Ссылка на файл: >>>>>> http://file-portal.ru/История развития чисел в математике/
История развития чисел
История развития чисел. История развития действительных чисел
Реферат: Развитие понятия числа
Возникновение чисел в нашей жизни не случайность. Невозможно представить себе общение без использования чисел. История чисел увлекательна и загадочна. Человечеству удалось установить целый ряд законов и закономерностей мира чисел, разгадать кое-какие тайны и использовать свои открытия в повседневной жизни. Без замечательной науки о числах — математики — немыслимо сегодня ни прошлое, ни будущее. А сколько ещё неразгаданного! Древние люди не умели считать. Да и считать им было нечего, потому что предметов, которыми они пользовались — орудий труда, — было совсем немного: Издавна числа казались людям чем-то таинственным. Любой предмет можно было увидеть и потрогать. Число потрогать нельзя, и вместе с тем числа реально существуют, поскольку все предметы можно посчитать. Эта странность заставила людей приписывать числам сверхъестественные свойства. В наш скоростной быстролётный век — век большого изобилия информации, различных печатных изданий и виртуального мира трудно чем - либо удивить людей. Написать, создать что-либо, да так, чтобы интересно было читать! С самого раннего детства мы знакомимся с числами. А какие же бывают числа? На этот вопрос я попыталась ответить в своей работе. Возможно, не все подробно, но в своей работе я старалась затронуть все аспекты, связанные с выбранной темой. Этой работой могут воспользоваться те, кто хочет знать о математике больше, чем рядовой школьник. На первых этапах существования человеческого общества числа служили для примитивного счета предметов, дней, шагов. В первобытном обществе человек нуждался лишь в нескольких первых числа. С развитием цивилизации ему потребовалось изобретать все больше числа, этот процесс продолжался на протяженности многих столетий и требовал напряженного интеллектуального труда. При обмене продуктами появилась необходимость сравнивать числа, возникли понятия больше, меньше, равно. На этом же этапе люди стали складывать числа, затем научились вычитать, делить, умножать. При делении двух натуральных чисел появились дроби, при вычитании — отрицательные числа. Необходимость выполнять арифметические действия привела к понятию рациональных чисел. Потребовалась не одна сотня лет, чтобы математики смогли выработать способ записи таких чисел в виде бесконечной непериодической десятичной дроби. Так появились иррациональные числа, которые вместе с рациональными назвали действительными числами. Математики пришли к необходимости расширить понятия числа, чтобы в новом множестве можно было всегда извлечь квадратный корень. Новое множество назвали множеством комплексных чисел, введя понятие мнимой единицы: Долгое время многие ученые не признавали их за числа. Только после того, как нашли возможность представить мнимое число геометрически, так называемые мнимые числа получили свое место во множестве чисел. Два комплексных числа называются равными, если равны их действительные части и коэффициенты при мнимых частях, т. Задумывались ли вы когда-нибудь о том, сколько километров проходит человек за свою жизнь, сколько товаров производится и приходит в негодность ежечасно в пределах города, страны? Во сколько раз скорость пассажирского реактивного самолета превосходит скорость тренированного спортсмена-пешехода? Ответы на эти и тысячи подобных вопросов выражаются числами, занимающими зачастую по числу своих десятичных разрядов целую строку и даже больше. Для сокращения записи больших чисел давно используется система величин, в которой каждая из последующих в тысячу раз больше предыдущей:. Степень числа — произведение его самого на себя требуемое число раз, которое называется показателем степени а само число — ее основанием. При записи больших чисел часто используют степень числа Попробуйте подсчитать, сколько дней вы прожили, сколько километров приблизительно прошагали. Задумайтесь об этих числах. Существуют числа, носящие имена великих математиков: Число, о котором пойдет речь, не менее популярно. Число