Вероятность события. Определение вероятности события
Классическое и статистическое определения вероятности события
Привести классификацию случайных явлений. Определить понятие случайного событие и дать определение пространства случайных событий.
Дом Здоровье Зоология Информатика Искусство Искусство Компьютеры Кулинария Маркетинг Математика Медицина Менеджмент Образование Педагогика Питомцы Программирование Производство Промышленность Психология Разное Религия Социология Спорт Статистика Транспорт Физика Философия Финансы Химия Хобби Экология Экономика Электроника. Теория вероятностей - раздел математики, в котором по данным вероятностям одних случайных событий находят вероятности других событий, связанных каким-либо образом с первыми. Теория вероятностей изучает также случайные величины и случайные процессы. Одна из основных задач теории вероятностей состоит в выяснении закономерностей, возникающих при взаимодействии большого числа случайных факторов см. Математический аппарат теории вероятностей используется при изучении массовых явлений в науке и технике. Методы теории вероятностей играют важную роль при обработке статистических данных. Математическая статистика - наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов. Во многих своих разделах математическая статистика опирается на теорию вероятностей, позволяющую оценить надежность и точность выводов, делаемых на основании ограниченного статистического материала напр. Предметом изучения теории вероятностей и математической статистики являются случайные события, величины и функции. Событием называется всякий факт, который может произойти или не произойти в результате опыта. При этом тот или иной результат опыта может быть получен с различной степенью возможности. В отношении друг друга события также имеют особенности, то есть в одном случае событие А может произойти совместно с событием В, в другом — не может. События называются несовместными , если появление одного из них исключает появление других. Классическим примером несовместных событий является результат подбрасывания монеты — выпадение лицевой стороны монеты исключает выпадение обратной стороны в одном и том же опыте. Полной группой событий называется совокупность всех возможных результатов опыта. Достоверным событием называется событие, которое наверняка произойдет в результате опыта. Событие называется невозможным , если оно никогда не произойдет в результате опыта. Например, если из коробки, содержащей только красные и зеленые шары, наугад вынимают один шар, то появление среди вынутых шаров белого — невозможное событие. Появление красного и появление зеленого шаров образуют полную группу событий. События называются равновозможными , если нет оснований считать, что одно из них появится в результате опыта с большей вероятностью. В приведенном выше примере появление красного и зеленого шаров — равновозможные события, если в коробке находится одинаковое количество красных и зеленых шаров. Если же в коробке красных шаров больше, чем зеленых, то появление зеленого шара — событие менее вероятное, чем появление красного. Пусть А — случайное событие по отношению к некоторому испытанию. Представим себе, что это испытание произведено N раз и при этом событие А наступило в случаях. Вероятностью случайного события А называется число , около которого колеблется частота этого события в длинных сериях испытаний. Наблюдения показывают, что в среднем среди новорожденных детей мальчиков. Частота рождения мальчика в такой серии наблюдений равна 0. Французский естествоиспытатель Бюффон XVIII в. Следовательно, частота выпадения герба в данной серии испытаний равна:. Английский математик Карл Пирсон бросал монету раз, причем герб выпал раз. Примеры 2 и 3 подтверждают естественное предположение о том, что вероятность выпадения герба при одном бросании монеты равна 0. При аксиоматическом подходе к изложению теории вероятностей за основу берется некоторое множество , элементы которого называются элементарными событиями , а само - пространством элементарных событий. Зафиксируем некоторую непустую систему S , состоящую из подмножества А, В, Относительно структуры системы S предположим выполненными следующие две аксиомы событий: Если множества в конечном или счетном числе являются событиями, то их объединение тоже является событием. Если множество является событием, то его дополнение до множества тоже является событием. Система S , удовлетворяющая аксиомам I и II, называется борелевским полем событий. Кроме того, событие назовем достоверным и обозначим U , - невозможным и обозначим V. Каждому событию A поставлено в соответствие неотрицательное число , называемое вероятностью события A. Если события попарно несовместны , то аксиома счетной аддитивности. Совокупность трех объектов , в которой S удовлетворяет аксиомам I и II, а функция — аксиомам 1, 2, 3, назовем вероятностной схемой. Понятие случайной величины является основным в теории вероятностей и ее приложениях. Случайными величинами, например, являются число выпавших очков при однократном бросании игральной кости, число распавшихся атомов радия за данный промежуток времени, число вызовов на телефонной станции за некоторый промежуток времени, отклонение от номинала некоторого размера детали при правильно налаженном технологическом процессе и т. Таким образом, случайной величиной называется переменная величина, которая в результате опыта может принимать то или иное числовое значение. В дальнейшем мы рассмотрим два типа случайных величин — дискретные и непрерывные. Такая случайная величина называется дискретной прерывной. Функция р х называется законом распределения вероятностей случайной величины , или кратко, законом распределения. Эта функция определена в точках последовательности x1, x2, Так как в каждом из испытаний