Рекомендуем все время держать таблицу производных перед глазами при изучении этого раздела. Давайте рассмотрим вывод формул этой таблицы. Другими словами, докажем формулы производных для каждого вида функций. При выводе самой первой формулы таблицы будем исходить из определения производной функции в точке. Возьмем , где x — любое действительное число, то есть, x — любое число из области определения функции. Запишем предел отношения приращения функции к приращению аргумента при: Следует заметить, что под знаком предела получается выражение , которое не является неопределенностью ноль делить на ноль , так как в числителе находится не бесконечно малая величина, а именно ноль. Другими словами, приращение постоянной функции всегда равно нулю. Таким образом, производная постоянной функции равна нулю на всей области определения. Найти производные следующих постоянных функций. В первом случае мы имеем производную натурального числа 3 , во втором случае нам приходится брать производную от параметра а , который может быть любым действительным числом, в третьем - производную иррационального числа , в четвертом случае имеем производную нуля ноль является целым числом , в пятом — производную рациональной дроби. Формула производной степенной функции имеет вид , где показатель степени p — любое действительное число. Будем пользоваться определением производной. Запишем предел отношения приращения степенной функции к приращению аргумента: Для упрощения выражения в числителе обратимся к формуле бинома Ньютона: При доказательстве формулы для любого действительного p , отличного от нуля, воспользуемся логарифмической производной не путайте с производной логарифмической функции. Для понимания процесса, рекомендуем сначала ознакомиться с производной логарифмической функции , а также разобраться с разделами теории производная неявно заданной функции и производная сложной функции. Следует рассмотреть два случая: Выполним логарифмирование равенства по основанию e и применим свойство логарифма: Пришли к неявно заданной функции. Когда показатель p представляет собой четное число, то степенная функция определена и при , причем является четной смотрите раздел основные элементарные функции, их свойства и графики. В этом случае и также можно использовать доказательство через логарифмическую производную. Когда показатель p представляет собой нечетное число, то степенная функция определена и при , причем является нечетной. В этом случае и логарифмическую производную использовать нельзя. Для доказательства формулы в этом случае можно воспользоваться правилами дифференцирования и правилом нахождения производной сложной функции: Таким образом, формула производной степенной функции доказана для любого действительного p. Первую и третью функцию приведем к табличному виду , используя свойства степени, и применим формулу производной степенной функции: Вывод формулы производной приведем на основе определения: Для ее раскрытия введем новую переменную , причем при. В последнем переходе мы использовали формулу перехода к новому основанию логарифма. Выполним подстановку в исходный предел: Если вспомнить второй замечательный предел , то придем к формуле производной показательной функции: Найти производные показательных функций. Воспользуемся доказанной выше формулой производной показательной функции из таблицы и свойствами логарифма. Докажем формулу производной логарифмической функции для всех x из области определения и всех допустимых значениях основания a логарифма. По определению производной имеем: Как Вы заметили, при доказательстве преобразования проводились с использованием свойств логарифма. Равенство справедливо в силу второго замечательного предела. Вычислить производные логарифмических функций. Таким образом, производная натурального логарифма равна единице деленной на x. Для вывода формул производных тригонометрических функций нам придется вспомнить некоторые формулы тригонометрии, а также первый замечательный предел. По определению производной для функции синуса имеем. Воспользуемся формулой разности синусов: Осталось обратиться к первому замечательному пределу: Таким образом, производная функции sin x есть cos x. Абсолютно аналогично доказывается формула производной косинуса. Следовательно, производная функции cos x есть —sin x. Вывод формул таблицы производных для тангенса и котангенса проведем с использованием доказанных правил дифференцирования производная дроби. Доказательство формул производных арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса подробно рассмотрено в разделе производная обратной функции , поэтому не будем повторяться. Правила дифференцирования и формула производной показательной функции из таблицы производных позволяют вывести формулы производных гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса. При решении задач дифференцирования мы будем постоянно обращаться к таблице производных основных функций, иначе зачем мы ее составляли и доказывали каждую формулу. Рекомендуем запомнить все эти формулы, в дальнейшем это сэкономит Вам массу времени. Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www. Производная, нахождение производной Таблица производных. Производные обратных тригонометрических функций:
Приказ о создании комиссии о несчастном случае
Принципиальная электрическая схема supra std 82
Процессор intel r pentium r характеристика