обладает рядом интересных свойств:. Это самое маленькое натуральное четырехзначное число, которое можно представить в виде суммы кубов двух натуральных чисел: Так как делится на 7, то чтобы делилось на 7, достаточно, чтобы на 7 делилась разность Таким образом, чтобы узнать, делится ли число на 7 на 11 или 13 , необходимо от этого числа без последних трех цифр отнять число из трех последних цифр; если эта разность делится на 7 11 или 13 , то и заданное число также делится на 7 11 или Задумайтесь, может и вы найдёте сказочное число. Два таких числа называются взаимно обратными. На земном шаре обитают птицы — безошибочные составители прогноза погоды на лето. Название этих птиц зашифровано примерами, записанными на доске. Последовательно решив примеры и заменив ответы буквами, вы прочтёте название птиц — метеорологов. Если записать натуральные числа в ряд , и в тех местах, где стоят простые числа, зажечь фонарики, то не нашлось в этом ряду места, где была бы сплошная темнота. Фонарики расположились бы очень причудливо. Между ними есть только одно число - четное, это 2, а остальные нечетные. Два последовательных нечетных числа, каждое из которых является простым — называются числами — близнецами. До сих пор неизвестно, есть ли самые большие числа-близнецы. И до сих пор нет ответа на вопрос: Первым глубокие исследования о том, как разбросаны простые числа среди натуральных, получил русский математик Пафнутий Львович Чебышев. Но до сих пор математики не знают формулы, с помощью которой можно получить простые числа одно за другим, нет даже формулы, дающей только простые числа. Над тем, как составить список простых чисел, задумался живущей в 3 веке до нашей эры александрийский ученый Эратосфен. Его имя вошло в науку в связи с методом отыскания простых чисел. После выкалывания всех составных чисел таблица напоминала решето. В году Леонард Эймер установил, что число — 1 является простым. Оно оставалось самым большим из известных простых чисел более ста лет. В году французский математик Лукас установил, что огромное число. Оно содержит 39 цифр. Для его вычисления были использованы механические настольные счетные машины. В году было найдено следующее простое число: А простое число состоит из цифр. При этом число m называется числителем, а число n — знаменателем дроби. Такую дробь следует интуитивно понимать, как результат деления m на n, даже если нацело разделить не удаётся. В реальной жизни можно использовать рациональные числа для счёта частей некоторых целых, но делимых объектов, например, тортов или других продуктов, разрезаемых на несколько частей перед употреблением, или для грубой оценки пространственных отношений протяжённых объектов. По мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются всё реже. Третье совершенное число — , четвёртое — , пятое — 33 , шестое — 8 последовательность A в OEIS. Среди всех интересных натуральных чисел, издавна изучаемых математиками, особое место занимают совершенные и близко связанные с ними дружественные числа. Совершенным называется число, равное сумме всех своих делителей включая 1, но исключая само число. Наименьшее из совершенных чисел 6 равно сумме трех своих делителей 1, 2 и 3. Разве не за 6 дней был сотворен мир, восклицали они, и разве Луна обновляется не за 28 суток? Первым крупным достижением теории совершенных чисел была теорема Евклида о том, что число 2n-1 2n-1 - четное и совершенное, если число 2n-1 - простое 1. Лишь две тысячи лет спустя Эйлер доказал, что формула Евклида содержит все четные совершенные числа. Поскольку не известно ни одного нечетного совершенного числа у читателей есть шанс найти его и прославить свое имя , то обычно, говоря о совершенных числах, имеют в виду четное совершенное число. Приглядевшись к формуле Евклида, мы увидим связь совершенных чисел с членами геометрической прогрессии 1, 2, 4, 8, 16, Эту связь лучше проследить на примере древней легенды, согласно которой Раджа обещал изобретателю шахмат любую награду. Изобретатель попросил положить на первую клетку шахматной доски одно зерно пшеницы, на вторую клетку - два зерна, на третью - четыре, на четвертую - восемь и так далее. Это больше, чем собрано во всех урожаях за историю человечества. Если на каждой клетке шахматной доски мы напишем, сколько зерен пшеницы причиталось бы за нее изобретателю шахмат, а затем снимем с каждой клетки по одному зерну, то число оставшихся зерен будет точно соответствовать выражению, стоящему в скобках в формуле Евклида. Если это число простое, то, умножив его на число зерен на предыдущей клетке то есть на 2n-1 , мы получим совершенное число! Простые числа вида 2n-1 называются числами Мерсенна в честь французского математика XVII века. На шахматной доске со снятыми по одному зерну с каждой клетки есть девять чисел Мерсенна, соответствующих девяти простым числам, меньших 64, а именно: Умножив их на число зерен на предыдущих клетках, мы получим девять первых совершенных чисел. Формула Евклида позволяет без труда доказывать многочисленные свойства совершенных чисел. Например, все совершенные числа треугольные. Это значит, что, взяв совершенное число шаров, мы всегда сможем сложить из них равносторонний треугольник. Из той же формулы Евклида следует другое любопытное свойство совершенных чисел: Например, взяв делители совершенного числа 28, получим:. Кроме того, интересны представление совершенных чисел в двоичной форме, чередование последних цифр совершенных чисел и другие любопытные вопросы, которые можно найти в литературе по занимательной математике. Главные из них - наличие нечетного совершенного числа и существование наибольшего совершенного числа - до сих пор не решены. От совершенных чисел повествование непременно перетекает к дружественным числам. Это такие два числа, каждое из которых равно сумме делителей второго дружественного числа. Наименьшие из дружественных чисел и были известны еще пифагорейцам, которые считали их символом дружбы. Следующая пара дружественных чисел и была открыта французским юристом и математиком Пьером Ферма лишь в году, а последующие числа находили Декарт, Эйлер и Лежандр. Шестнадцатилетний итальянец Никколо Паганини тезка знаменитого скрипача в году потряс математический мир сообщением о том, что числа и дружественные! Эту пару, ближайшую к и , проглядели все знаменитые математики, изучавшие дружественные числа. Иногда частным случаем дружественных чисел считаются совершенные числа: Давным-давно, помогая себе при счете камушками, люди обращали внимание на правильные фигуры, которые можно выложить из камушков. Можно просто класть камушки в ряд: Если класть их в два ряда, чтобы получались прямоугольники, мы обнаружим, что получаются все четные числа. Можно выкладывать камни в три ряда: Всякое число, которое на что-нибудь делится, можно представить таким прямоугольником, и только простые числа не могут быть "прямоугольными". А что если складывать треугольник? Треугольник получается из трех камушков: Если добавить камень в нижний ряд, появится еще одна ложбинка; заполнив ее, мы получим ложбинку, образованную двумя камушками второго ряда; положив в нее камень, мы наконец получим треугольник. Итак, нам пришлось добавить три камушка. Следующий треугольник получится, если добавить четыре камушка. Выходит, что на каждом шаге мы добавляем столько камней, сколько их становится в нижнем ряду. Если теперь считать, что один камень - это тоже треугольник, самый маленький, у нас получится такая последовательность чисел: Итак, фигурные числа - это общее название чисел, геометрическое представление которых связано с той или иной геометрической фигурой. Числа древними греками, а вместе с ними Пифагором и пифагорейцами мыслились зримо, в виде камешков, разложенных на песке или на счетной доске - абаке. По этой причине греки не знали нуля, т. Но и единица еще не была полноправным числом, а представлялась как некий "числовой атом", из которого образовывались все числа Пифагорейцы называли единицу "границей между числом и частями", т. Число же определялось как множество, составленное из единиц. Особое положение единицы как "числового атома", роднило ее с точкой, считавшейся "геометрическим атомом". Вот почему Аристотель писал: Числа камешки раскладывались в виде правильных геометрических фигур, эти