варианты состава комиссии, а именно: АВ, АС, АД, АЕ,. Данная задача решена методом перебора всех возможных случаев. Конечно, такой метод применим только тогда, когда число случаев невелико. Если бы в этой задаче речь шла о создании комиссии не из двух человек, а допустим, из семи, а выбирать экзаменаторов нужно было бы, например, из четырнадцати преподавателей, то попытка перебрать все способы окончилась бы, по всей видимости, неудачей, так как в этом случае можно образовать комиссии. Этот результат легко можно получить, если применить формулы, позволяющие решать подобные задачи. Задача, в которых идет речь о тех или иных комбинациях объектов, называются комбинаторными. Область математики, в которой изучаются комбинаторные задачи, называются комбинаторикой. Комбинаторику можно рассматривать как часть теории множеств — любую комбинаторную задачу можно свести к задаче о конечных множествах и их отображениях. Пусть имеется множество, содержащее n элементов. Каждое упорядоченное подмножество, состоящее из k элементов, называется размещением из n элементов по k элементов. Для множества, состоящего из 4—х элементов а, б, с, д, размещения по 3 элемента составляют: В комбинаторных задачах необходимо уметь подсчитывать число всех возможных размещений из n элементов по k элементов. А — первая буква французского слова arrangement, что означает размещение, приведение в порядок. В общем случае на вопрос о числе размещений из n элементов по k элементов даёт ответ следующая формула: Число размещений из n элементов по k элементов равно числу всех k — элементных упорядоченных подмножеств множества, содержащего n элементов. Первый элемент подмножества можно, очевидно, выбрать n способами, второй элемент подмножества можно выбрать уже только n — 1 способом, так как в качестве второго элемента можно взять любой элемент множества, кроме уже выбранного первым. Каждый из способов выбора первого элемента может объединиться с каждым из способов выбора второго, и следовательно, существует n n — 1 способов выбора первых двух элементов при построении k-элементного упорядоченного подмножества. После выбора первых двух элементов остаются n — 2 возможности для выбора третьего элемента, и каждая из этих возможностей может комбинироваться с любой из возможностей выбора первых двух элементов, то есть выбор первых трёх элементов может быть осуществлён n n — 1 n — 2 способами. Последний k-й элемент k-элементного подмножества может быть выбран. Произведение всех натуральных чисел от n до единицы, обозначают символом n! Используя знак факториала, можно, например, записать: Для нахождения числа размещений из n элементов по k элементов можно также применять следующую формулу: В седьмом классе изучается 14 предметов. Сколькими способами можно составить расписание занятий на субботу, если в этот день недели, должно быть, пять различных уроков? Различных способов составления расписания, очевидно, столько, сколько существует пятиэлементных упорядоченных подмножеств у четырнадцатиэлементного множества. Следовательно, число способов равно числу размещений из 14 элементов по 5, то есть равно А 14 5. Сколькими способами можно изготовить 3-х цветный флаг с горизонтальными полосами, если имеется материал 7-ми цветов. В купе вагона едут четыре попутчика. Трое из них выходят на следующей станции, а один пассажир продолжит движение дальше. Сколько имеется различных вариантов выхода попутчиков из купе вагона? Всевозможные комбинации выходящих друг за другом трёх из четырёх пассажиров купе образуют размещения из четырёх элементов по три. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 при условии, что в записи числа каждая цифра используется только один раз? В условии задачи предложено подсчитать число всевозможных комбинаций из двух цифр, взятых из предположенных восьми цифр, причём порядок расположения цифр в комбинации имеет значение например, числа 13 и 31 различные. Иначе говоря, нужно найти число размещений из восьми элементов по два. По формуле числа размещений находим: Размещения из n элементов по n элементов называются перестановками из n элементов. Перестановки являются частным случаем размещений. Так как каждая перестановка содержит все n элементов множества, то различные перестановки отличаются друг от друга только порядком элементов. Число перестановок из n элементов обозначают через Р n. Р — первая буква французского слова permutation — перестановка. Действительно, формула 2 даёт. Итак, число перестановок из n элементов равно n! Таким образом в множестве, содержащем n элементов, установить определённый порядок следования элементов или, как говорят, упорядочить такое множество можно n! Например, список учеников класса, в котором 20 человек и нет однофамильцев, можно составить. Но сколькими способами можно поставить три различные буквы на шесть мест? Очевидно, что число способов равно числу всех трёхэлементных упорядоченных подмножеств шестиэлементного множества, то есть равно. Можно рассуждать и иначе. Если бы все шесть букв слова были различны, то число перестановок было бы равно 6!. Сколькими способами можно разместить на полке 5 книг? Задача сводится к подсчёту числа перестановок из пяти элементов: Сколькими способами могут быть расставлены 8 участниц финального забега на 8-ми беговых дорожках? Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Каждое его подмножество, содержащее k элементов, называется сочетанием из n элементов по k элементов. Сочетания из n элементов по k элементов — это все k-элементные подмножества n-элементного множества, причём различными подмножествами считаются только те, которые имеют неодинаковый состав элементов. Подмножества, отличающиеся друг от друга только порядком следования элементов, не считаются различными. С — первая буква французского слова combinasion — сочетание. В общем случае число сочетаний из n элементов по k элементов определяется следующей формулой: Формулу 3 можно записать в другом, более удобном для вычислений виде: Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 7 членов, можно образовать из 14 преподавателей? Очевидно, столько, сколько существует семиэлементных подмножеств у четырнадцатиэлементного множества. По формуле 4 находим. Сколько матчей играется в течение сезона? В первом круге состоится столько матчей, сколько существует двухэлементных подмножеств у множества, содержащего 18 элементов, то есть их число равно С 18 2. По формуле 4 получаем. Во втором круге играется столько же матчей, поэтому в течение сезона состоится встреч. Из числа учащихся, посещающих биологический кружок, в котором занимаются 5 девушек и 3 юноши, нужно направить на практику двоих: Сколько существует различных пар, которые можно направить на практику? Девушку из состава кружка можно выбрать пятью способами, а юношу — тремя. Пару девушка с юношей можно выбрать пятнадцатью различными способами. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4? Первой цифрой трёхзначного числа может быть одна из четырёх цифр 1, 2, 3, 4, а второй и третьей — любая из пяти цифр 0,1, 2, 3, 4. Сколько всего было сделано рукопожатий? Теперь выпишем все возможные варианты рукопожатий, а именно: АБ, АВ, АГ, АД, АЕ,. Для подарков первоклассникам закупили книги пяти разных авторов и игрушки шести разных видов. Сколько различных подарков можно составить, если в каждый должна входить одна книга и одна игрушка? Сколько различных смешанных пар для игры в теннис можно образовать из восьми юношей и шести девушек? Путешественник из пункта А в пункт С может попасть, доехав до промежуточного пункта В по одной из трёх существующих автомагистралей, а из В в С доехать либо поездом, либо на такси. Сколько существует различных маршрутов между пунктами А и С? Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4? В соответствии с правилом произведения всего можно образовать. В соревновании участвуют 10 команд. Сколько существует вариантов распределения призовых 1, 2, 3 мест? Девятиклассники Миша, Дима, Антон и Саша побежали на перемене к теннисному столу, за которым уже шла игра. Сколькими способами подбежавшие к столу четверо девятиклассников могут занять очередь для игры в настольный теннис? Первым в очередь мог встать любой девятиклассник, вторым — любой из оставшихся троих, третьим — любой из оставшихся двоих и четвёртым — девятиклассник, подбежавший последним. Стас решил пойти на новогодний карнавал в костюме мушкетёра. Сколько различных карнавальных костюмов можно составить из этих предметов? Общее количество предметов по правилу умножения равно: Олеся, Оксана и Юля купили билеты на концерт симфонического оркестра на 1, 2 и 3-е места первого ряда. Сколько существует способов размещения девочек на эти места? Количество различных способов равно числу перестановок из 3 элементов: Сергей, Игорь и Миша могут занять 1-е, 2-е и 3-е призовые места в соревнованиях по шахматам. Перечислить всевозможные последовательности из имён мальчиков, где порядковый номер в последовательности соответствует занятому мальчиком месту в соревнованиях. Сначала выбираем одного на первое место, а двух других меняем местами, потом берём на первое место другого и т. В школьной столовой имеются помидоры, огурцы и лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый из них должны входить в равных долях 2 различных вида овощей? Записать все сочетания овощей в составленных салатах. Расположим данные