Уравнения с модулями. Модули
Уравнения с модулем. Средний уровень.
Решение уравнений с модулем в курсе математики 7-8 класса
Модуль — одна из тех вещей, о которых вроде-бы все слышали, но в действительности никто нормально не понимает. Поэтому сегодня будет большой урок, посвящённый решению уравнений с модулями. И вообще модули — вообще тема относительно несложная. У меня от неё мозг разрывается! И цель этого урока — превратить хрень в знания.: Начнём с самого важного: Вот так всё просто? А чему тогда равен модуль положительного числа? Нетрудно заметить, что это за числа, у которых модули одинаковые: Таким образом, отметим для себя, что модули противоположных чисел равны:. Ещё один важный факт: Какое бы число мы ни взяли — хоть положительное, хоть отрицательное — его модуль всегда оказывается положительным или в крайнем случае нулём. Именно поэтому модуль часто называют абсолютной величиной числа. Кроме того, если объединить определение модуля для положительного и отрицательного числа, то получим глобальное определение модуля для всех чисел. Можно записать это в виде формулы:. Ещё есть модуль нуля, но он всегда равен нулю. Кроме того, ноль — единственное число, которое не имеет противоположного. Но это ещё не всё: Помимо чисто алгебраического определения, есть геометрическое. Допустим, есть две точки на числовой прямой: Или, если угодно, длина отрезка, соединяющего эти точки:. Из этого определения также следует, что модуль всегда неотрицателен. Но хватит определений и теории — перейдём к настоящим уравнениям.: Ну хорошо, с определением разобрались. Но легче-то от этого не стало. Как решать уравнения, содержащие этот самый модуль? Начнём с самых простых вещей. Рассмотрим что-нибудь типа такого:. А есть ли другие числа? Кэп как бы намекает, что есть. Так может, если поискать, подумать, мы найдём ещё числа? Теперь немного усложним задачу. Ну и как такое решать? Обратим внимание на второе уравнение. Про него сразу можно сказать: А вот с первым уравнением всё веселее. В первом случае наше уравнение перепишется так:. Особо недоверчивые могут попробовать подставить найденный корень в исходное уравнение и убедиться, что действительно под модулем будет положительное число. Решаем полученное уравнение, при этом уже точно зная, что найденный корень нас устроит:. Итого мы вновь получили два ответа: Так может, существует какой-то универсальный алгоритм? Тогда можно избавиться от знака модуля по следующему правилу:. Таким образом, наше уравнение с модулем распадается на два, но уже без модуля. Вот и вся технология! Попробуем решить парочку уравнений. Начнём вот с такого. Отдельно рассмотрим, когда справа стоит десятка с плюсом, и отдельно — когда с минусом. Опять пара строчек — и ответ готов! Как я и говорил, в модулях нет ничего сложного. Нужно лишь запомнить несколько правил. Поэтому идём дальше и приступаем с действительно более сложным задачам. Это уравнение принципиально отличается от всех предыдущих. Как быть в таком случае? Во-первых, надо раз и навсегда понять, что если правая часть уравнения окажется отрицательной, то уравнение не будет иметь корней — мы уже знаем, что модуль не может быть равен отрицательному числу. А во-вторых, если права часть всё-таки положительна или равна нулю , то можно действовать точно так же, как раньше: В конце концов, можно тупо подставить корни, которые мы получим из первого уравнения, и проверить: Поэтому в ответ пойдут два числа: Вот и всё решение.: Подозреваю, что кто-то из учеников уже начал скучать? Что ж, рассмотрим ещё более сложное уравнение:. С неравенством мы потом разберёмся — оно какое-то уж слишком злобное на самом деле простое, но мы его решать не будем. Пока лучше займёмся полученными уравнениями. Ну, тут и ежу понятно, что нужно всё собрать слева, привести подобные и посмотреть, что получится. А получится вот что:. Тут мы воспользовались важным свойством произведения, ради которого мы и раскладывали исходный многочлен на множители: Ну вот мы получили три корня: Ну и