фигуры классифицировались. Так возникли числа, сегодня именуемые фигурными. Древние греки, когда им приходилось умножать числа, рисовали прямоугольники; результатом умножения трех на пять был прямоугольник со сторонами три и пять. Это - развитие счета на камушках. Множество закономерностей, возникающих при действиях с числами, были обнаружены древнегреческими учеными при изучений чертежей. И долгие века лучшим подтверждением справедливости таких соотношений считался способ геометрический, с прямоугольниками, квадратами, пирамидами и кубами. В V - IV веках до нашей эры ученые, комбинируя натуральные числа, составляли из них затейливые ряды, придавая элементам этих рядов то или иное геометрическое истолкование. С их помощью можно выложить правильные геометрические фигуры: Увлеклись, причем независимо друг от друга, нахождением таких чисел Б. Даже в XVII века, когда была уже хорошо развита алгебра с обозначениями величин буквами, со знаками действий, многие считали ее варварской наукой, пригодной для низменных целей- бытовых расчетов, вспомогательных вычислений , - но никак не для благородных научных трудов. Один из крупнейших математиков того времени, Бонавентура Кавальери, пользовался алгеброй, ибо вычислять с ее помощью проще, но для обоснования своих научных результатов все алгебраические выкладки заменял рассуждениями с геометрическими фигурами. Среди фигурных чисел различают: Представление чисел в виде правильных геометрических фигур помогало пифагорейцам находить различные числовые закономерности. Написав последовательность квадратных чисел, опять-таки легко увидеть глазами выражение для суммы n нечетных чисел:. Наконец, разбивая n-е пятиугольное число на три n-1 треугольных после чего остается ещё n "камешков" , легко найти его общее выражение. Аналогично можно представить число в виде прямоугольника. Для числа 12 это можно сделать многими способами рис. Такое древние не считали прямоугольным. Таким образом, прямоугольными числами являются все составные числа, а не прямоугольными - простые числа. Фигурное представление чисел помогало пифагорейцам открывать законы арифметических операций, а также легко переходить к числовой характеристике геометрических объектов - измерению площадей и объемов. Так, представляя число 10 в двух формах: В том же числе Наконец, если "камешки", образующие фигурные числа, мыслить в виде равных по площади квадратиков, то, укладывая их в прямоугольное число ab:. К фигурным числам также относятся пирамидальные числа, которые получаются, если шарики складывать пирамидой, как раньше складывали ядра около пушки. Нетрудно заметить, что пирамидальное число равно сумме всех треугольных чисел - от первого до n-го. Формула для вычисления n-го пирамидального числа имеет вид:. Это число, прежде всего, замечательно тем, что определяет число дней в не високосном году. При делении на 7 оно даёт в остатке 1, эта особенность числа имеет большое значение для нашего семидневного календаря. Апокалипсиса, вселяющее страх в суеверных людей, но оно по своим арифметическим свойствам ничем не выделяется среди других чисел. Особенность числа в том, что его можно легко умножить на трёхзначные числа. Тогда получится шестизначное произведение: Не знакомый же со свойствами числа , этого сделать не сможет. Сначала рассмотрим число Это число сказок, которое царица Шехерезада рассказывала царю Шахрияру. Число с первого взгляда кажется самым обыкновенным. Его можно разложить на три последовательных простых множителя 7, 11 и Следовательно, оно является их произведением. Замечательно то, что если его умножить на любое трехзначное число, то в результате получится тоже самое число, записанное дважды. Нужно применить распределительный закон умножения. Отсюда следует, что наша новая числовая диковинка, состоящая из одних единиц, представляет собой произведение пяти простых множителей. Арифметические фокусы — честные, добросовестные фокусы. Здесь никто никого не стремится обмануть, ввести транс или усыпить внимание зрителя. Чтобы выполнить такой фокус, не нужны, ни чудодейственная ловкость рук, ни изумительное проворство движений, ни какие — либо другие артистические способности, требующие иногда многолетних упражнений. Кружок товарищей, не посвящённых в математические тайны можно поразить следующими фокусами. Разгадка фокуса, очень проста: То есть число мы делим на и получаем в ответе Пусть кто-нибудь напишет любое трехзначное число, и затем к нему припишет еще раз это же самое число. Получится шестизначное число, состоящее из повторяющихся цифр. Предложите своему товарищу разделить это число в тайне от вас на 7. Результат нужно передать соседу, который должен разделить его на Полученный результат передается следующему ученику, которого вы просите разделить это число на Этот фокус объясняется очень просто. Шестизначное число, которое ваш товарищ получит после того, как припишет к заданному числу его само, должно будет делиться без остатка и на 7, и на 11, и на Запишите любую цифру три раза подряд. Полученное число разделите на 37 и на 3. И у вас получится в ответе ваша цифра. В данном случае надо предлагать товарищу число однозначное, и попросить записать его уже шесть раз подряд. Делителями здесь могут служить пять простых чисел: Это дает возможность очень разнообразить выполнение фокуса. Нужно умножить ее на Затем умножить на 3. Результат приписать еще раз справа. Полученное число разделить на первоначально задуманную цифру. Когда мы умножаем его на со свойствами числа мы познакомились в предыдущей главе и получилось задуманное число, записанное в начале. Далее при делении на задуманное число явно получается шесть единиц. Пусть ваш товарищ запишет любое трехзначное число. Справа к нему нужно приписать три нуля. От шестизначного числа предложите отнять первоначальное трехзначное. Затем попросите товарища разделить на задуманное, полученный результат. Частное нужно разделить на Когда умножают на него трехзначное число, получается результат, состоящий из двух половин: Попросим эту цифру умножить на 9, а затем полученное произведение умножить на число В результате получится число, состоящее из любимых цифр одноклассника. Я думаю, что моя работа является мини-пособием для изучения числового разнообразия. Интересные способы вычисления чисел очень могут помочь в школе, в вузе, на работе, и вообще в жизни. Так в кругу товарищей можно загадывать интересные арифметические фокусы без обманов и волшебства. Исходя из всего вышесказанного, я делаю вывод, что эти и многие другие числовые диковинки желательно знать каждому. Эти знания обязательно понадобятся в жизни! Замечательные линии и точки в треугольнике. Исследование и коррекция функциональных возможностей своего организма. Математическая обработка экспериментальных данных. Понятие комплексного числа и мнимой единицы. Вывод формул площади прямоугольника, треугольника и параллелограмма по координатам их вершин. Главная DMCA Пользовательское соглашение Авторам Контакты. Развлечения Отдых Спорт СМИ Справки Общество Дом Работа Учеба Культура Hi-Tech Производство Авто Бизнес. Эта странность заставила людей приписывать числам сверхъестественные свойства В наш скоростной быстролётный век — век большого изобилия информации, различных печатных изданий и виртуального мира трудно чем - либо удивить людей. Итак С самого раннего детства мы знакомимся с числами. История развития числа На первых этапах существования человеческого общества числа служили для примитивного счета предметов, дней, шагов. N — натуральные числа. Q — рациональные числа. R — действительные числа. Учёные математики, которые внесли Вклад в развитие теории чисел Мы живем в мире больших чисел Задумывались ли вы когда-нибудь о том, сколько километров проходит человек за свою жизнь, сколько товаров производится и приходит в негодность ежечасно в пределах города, страны? Для сокращения записи больших чисел давно используется система величин, в которой каждая из последующих в тысячу раз больше предыдущей: Заметьте, что число нулей степени 10 всегда равно ее показателю: Радиус Земли — км. Длина Земного экватора — около 40 тыс. Площадь Земного шара млн. Среднее расстояние от Земли до Солнца — млн. Диаметр нашей Галактики — 85 тыс. С начала нашей эры прошло немногим более миллиарда