овощи по порядку: Запишем все сочетания овощей в салатах. Будем брать поочерёдно каждый овощ кроме последнего и добавлять к нему по одному, только из последующих, поскольку порядок выбора не важен: На соревнованиях по лёгкой атлетике нашу школу представляла команда из 10 спортсменов. Выбор из 10 по 4 с учётом порядка: Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий и зеленый шарики? В одном советском учреждении был обнаружен несгораемый шкаф, сохранившийся с дореволюционных лет. Отыскался и ключ к нему, но чтобы им воспользоваться, нужно было знать секрет замка; дверь шкафа открывалась лишь тогда, когда имевшиеся на двери 5 кружков с алфавитом на их ободах 36 букв устанавливались на определённое слово. Так как никто этого слова не знал, то, чтобы не взламывать шкафа, решено было перепробовать все комбинации букв в кружках. На составление одной комбинации требовалось 3 секунды времени. Можно ли надеяться, что шкаф будет открыт в течение ближайших 10 рабочих дней? Подсчитаем, сколько всего буквенных комбинаций надо было перепробовать. Каждая из 36 букв первого кружка может сопоставляться с каждой из 36 букв второго кружка. Значит, двухбуквенных комбинаций возможно. К каждой из этих комбинаций можно присоединить любую из 36 букв третьего кружка. Поэтому трёхбуквенных комбинаций возможно. Чтобы составить эти 60 с лишним миллионов комбинаций, потребовалось бы времени, считая по 3 секунды на каждую,. Значит, шансов на то, что шкаф будет открыт в течение ближайших 10 рабочих дней, имеется 10 на , или один из Это очень малая вероятность. Комбинаторика в различных областях жизнедеятельности человека. Достали нот, баса, альта, две скрипки. И сели на лужок под липки —. Я, прима, сяду против вторы;. Кому и как сидеть. Скажи лишь, как нам сесть! Мартышка, Осёл, Козёл и Мишка пересаживались, считая, что от этого зависит звучание музыки. Профессиональный интерес математиков к шахматам проявился довольно давно и был связан с двумя направлениями: Первое — рассмотрение игры с точки зрения построения ее формальной модели, удобной для логического анализа на основе действующих соревновательных правил. Второе — исследование конкретных позиций или их классов в игре для достижения определенных результатов, например матовой позиции за определенное число ходов. Последнее направление породило множество изящных логико-вычислительных проблем. Некоторые из них и по сей день предлагаются на различных математических и программистских олимпиадах, а также для развлечения на досуге. Клод Шеннон и Михаил Ботвинник внесли огромный вклад в создание математической модели шахматной игры и способствовали прогрессу в интеллектуализации программ для нее. По существу компьютерные шахматы — едва ли не самый убедительный пример за полвека развития информационных технологий, когда именно в интеллектуальной деятельности автомат успешно соперничает с человеком. Необыкновенно популярна головоломка - кубик Рубика, изобретенный в г. Задача поиска оптимального по числу ходов алгоритма сбора кубика Рубика является самой сложной и не решенной пока математической задачей. Представляет интерес также изучение группы, порожденной поворотами граней, и др. Кубик Рубика служит не только развлечением, но и прекрасным наглядным пособием по алгебре, комбинаторике, программированию. Вся наша жизнь состоит из множества разнообразных программ. Чтобы запустить ту или иную программу нужно ввести соответствующий верный пароль. В качестве кода в зависимости от рода программы могут выступать всевозможные цифры, слова или комбинации слов, поведение или действие, и так далее Когда мы узнаем что-то новое, развиваемся, к нам приходит жизненный опыт, он то, как раз и есть ничто иное, как набор всевозможных паролей, комбинаций. Ведь опытный человек всегда найдет лучшее решение в конкретной ситуации, потому — что он располагает большей комбинацией паролей. Мебельная комбинаторика позволяет рассматривать различные варианты комплектации предметов мебели и выбирать из них наилучшее, комфортнее и практичнее. Комбинаторика имеет огромное значение в различных областях науки и сферы. Комбинаторика используется в литературе, математике, музыке, в мебельной деятельности, и различных играх нарды, шашки, шахматы. В каждой из этих игр приходится рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывает тот, кто их лучше изучает, знает выигрышные комбинации и умеет избегать проигрышных. Усиление интереса к комбинаторике в последнее время обуславливается бурным развитием кибернетики. Таким образом, мы подтвердили гипотезу: Учебное пособие для 11 классов общеобразовательных учреждений. Пособие по математике для поступающих в вузы. Элементы высшей математики