что из этого набора пойдёт в окончательный ответ? Для этого вспомним, что у нас есть дополнительное ограничение в виде неравенства:. Как учесть это требование? Да просто подставим найденные корни и проверим: Как видите, даже в этом случае ничего сложного не было — уравнения с модулями всегда решаются по алгоритму. Нужно лишь хорошо разбираться в многочленах и неравенствах. Поэтому переходим к более сложным задачам — там уже будет не один, а два модуля. До сих пор мы изучали лишь самые простые уравнения — там был один модуль и что-то ещё. Но детский сад закончился — пора рассмотреть что-нибудь посерьёзнее. Начнём с уравнений вот такого типа:. Принципиально важным моментом является отсутствие других слагаемых и множителей: Кто-нибудь сейчас подумает, что такие уравнения решаются сложнее, чем то, что мы изучали до сих пор. А вот и нет: А затем решаем полученные два уравнения — и корни готовы! Никаких дополнительных ограничений, никаких неравенств и т. В первом уравнении корней нет. Потому и нет корней.: Как видим, всё решилось буквально в пару строчек — другого от линейного уравнения мы и не ожидали.: Поэтому сразу переписываем его, раскрывая знак модуля:. Возможно, кто-то сейчас спросит: Действительно, по-хорошему мы должны были переписать наше уравнение следующим образом:. Затем нужно раскрыть скобки, перенести все слагаемые в одну сторону от знака равенства поскольку уравнение, очевидно, в обоих случаях будет квадратным , ну и дальше отыскать корни. Мелочь, которая в итоге немного упростит нам жизнь.: Поэтому у него единственный корень: Но этот корень мы уже получали ранее. Таким образом, в итоговый ответ пойдут лишь два числа:. Наличие одинаковых корней при разных вариантах раскрытия модуля означает, что исходные многочлены раскладываются на множители, и среди этих множителей обязательно будет общий. Одно из свойств модуля: Как видим, у нас действительно возник общий множитель. Теперь, если собрать все модули с одной стороны, то можно вынести этот множитель за скобку:. Ну а теперь вспоминаем, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:. Таким образом, исходное уравнение с двумя модулями свелось к двум простейшим уравнениям, о которых мы говорили в самом начале урока. Такие уравнения решаются буквально в пару строчек.: Данное замечание, возможно, покажется излишне сложным и неприменимым на практике. Однако в реальности вам могут встретиться куда более сложные задачи, нежели те, что мы сегодня разбираем. В них модули могут комбинироваться с многочленами, арифметическими корнями, логарифмами и т. И в таких ситуациях возможность понизить общую степень уравнения путём вынесения чего-либо за скобку может оказаться очень и очень кстати.: Теперь хотелось бы разобрать ещё одно уравнение, которое на первый взгляд может показаться бредовым. Тем не менее, это уравнение решается даже проще, чем то, что мы рассматривали ранее. И если вы поймёте почему, то получите ещё один приём для быстрого решения уравнений с модулями. Нет, это не опечатка: В чём вообще проблема? А проблема в том, что каждый модуль — число положительное, либо в крайнем случае ноль. А что будет, если сложить два положительных числа? Очевидно, снова положительное число:. Последняя строчка может натолкнуть на мысль: А когда модуль равен нулю? Только в одном случае — когда подмодульное выражение равно нулю:. Таким образом, у нас есть три точки, в которых обнуляется первый модуль: Однако нам нужно, чтобы оба модуля обнулялись одновременно, поэтому среди найденных чисел нужно выбрать те, которые входят в оба набора. Очевидно, такое число лишь одно: Что ж, мы уже рассмотрели кучу задач и изучили множество приёмов. Думаете, на этом всё? А вот и нет! Сейчас мы рассмотрим заключительный приём — и одновременно самый важный. Речь пойдёт о расщеплении уравнений с модулем. О чём вообще пойдёт речь? Давайте вернёмся немного назад и рассмотрим какое-нибудь простое уравнение. Но попробуем взглянуть на это уравнение немного под другим углом. Точнее, рассмотрим