Метод хорд
Численные методы решения нелинейных уравнений. Метод хорд.
Численные методы решения нелинейных уравнений
Нелинейные уравнения можно разделить на 2 класса - алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями называют уравнения, содержащие только алгебраические функции целые, рациональные, иррациональные. В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие функции тригонометрические, показательные, логарифмические и другие называются трансцендентными. Методы решения нелинейных уравнений делятся на две группы: Точные методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения формулы. Из школьного курса алгебры известны такие методы для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений. Как известно, многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических решений. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений. Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решить произвольное алгебраическое уравнение степени выше четвертой. Кроме того, в некоторых случаях уравнение содержит коэффициенты, известные лишь приблизительно, и, следовательно, сама задача о точном определении корней уравнения теряет смысл. Для их решения используются итерационные методы с заданной степенью точности. Функция f x непрерывна на отрезке [ a, b ] вместе со своими производными 1-го и 2-го порядка. Решить уравнение 1 итерационным методом значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней и найти значения корней с нужной точностью. Всякое значение , обращающее функцию f x в нуль, то есть такое, что:. Приближенные значения корней начальные приближения могут быть также известны из физического смысла задачи, из решения аналогичной задачи при других исходных данных, или могут быть найдены графическим способом. В инженерной практике распространен графический способ определения приближенных корней. Принимая во внимание, что действительные корни уравнения 1 - это точки пересечения графика функции f x с осью абсцисс, достаточно построить график функции f x и отметить точки пересечения f x с осью Ох, или отметить на оси Ох отрезки, содержащие по одному корню. Построение графиков часто удается сильно упростить, заменив уравнение 1 равносильным ему уравнением:. Графически отделить корни уравнения Рисунок Построив эти кривые, приближенно найдем единственный корень уравнения 4 или определим его содержащий отрезок [2, 3]. Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения х 0. Каждый такой шаг называется итерацией. Если эти значения с увеличением числа итераций n приближаются к истинному значению корня, то говорят, что итерационный процесс сходится. Если f не равно 0 что, практически, наиболее вероятно , то выбираем ту из половин или , на концах которой функция f x имеет противоположные знаки. Новый суженный отрезок [ а 1 , b 1 ] снова делим пополам и производим те же самые действия. Метод половинного деления практически удобно применять для грубого нахождения корня данного уравнения, метод прост и надежен, всегда сходится. Сначала запишем уравнение хорды AB:. В первом случае конец а неподвижен и последовательные приближения: Во втором случае неподвижен конец b , а последовательные приближения: Обобщая эти результаты, заключаем: Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет обнаружено, что. Полученный интервал велик, поэтому разделим его пополам. Дата последнего обновления информации на сайте: Численное решение уравнений и систем уравнений А. Пусть дано уравнение 1 где: Всякое значение , обращающее функцию f x в нуль, то есть такое, что: Научно-практический журнал "Exponenta Pro. Приглашаем преподавателей к участию в конкурсе ИТ-Прорыв!
Этот сайт больше не обновляется. Подключите Javascript, чтобы увидеть новый адрес страницы или перейдите к статье. Лекции по численным методам. Приближённое решение нелинейных алгебраических уравнений. Метод деления отрезка пополам дихотомии Метод простой итерации Метод Ньютона метод касательных Метод хорд. Нелинейность уравнения означает, что график функции не есть прямая линия, то есть в f x входит x в некоторой степени или под знаком функции. Нелинейное уравнение может иметь несколько корней. Геометрическая интерпретация корней уравнения представлена на рис. Методы решения нелинейного уравнения 1 можно разделить на точные аналитические и приближенные итерационные. В точных методах корень представляется некоторой алгебраической формулой. Например, решение квадратных уравнений, некоторых тригонометрических уравнений и т. В приближенных методах процесс нахождения решения, вообще говоря, бесконечен. Члены этой последовательности x n называются последовательными приближениями к решению, или итерациями. Наиболее часто используется следующий критерий остановки итерационного процесса: Прежде чем использовать приближенный метод, уравнение надо исследовать его на наличие корней и уточнить, где эти корни находятся, то есть найти интервалы изоляции корней. Интервалом изоляции корня называется отрезок, на котором корень уравнения существует и единственен. Необходимое условие существования корня уравнения на отрезке [a,b]: Существуют различные способы исследования функции: Аналитический способ состоит в нахождении экстремумов функции f x , исследование ее поведения при и нахождение участков возрастания и убывания функции. Графический способ — это построение графика функции f x и определение числа корней по количеству пересечений графика с осью x. Табличный способ — это построение таблицы, состоящей из столбца аргумента x и столбца значений функции f x. О наличии корней свидетельствуют перемены знака функции. Чтобы не произошла потеря корней, шаг изменения аргумента должен быть достаточно мелким, а интервал изменения достаточно широким. Пусть интервалы изоляции корней известны. Познакомимся с несколькими итерационными методами, позволяющими найти корень на известном интервале изоляции [ a, b ]. Найдем середину отрезка [ a, b ]: Корень остался на одной из частей: В противном случае корень попал на половину [ c, b ], и необходимо изменить значение левого конца отрезка: Поскольку корень всегда заключен внутри отрезка, итерационный процесс можно останавливать, если длина отрезка станет меньше заданной точности: В результате расчета приближенное значение первого корня: С помощью эквивалентных преобразований приведем исходное уравнение f x к виду, удобному для применения метода простой итерации: Следующие итерации находим по формуле: Из всевозможных таких представлений выбирают тот, который дает сходящуюся к корню последовательность вычислений. Первое неравенство следует из теоремы Лагранжа о среднем и того, что. В качестве начального приближения обычно берут середину отрезка [a,b]: На практике часто в качестве берут функцию , где с — некоторая постоянная. При таком выборе функции метод простой итерации называют методом релаксации. Часто с берут в виде: Условием окончания итерационного процесса является условие: Уравнение касательной имеет вид. Метод Ньютона можно трактовать как метод простой итерации при. В качестве корня можно взять значение: Видно, что процесс сошелся уже на второй итерации. Вычислим второй корень нашего уравнения на отрезке [1,3]. Если сравнивать с методом простой итерации, то значение этого корня мы получили за две итерации вместо шести. Эти примеры показывают, что метод Ньютона является более быстросходящимся. Но для его использования необходимо брать начальное приближение достаточно близким к корню. На следующих итерациях используется вычисленное значение производной: Это упрощение несколько замедляет процесс сходимости к решению, однако сокращает время каждого итерационного цикла. В этом методе кривая f x заменяется прямой линией — хордой, стягивающей точки a, f a и b, f b. Следующее приближение x 1 находим как точку пересечения хорды, соединяющей точки a, f a и x 0 , f x 0 с осью x. Тогда точка пересечения хорды с осью x: Проведем хорду, соединяющую точки b, f b и x 0 , f x 0: Вычисляем точку пересечения хорды с осью x: Окончание итерационного цикла в этом методе происходит по условию малости невязки уравнения:
Подкожные прыщи на шее у женщин причина
Как правильно посадить клубнику на укрывной материал
Инструкция применения цинковой мази
Дешевая мебель в саранске каталог
Регистрация права собственности пошлина 2017