случайная величина принимает всегда какое-либо значение из области ее изменения, то. Множество возможных значений состоит из 2-х чисел 0 и 1: Предположим, что производится n независимых испытаний, в результате каждого из которых может наступить или не наступить событие A. Пусть вероятность наступления события A при каждом испытании равна p. Рассмотрим случайную величину — число наступлений события A при n независимых испытаниях. Область изменения состоит из всех целых чисел от 0 до n включительно. Закон распределения вероятностей по формуле Бернулли часто называют биномиальным , так как Pn m представляет собой m -й член разложения бинома. Пусть случайная величина может принимать любое целое неотрицательное значение, причем. Как мы знаем, при больших значениях числа n независимых испытаний вероятность Pn m наступления m раз события A удобнее находить не по формуле Бернулли, а по формуле Лапласа [см. Однако последняя дает большие погрешности при малой вероятности р появления события А в одном испытании. В этом случае для подсчета вероятности Pn m удобно пользоваться формулой Пуассона, в которой следует положить. Формулу Пуассона можно получить как предельный случай формулы Бернулли при неограниченном увеличении числа испытаний n и при стремлении к нулю вероятности. Распределение Пуассона часто встречается и в других задачах. Так, например, если телефонистка в среднем за один час получает N вызовов, то, как можно показать, вероятность Р k того, что в течение одной минуты она получит k вызовов, выражается формулой Пуассона, если положить. Если возможные значения случайной величины образуют конечную последовательность x1, x2, Эту таблицу называют рядом распределения случайной величины. Наглядно функцию р х можно изобразить в виде графика. Для этого возьмем прямоугольную систему координат на плоскости. По горизонтальной оси будем откладывать возможные значения случайной величины , а по вертикальной оси - значения функции. График функции р х изображен на рис. Если соединить точки этого графика прямолинейными отрезками, то получится фигура, которая называется многоугольником распределения. Рассмотрим случайную величину — число наступлений события А при десяти бросаниях игральной кости. Значения функции р х закона распределения приведены в следующей таблице: График функции p x изображен на рис. Показать, что у функции распределения в каждой точке существует предел слева, то есть существует. Дискретная случайная величина -- число выпавших очков на игральной кости:. Более общая дискретная случайная величина. Ответ на этот вопрос получится, если в 16 положить , а устремить к слева:. Чтобы строго обосновать этот вывод, следует воспользоваться свойствами вероятностной меры из 3. Таким образом, функция распределения имеет разрыв в точке тогда и только тогда, когда. Более того, величина скачка в точке разрыва совпадает с этой вероятностью. Плотностью распределения или плотностью вероятности непрерывной случайной величины X в точке x называется производная ее функции распределения в этой точке и обозначается f x. График плотности распределения называется кривой распределения. Пусть имеется точка x и прилегающий к ней отрезок dx. Вероятность попадания случайной величины X на этот интервал равна f x dx. Эта величина называется элементом вероятности. Вероятность попадания случайной величины X на произвольный участок [ a , b [ равна сумме элементарных вероятностей на этом участке:. Это соотношение позволяет выразить функцию распределения F x случайной величины X через ее плотность:. В геометрической интерпретации F x равна площади, ограниченной сверху кривой плотности распределения f x и лежащей левее точки x рис. Это свойство следует из определения f x — производная неубывающей функции не может быть отрицательной. Это свойство следует из формулы 5. При прибавлении к случайной величине Х неслучайной величины с ее дисперсия не меняется. При умножении случайной величины Х на неслучайную величину с ее дисперсия умножается на с 2. Следовательно, эти значения рассеяны вокруг математического ожидания М [ сХ ] больше, чем возможные значения Х вокруг М [ X ], то есть. Для большинства значений случайной величины абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения, или, другими словами, практически все значения СВ находятся в интервале:. В следующей таблице приведены формулы для вычисления характеристик распределения Пуассона с параметром a. Непрерывная случайная величина X, функция плотности которой задается выражением. Величина срока службы различных устройств и времени безотказной работы отдельных элементов этих устройств при выполнении определенных условий обычно подчиняется показательному распределению. Другими словами, величина промежутка времени между появлениями двух последовательных редких событий подчиняется зачастую показательному распределению. Найдем функцию распределения показательного закона, используя свойства дифференциальной функции распределения:. Графики дифференциальной и интегральной функций показательного распределения имеют вид: Такие события, исходя из принципа невозможности маловероятных событий можно считать практически невозможными. В этом и состоит сущность правила трех сигм:. На практике правило трех сигм применяют так: Найдем вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, в заданный интервал. Значения этой функции при различных значениях х посчитаны и приводятся в специальных таблицах. Еще используется нормированная функция Лапласа, которая связана с функцией Лапласа соотношением:. Рассмотренные выше случайные величины были одномерными, то есть определялись одним числом, однако, существуют также случайные величины, которые определяются двумя, тремя и т. Такие случайные величины называются двумерными, трехмерными и т. В зависимости от