для школьников. Рассмотрены различные задачи, показаны области применения комбинаторики. Данную презентацию составил ученик 9 класса для проверки домашнего задания по изучаемой теме. Тексты задач взяты из сборника для подготовки к ГИА "Математика 9 класс" под редакцией Ф. Урок-практикум направлен на формирование навыков решения задач В10 единого государственного экзамена. В начале урока организовано повторение небольшого блока теоретического материала, зате Систематизирован теоретический материал, решены задачи по теме, подобраны задачи для самопроверки Предлагаемый мною урок по теме: Социальная сеть работников образования ns portal. Детский сад Начальная школа Школа НПО и СПО ВУЗ. Главная Группы Мой мини-сайт Ответы на часто задаваемые вопросы Поиск по сайту Сайты классов, групп, кружков Сайты образовательных учреждений Сайты пользователей Форумы. Поиск по библиотеке Алгебра Астрономия Биология География Геометрия Дополнительное образование Естествознание Изобразительное искусство Иностранные языки Информатика и ИКТ История Коррекционная педагогика Краеведение Литература Материалы для родителей МХК Музыка ОБЖ Обществознание Право Природоведение Психология Родной язык и литература Русский язык Технология Физика Физкультура и спорт Химия Экология Экономика Администрирование школы Внеклассная работа Классное руководство Материалы МО Материалы для родителей Материалы к аттестации Междисциплинарное обобщение Общепедагогические технологии Работа с родителями Социальная педагогика Сценарии праздников Аудиозаписи Видеозаписи Разное. Комбинаторика в различных областях жизнедеятельности. Некоторое число, записанное римскими цифрами; Две русские буквы; Шесть арабских цифр. Таким образом, видно, что число различных комиссий равно Всего 6 вариантов расположения. Ударили в смычки, дерут, а толку нет. Ведь вы не так сидите. У нас запляшут лес и горы! Случилось Соловью на шум их прилететь. Тут с просьбой все к нему, чтоб их решить сомненье: Число перестановок можно посчитать по формуле: Математика на шахматной доске и в играх. Пароли и коды в нашей жизни. Заключение Человеку часто приходится иметь дело с задачами, в которых нужно подсчитать число всех возможных способов расположения некоторых предметов или число всех возможных способов осуществления некоторого действия. Решение комбинаторных и логических задач Брошюра для внеклассного занятия по математики Разработка урока по математике в 11 классе Тема: Теория вероятностей и комбинаторные правила решения задач. Задачи В10 Урок-практикум направлен на формирование навыков решения задач В10 единого государственного экзамена. Комбинаторика и элементы теории вероятностей и статистики в задачах ГИА Систематизирован теоретический материал, решены задачи по теме, подобраны задачи для самопроверки Комбинаторика и комбинаторные задачи Комбинаторика и комбинаторные задачи Методическая разработка урока по теме:
Главная Вопросы-ответы Новости О профессиях Тесты IQ, ЕГЭ, ГИА. Имеется пять карточек, на двух написана буква А, на двух буква Н, на одной буква Б. Когда карточки перевернули, какова вероятность, что получится слово БАНАН? Осталось 4 буквы, из них 2 буквы А. Количество перестановок пяти букв равно 5! Благоприятный исход - такая перестановка букв, при которой получается слово БАНАН. Слово " учебник " составлено из букв разрезной азбуки. Затем карточки с буквами перемешивают и из них извлекают по очереди 6 карточек. Какова вероятность того, что эти шесть карточек, в порядке выхода, составят слово " ученик "? На восьми одинаковых карточках написаны буквы Т,Ц,В,О,К,М,Е,О,И. Карточки перемешивают и раскладывают в ряд. Какова вероятность того,что разложив 6 карточек получится слово ЦВЕТОК? Осталось 5 карточек, и на двух буквы о. Слово "САХАР" написали на полоске картона и разрезали полосу на буквы. Найдите вероятность того, что, составив эти пять картонок случайным образом в ряд, мы снова получим слово "САХАР". Русский язык Будущее в прогнозах ученых Из студенческой жизни Интернет и компьютеры Образование за рубежом Новости Скачать файлы Профессии Как задавать вопросы Развлечения Всяко-разно ДНЕВНИКИ По секрету всему свету Праздники. Введите логин или email для восстановления. Темы Как пользоваться сайтом. Банковские задачи и задачи на оптимальный выбор А я выбрал профессию Текстовые задачи ЕГЭ, ГИА. Задачи В12 ЕГЭ мат. Будущее в прогнозах ученых. По секрету всему свету. Слово "учебник" состоит из 7 различных букв. Благоприятный исход 1 - набор из букв "ученик".
Груша осенняя яковлева описание сорта фото
Вологодский институт фсин
Приказа ростехнадзора от 11.12 2013 n 599
Уклонение от подписание контракта
Первая арабо израильская война причины