Дисперсия и квадратическое отклонение - Решение задач по ТОЭ, ОТЦ, Высшей математике, Физике, Программированию...
Дисперсия, среднеквадратичное (стандартное) отклонение, коэффициент вариации
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Свойства дисперсии.
Дисперсия и среднее квадратичное отклонение. Примеры вычисления
Кроме характеристик положения — средних, типичных значений случайной величины, - употребляется еще ряд характеристик, каждая из которых описывает то или иное свойство распределения. В качестве таких характеристик чаще всего применяются так называемые моменты. Понятие момента широко применяется в механике для описания распределения масс статические моменты, моменты инерции и т. Совершенно теми же приемами пользуются в теории вероятностей для описания основных свойств распределения случайной величины. Чаще всего применяются на практике моменты двух видов: Для непрерывной случайной величины Х начальным моментом s-го порядка называется интеграл. Пользуясь знаком математического ожидания, можно объединить две формулы 5. Поэтому можно написать общее определение начального момента -го порядка, справедливое как для прерывных, так и для непрерывных величин: Нетрудно убедиться, что математическое ожидание центрированной случайной величины равно нулю. Моменты центрированной случайной величины носят название центральных моментов. Они аналогичны моментам относительно центра тяжести в механике. Очевидно, для любой случайной величины центральный момент первого порядка равен нулю: Выведем соотношения, связывающие центральные и начальные моменты различных порядков. Вывод мы проведем только для прерывных величин; легко убедится, что точно те же соотношения справедливы и для непрерывных величин, если заменить конечные суммы интегралами, а вероятности — элементами вероятности. Рассмотрим второй центральный момент: Аналогично для третьего центрального момента получим: Очевидно, эта величина достигает своего минимума, когда , то есть когда момент берется относительно точки. Второй центральный момент называется дисперсией случайной величины. Ввиду крайней важности этой характеристики среди других моментов введем для нее специальное обозначение: Заменяя в выражении 5. Дисперсия случайной величины есть характеристика рассеивания, разбросанности значений случайной величины около её математического ожидания. Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата случайной величины; для наглядной характеристики рассеивания удобнее пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Для этого из дисперсии извлекают квадратный корень. Среднее квадратическое отклонение будем обозначать: На практике часто применяется формула, выражающая дисперсию случайной величины через её второй начальный момент вторая из формул 5. В новых обозначениях она будет иметь вид: Они характеризуют наиболее важные черты распределения: Для более подробного описания распределения применяются моменты высших порядков. Если распределение симметрично относительно математического ожидания или, в механической интерпретации, масса распределена симметрично относительно центра тяжести , то все моменты нечетного порядка если они существуют равны нулю. То же, очевидно, справедливо и для интеграла , который равен нулю, как интеграл в симметричных пределах от нечетной функции. Естественно поэтому в качестве характеристики асимметрии распределения выбрать какой-либо из нечетных моментов. Простейший из них есть третий центральный момент. Он имеет размерность куба случайной величины: Эти свойства распределения описываются с помощью так называемого эксцесса. Таки образом, для нормального распределения эксцесс равен нулю; кривые, более островершинные по сравнении с нормальной, обладают положительным эксцессом; кривые более плосковершинные — отрицательным эксцессом. Очевидно, абсолютные моменты четных порядков совпадают с обычными моментами. Наряду с дисперсией и средним квадратическим отклонением среднее арифметическое отклонение иногда применяется как характеристика рассеивания. Математическое ожидание, мода, медиана, начальные и центральные моменты и, в частности, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, асимметрия и эксцесс представляют собой наиболее употребительные числовые характеристики случайных величин. Во многих задачах практики полная характеристика случайной величины — закон распределения — или не нужна, или не может быть получена. В этих случаях ограничиваются приблизительным описанием случайной величины с помощь. Числовых характеристик, каждая из которых выражает какое-либо характерное свойство распределения. Очень часто числовыми характеристиками пользуются для приближенной замены одного распределения другим, причем обычно стремятся произвести эту замену так, чтобы сохранились неизменными несколько важнейших моментов. Производится один опыт, в результате которого может появиться или не появиться событие , вероятность которого равна. Ряд распределения величины имеет вид: Предлагаем читателю получить тот же результат, выразив дисперсию через второй начальный момент. Производится три независимых выстрела по мишени; вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,4. Вычисляем числовые характеристики величины: Заметим, что те же характеристики могли бы быть вычислены значительно проще с помощью теорем о числовых характеристиках функций см. Найти математическое ожидание, дисперсию и с. Нетрудно видеть, что ряд, стоящий в скобках, представляет собой результат дифференцирования геометрической прогрессии: Для определения дисперсии величины Х вычислим сначала её второй начальный момент: Для вычисления ряда, стоящего в скобках, умножим на q ряд: Дифференцируя этот ряд по , имеем: Умножая на , получим: Так как распределение симметрично, то. Для вычисления эксцесса находим: Написать выражение плотности распределения. Выражение плотности распределения имеет вид: Пользуясь свойством плотности распределения, находим. Дисперсию найдем через второй начальный момент: Среднее квадратичное отклонение Кроме характеристик положения — средних, типичных значений случайной величины, - употребляется еще ряд характеристик, каждая из которых описывает то или иное свойство распределения.
В зависимости от исходных данных дисперсия вычисляется по формулам простой и взвешенной средней арифметической:. При использовании взвешенной средней для расчета дисперсии в интервальных рядах распределения в качестве вариантов значений признака используются серединные значения b середины интервалов , не являющиеся средним значением в группе. В результате получают приближенное значение дисперсии. Дисперсия как базовый показатель вариации обладает рядом вычислительных свойств, позволяющих упростить её расчет. Размерность дисперсии соответствует квадрату размерности исследуемого признака, поэтому данный показатель не имеет экономической интерпретации. Для сохранения экономического смысла рассчитывается ещё один показатель вариации — среднее квадратическое отклонение. Среднее квадратическое отклонение представляет собой среднюю квадратическую из отклонений отдельных значений признака от их средней арифметической:. Среднее квадратическое отклонение является именованной величиной, имеет размерность усредняемого признака, экономически хорошо интерпретируется. Она также используется для оценки надежности средней: Для распределений, близких к нормальным между средним квадратическим отклонением и средним линейным отклонением существует следующая зависимость: Дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Практическая статистика Задачи по статистике. Теоретическая статистика Главная страница Ответы на вопросы к экзамену - Статистика Полные ответы на вопросы к экзамену статистика Ответы по курсу статистика Шпаргалка по курсу Статистика предприятия Лекционные материалы по экономической статистике Нужные материалы по Экономической статистике Конспект лекций - Экономическая статистика Актуальные статьи Лекции по общей теории статистики Курс лекций по теории статистики Учебное пособие по статистике Учебное пособие по истории статистики Узнать стоимость работы Лекции по дисциплине "Статистика" Шпаргалки по дисциплине "Статистика". Напишите, пожалуйста в кратце Ваши пожелания план работы, шрифт, срочность, необходимый список литературы, и т. Это ускорит время ответа в разы! Контактные данные Ваш email.
Среднее квадратическое отклонение
Библиографияв дипломной работе образец
Как построить ломаную крышу видео
Сложное слово разобратьпо составу
На что имеет право инвалид 2 группы
Фаворит маркет торговая площадка
Баня на дружбе стерлитамак график работы телефон