типа, входящих в систему случайных величин, системы могут быть дискретными, непрерывными или смешанными, если в систему входят различные типы случайных величин. Законом распределения системы случайных величин называется соотношение, устанавливающее связь между областями возможных значений системы случайных величин и вероятностями появления системы в этих областях. Теоретическим обоснованием этого замечательного свойства случайных явлений является закон больших чисел. Названием "закон больших чисел" объединена группа теорем, устанавливающих устойчивость средних результатов большого количества случайных явлений и объясняющих причину этой устойчивости. Простейшая форма закона больших чисел, и исторически первая теорема этого раздела - теорема Бернулли , утверждающая, что если вероятность события одинакова во всех испытаниях, то с увеличением числа испытаний частота события стремится к вероятности события и перестает быть случайной. Теорема Пуассона утверждает, что частота события в серии независимых испытаний стремится к среднему арифметическому его вероятностей и перестает быть случайной. Предельные теоремы теории вероятностей, теоремы Муавра-Лапласа объясняют природу устойчивости частоты появлений события. Природа эта состоит в том, что предельным распределением числа появлений события при неограниченном возрастании числа испытаний если вероятность события во всех испытаниях одинакова является нормальное распределение. Центральная предельная теорема объясняет широкое распространение нормального закона распределения. Теорема утверждает, что всегда, когда случайная величина образуется в результате сложения большого числа независимых случайных величин с конечными дисперсиями, закон распределения этой случайной величины оказывается практически нормальным законом. Теорема, приведенная ниже под названием " Закон больших чисел " утверждает, что при определенных, достаточно общих, условиях, с увеличением числа случайных величин их среднее арифметическое стремится к среднему арифметическому математических ожиданий и перестает быть случайным. Теорема Ляпунова объясняет широкое распространение нормального закона распределения и поясняет механизм его образования. Теорема позволяет утверждать, что всегда, когда случайная величина образуется в резул. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Следующая. Главная Случайная страница Категории: Предмет и задачи теории вероятностей и математической статистики. Теорема умножения для независимых событий Пусть вероятность события В не зависит от появления события А. Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т. Другими словами, событие A не зависит от события В. Два события называют независимыми , если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми. На практике о независимости событий заключают по смыслу задачи. Если события А и В независимы, то независимы также события Действительно, Следовательно, Отсюда т. Независимость событий является следствием доказанного утверждения. Несколько событий называют попарно независимыми , если каждые два из них независимы. Например, события А, В, С попарно независимы, если независимы события А и В, А и С, В и С. Для того чтобы обобщить теорему умножения на несколько событий, введем понятие независимости событий в совокупности. Несколько событий называют независимыми в совокупности или просто независимыми , если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных. Из сказанного следует, что если события независимы в совокупности, то условная вероятность появления любого события из них, вычисленная в предположении, что наступили какие-либо другие события из числа остальных, равна его безусловной вероятности. Подчеркнем, что если несколько событий независимы попарно, то отсюда еще не следует их независимость в совокупности. В этом смысле требование независимости событий в совокупности сильнее требования их попарной независимости. Поясним сказанное на примере. Пусть в урне имеется 4 шара, окрашенные: Чему равна вероятность того, что извлеченный из урны шар имеет красный цвет? Допустим теперь, что взятый шар имеет синий цвет, т. Изменится ли вероятность того, что извлеченный шар имеет красный цвет, т. Другими словами, условная вероятность события А, вычисленная в предположении, что наступило событие В, равна его безусловной вероятности. Следовательно, события А и В независимы. Аналогично придем к выводу, что события A и С, В и С независимы. Итак, события А, В и С попарно независимы. Независимы ли эти события в совокупности? Действительно, пусть извлеченный шар имеет два цвета, например синий и черный. Чему равна вероятность того, что этот шар имеет и красный цвет? Лишь один шар окрашен во все три цвета, поэтому взятый шар имеет и красный цвет. Таким образом, допустив, что события В и С произошли, приходим к выводу, что событие А обязательно наступит. Следовательно, это событие достоверное и вероятность его равна единице. Итак, попарно независимые события А, В, С не являются независимыми в совокупности. Приведем теперь следствие из теоремы умножения. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий: Доказательство З а м е ч а н и е. Если события А 1 , А 2 , Последнее изменение этой страницы:
Как определить склонение существительного
Общее значение частицы
Универсальное моющее средство состав
Классическое определение вероятности случайного события
Cortland s 250 характеристики
Иркутск карамель адрес
Стать стройной за 30 дней
Лекция 2 3 Вероятность события
Высказывания о карамзине н м
Too late to die young перевод
Предмет и задачи теории вероятностей и математической статистики.
Снегоход своими руками с двигателем лифан
Таблица углов синусов косинусов тангенсов котангенсов
Какие события произошли в царствование александра 1
Вероятность
Десять принципов декларации прав ребенка