секунд. Число Шахерезады Существуют числа, носящие имена великих математиков: Число обладает рядом интересных свойств: На свойствах числа базируется метод определения делимости числа на 7, на 11 и на Рассмотрим этот метод на примерах: Вейль Если записать натуральные числа в ряд , и в тех местах, где стоят простые числа, зажечь фонарики, то не нашлось в этом ряду места, где была бы сплошная темнота. Рациональные числа Рациональное число лат. Оставьте для интереса хотя бы одно неинтересное число! Например, взяв делители совершенного числа 28, получим: Ниже приведены пары дружественных чисел, меньших Прах Диофанта гробница покоит: Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком И половину шестой встретил с пушком на щеках. Только минула седьмая, с подругой он обручился; С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец. Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил, Отнят он был у отца ранней могилой своей. Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе, Тут и увидел предел жизни печальной своей. Сколько лет прожил Диофант? Фигурные числа Давным-давно, помогая себе при счете камушками, люди обращали внимание на правильные фигуры, которые можно выложить из камушков. Наконец, разбивая n-е пятиугольное число на три n-1 треугольных после чего остается ещё n "камешков" , легко найти его общее выражение Разбиением на треугольные числа получается и общая формула для n-го k-угольного числа: Формула для вычисления n-го пирамидального числа имеет вид: Существует ещё одна особенность числа Но и это ещё не всё. Число равно сумме квадратов двух следующих чисел, 13 и Если человек не знает выше изложенных свойств числа , то он при решении примера: Число Сначала рассмотрим число Запишите число два раза: Разделите полученное число на 5: Разделите полученное частное на У вас получится число Шехерезады, то есть Результат третьего деления вы, не глядя, вручаете первому товарищу. Это и есть задуманное число. Секрет фокуса понять просто. Он основан на свойствах числа Число является произведением четырех простых множителей: Спросим у одноклассника его любимую цифру от 1 до 9. Похожие статьи Вписанная и описанная окружность Решение уравнений третьей степени Давление и сила давления Замечательные линии и точки в треугольнике Исследование и коррекция функциональных возможностей своего организма. Основные формулы алгебры Математическая обработка экспериментальных данных Понятие комплексного числа и мнимой единицы Физиологическое состояние учащихся Вывод формул площади прямоугольника, треугольника и параллелограмма по координатам их вершин. Комментарии Войти или Зарегистрироваться чтобы оставлять отзывы. Последние поступления статей Христианин Пушкин и христианская литература Наш святой долг - сберечь и передать следующим поколениям память о том, что создано и завоевано, что происходило задолго до нашего рождения. А меня заинтересовало происхождение географических названий, связанных с К внутренним водам относится реки, озера, подземные Христианин Пушкин и христианская литература Наш святой долг - сберечь и передать следующим поколениям память о том, что создано и завоевано, что происходило задолго до нашего рождения. Лесные пожары Иркутской области Лесные низовые пожары характеризуются горением лесной подстилки, подпочвенного покрова и подлеска, без захвата крон деревьев. Tопонимические названия Пушкинских мест В нашей жизни много интересного, каждый человек чем-нибудь увлекается. Реки Ханты-Мансийского округа Внутренние воды — это та часть гидросферы, которая находится внутри какой-либо территории.
Талисман любимый город с днем рождения текст
Как промывать нос ромашкой ребенку
Задачи транспортных услуг
История арифметики
Где расположен дубай
Как почистить организм полисорбом
Молиген описание свойства
Тема проекта: История возникновения чисел
Расписание электричек шушары спб
Сколько калорий в вареной каше
Тема проекта: История возникновения чисел
Право на воспитание ребенка
Интересные событияв мире
Сколько стоит багаж в азал
История развития чисел. История развития действительных чисел
Отследить груз новая почта по номеру декларации