выражение, стоящее под знаком модуля. Напомню, что модуль любого числа может быть равен самому числу, а может быть противоположен этому числу:. Собственно, в этой неоднозначности и состоит вся проблема: Но что если изначально потребовать, чтобы это число было положительным? Но тогда возникает странная ситуация: От таких уравнений даже Капитан очевидность подавился бы слюной, но мы-то знаем: Наконец, осталось рассмотреть ещё один случай: Не очень-то привычно видеть такую хрень в ответе к довольно простому по сути — линейному уравнению с модулем, правда? И состоит этот алгоритм из следующих шагов:. Остаётся лишь один вопрос: Допустим, у нас получилось два корня: Они разобьют числовую прямую на 3 куска:. Я думаю, вы уже поняли закономерность. Каждый интервал включает в себя левый конец и не включает правый. На первый взгляд, такая запись может показаться неудобной, нелогичной и вообще какой-то бредовой. Лучше уж использовать такую схему, чем каждый раз думать: На этом урок заканчивается. Скачивайте задачи для самостоятельного решения, тренируйтесь, сравнивайте с ответами — и увидимся в следующем уроке, который будет посвящён неравенствам с модулями.: ЕГЭ ОГЭ Мои курсы Вебинары Школьникам Студентам Блог Обо мне Как решать уравнения с модулем: Немного теории Итак, поехали. Таким образом, отметим для себя, что модули противоположных чисел равны: Можно записать это в виде формулы: Или, если угодно, длина отрезка, соединяющего эти точки: Модуль — это расстояние между точками на числовой прямой Из этого определения также следует, что модуль всегда неотрицателен. Основная формула Ну хорошо, с определением разобрались. Рассмотрим что-нибудь типа такого: В первом случае наше уравнение перепишется так: Теперь разберём случай отрицательного подмодульного выражения: Решаем полученное уравнение, при этом уже точно зная, что найденный корень нас устроит: Да, такой алгоритм существует. И сейчас мы его разберём. Тогда можно избавиться от знака модуля по следующему правилу: Всё решение заняло буквально две строчки. Ок, не вопрос, давайте рассмотрим что-нибудь чуть посерьёзнее: Случай переменной правой части А теперь рассмотрим вот такое уравнение: Поэтому решим-ка само уравнение: Что ж, рассмотрим ещё более сложное уравнение: А получится вот что: Для этого вспомним, что у нас есть дополнительное ограничение в виде неравенства: И в ответ пойдут лишь два корня: Уравнения с двумя модулями До сих пор мы изучали лишь самые простые уравнения — там был один модуль и что-то ещё. Начнём с уравнений вот такого типа: Давайте попробуем решать вот такую задачу: Со вторым уравнением всё чуть интереснее, но тоже очень и очень просто: В итоге окончательный ответ: Поэтому сразу переписываем его, раскрывая знак модуля: Действительно, по-хорошему мы должны были переписать наше уравнение следующим образом: Но ведь ничто не мешает нам переписать исходное уравнение следующим образом: В общем, решаем это уравнение, рассматривая варианты с плюсом и с минусом: Второе вообще является точным квадратом: Таким образом, в итоговый ответ пойдут лишь два числа: Можно взять с полки и скушать пирожок. Там их 2, ваш средний.: Теперь, если собрать все модули с одной стороны, то можно вынести этот множитель за скобку: Очевидно, снова положительное число: Только в одном случае — когда подмодульное выражение равно нулю: Метод расщепления Что ж, мы уже рассмотрели кучу задач и изучили множество приёмов. Напомню, что модуль любого числа может быть равен самому числу, а может быть противоположен этому числу: Вместе с тем у нас есть ограничение: Таким образом, помимо интервала нас устроит ещё и число, лежащее на самом конце этого интервала: Объединение корней в уравнениях с модулем Итого окончательный ответ: И состоит этот алгоритм из следующих шагов: Приравнять каждый модуль, имеющийся в уравнении, к нулю. Получим несколько уравнений; Решить все эти уравнения и отметить корни на числовой прямой. В результате прямая разобьётся на несколько интервалов, на каждом из которых все модули однозначно раскрываются; Решить исходное уравнение для каждого интервала и объединить полученные ответы. Они разобьют числовую прямую на 3 куска: Разбиение числовой оси на интервалы с помощью точек Ну и какие тут интервалы? Понятно, что их три:
Модуль — это абсолютная величина выражения. Чтобы хоть как-то обозначить модуль, принято использовать прямые скобки. То значение, которое заключено в ровных скобках, и является тем значением, которое взято по модулю. Процесс решения любого модуля заключается в раскрытии тех самых прямых скобок, которые математическим языком именуются модульными скобками. Их раскрытие происходит по определенному ряду правил. Также, в порядке решения модулей, находятся и множества значений тех выражений, которые находились в модульных скобках. В большей части всех случаев, модуль раскрывается таким способом, что выражение, которое было подмодульным, получает и положительные, и отрицательные значения, в числе которых также и значение ноль. Решение модуля начинается с записи исходного уравнения с модулем. Чтобы ответить на вопрос о том, как решать уравнения с модулем, нужно раскрыть его полностью. Для решения такого уравнения, модуль раскрывается. Все модульные выражения должны быть рассмотрены. Следует определить при каких значениях неизвестных величин, входящих в его состав, модульное выражение в скобках обращается в ноль. Для того чтобы это сделать, достаточно приравнять выражение в модульных скобках к нулю, а затем высчитать решение образовавшегося уравнения. Найденные значения нужно зафиксировать. Таким же способом нужно определить еще и значение всех неизвестных переменных для всех модулей в данном уравнении. Далее необходимо заняться определением и рассмотрением всех случаев существования переменных в выражениях, когда они отличны от значения ноль. Неравенства должны быть составлены так, чтоб они охватывали все имеющиеся и возможные значения для переменной, которые находят на числовой прямой. Затем нужно начертить для визуализации эту самую числовую прямую, на которой в дальнейшем отложить все полученные значения. Практически все сейчас можно сделать в интернете. Не является исключением из правил и модуль. Все те значения переменной, которые находятся в нулевом модуле, будут особым ограничением, которое будет использовано в процессе решения модульного уравнения. В исходном уравнении требуется раскрыть все имеющиеся модульные скобки, при этом, изменяя знак выражения, таким образом, чтобы значения искомой переменной совпадали с теми значениями, которые видно на числовой прямой. Полученное уравнение необходимо решить. То значение переменной, которое будет получено в ходе решения уравнения, нужно проверять на ограничение, которое задано самим модулем. Если значение переменной полностью удовлетворяет условие, то оно является правильным. Все корни, которые будут получены в ходе решения уравнения, но не будут подходить по ограничениям, должны быть отброшены. Владимир Шередега 21 января Процесс решения Решение модуля начинается с записи исходного уравнения с модулем. У нас появились новые, необычные материалы! Какая песня была популярна в день вашего рождения? Чувственные образы женщин в фотографиях Майкла Переза. Бетти Бросмер - обладательница самой шикарной фигуры х. Задать вопрос О проекте Обратная связь Как ставить ссылку Правила. Подписывайтесь на наши группы в социальных сетях - смешные статьи, картинки и факты! Около девочек в месяц, спрашивают нас "Почему я такая дура"! Мы расстроили более Фильм "Сумерки" забывается, но более Более девочек в месяц читают нашу статью "Я беременна в 12 лет"! Ежемесячно мы помогаем более девочек стать Винкс Прочитав этот пост, вы удивитесь какие запросы задают люди и хорошо посмеетесь! Более тысяч человек в месяц читают нашу статью, чтобы их отпустило!
Хонда одиссей 2007 технические характеристики
Лагерь колос витебск на карте
Проблемыс входомна алиэкспресс
Приказ 391 от 10.11 2009
Драгунский похититель собак главная мысль рассказа