Основные числовые характеристики дискретной случайной величины
Дискретные случайные величины
Числовые характеристики случайных величин
Числовые характеристики дискретной случайной величины. Основными характеристиками ДСВ являются математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение. Характеристикой среднего значения случайной величины служит математическое ожидание. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности: Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей: Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: Характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания служат, в частности, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:. Дисперсию удобно вычислять по формуле: Дисперсия постоянной равна нулю: Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: Дисперсия суммы разности независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых: Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии: Математическое ожидание и дисперсия СВ Х соответственно равны 0,5 и 5. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Согласно свойствам математического ожидания и дисперсии, получаем: Случайные величины X и Y независимы, причем и. На основании свойств дисперсии получаем: Закон распределения ДСВ Х задан таблицей распределения. Напоминаю, что для этого необходимо каждое значение ДСВ Х возвести в квадрат, а вероятности оставляем прежними. При одинаковых значениях ДСВ вероятности складываем. Функция распределения ДСВ Х имеет вид. Составляем закон распределения ДСВ Х то есть выполняем операцию обратную той, которую мы делали в предыдущей статье. Составляем закон распределения ДСВ Х 2. Независимые случайные величины X и Y заданы таблицами распределения вероятностей. Составив предварительно таблицу распределения СВ ;. Используя правило сложения дисперсий. Составим таблицу распределения ДСВ. Найдем соответствующие им вероятности: Получаем ряд распределения СВ Z. Используя правило сложения дисперсий: Главная Контакты Glossary Блог Индивидуальные задания Контрольные работы Последние публикации Успеваемость Приложения. Вход на сайт Имя пользователя: Последние публикации Интервальный вариационный ряд Дискретный вариационный ряд Законы распределения НСВ Числовые характеристики НСВ Непрерывные случайные величины НСВ. Числовые характеристики дискретной случайной величины Случайные величины. Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: Закон распределения ДСВ Х задан таблицей распределения 1 2 3 4 Найти: Функция распределения ДСВ Х имеет вид Найти: Составляем закон распределения ДСВ Х то есть выполняем операцию обратную той, которую мы делали в предыдущей статье 0 1 2 3 Составляем закон распределения ДСВ Х 2 0 1 4 9 5. Составив предварительно таблицу распределения СВ ; 2. Основные разделы математики Алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ Теория вероятностей Математическая статистика. Популярные статьи Формула полной вероятности. При копировании материалов активная ссылка на источник обязательна. Непрерывные случайные величины НСВ.
Числовые характеристики дискретных случайных величин. Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто построение закона или ряда распределения представляет весьма трудоемкую задачу, либо закон распределения неизвестен вовсе. К таким параметрам можно отнести среднее значение, около которого группируются возможные значения случайной величины; число, характеризующее степень разбросанности значений случайной величины относительно среднего и др. Назначение таких характеристик — выразить компактно, в сжатой форме наиболее существенные особенности распределения. Все эти характеристики называются числовыми характеристиками случайной величины. Так, для полной характеристики успеваемости учащегося и прогнозирования получения им оценки в будущем можно построить ряд распределения его оценок. Однако достаточно часто успеваемость характеризуется лишь одной, средней оценкой. Числовые характеристики играют большую роль в теории вероятностей, поскольку, оперируя ими, можно значительно упростить ряд практических вероятностных задач и получить важные результаты. Например, в тех случаях, когда на численный результат эксперимента оказывают влияние отдельные случайные величины и их достаточно много, то закон распределения результирующей случайной величины, оказывается, не будет зависеть от законов распределения составляющих величин. В этих случаях для анализа результирующей величины необходимо лишь знать некоторые числовые характеристики отдельных случайных величин. Рассмотрим наиболее важные числовые характеристики случайной величины. Математическое ожидание дискретной случайной величины. Сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений называется математическим ожиданием случайной величины и обозначается М[ X ]. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины, ряд распределения которой: Вероятностный смысл этой числовой характеристики таков: Если число испытаний n достаточно велико, то относительная частота приближенно равна вероятности появления события: Математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины. Равенство будет тем точнее, чем больше число испытаний. Математическое ожидание больше наименьшего и меньше наибольшего возможных значений. Поэтому можно сказать, что математическое ожидание характеризует положение случайной величины на числовой оси, то есть указывает некоторое среднее значение, около которого группируются все возможные значения случайной величины. Свойства математического ожидания случайной величины: Математическое ожидание постоянной величины равно самой величине: Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин: Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин: Две случайные величины называются независимыми , если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения принимает другая величина. Вычислим математическое ожидание для случайной величины из примера 6. Подставляя возможные значения 0 и 1 и соответствующие им вероятности в формулу 6. Вообще говоря, если мы рассмотрим случайную величину Х — число появлений события А в одном испытании, при вероятности этого события, равной p , то математическое ожидание Х равно: Итак, математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события. Найдем математическое ожидание для случайной величины из примера 6. Рассмотрим математическое ожидание биномиально распределенной случайной величины, например, величины, задаваемой как число появлений события А в n независимых испытаниях. Вероятность появления события А в каждом испытании одинакова и равна p. Можно доказать следующую теорему. Действительно, в примере 6. Дисперсия дискретной случайной величины. Можно привести пример двух дискретных случайных величин Х и Y , которые имеют различные возможные значения и при этом одинаковые математические ожидания. Рассмотрим следующие ряды распределения Х и Y: Математические ожидания величин Х и Y равны друг другу: Возможные значения величин Х и Y значительно отличаются. Таким образом, зная лишь математическое ожидание случайной величины, нельзя судить н и о ее возможных значениях, ни о рассеянии значений около математического ожидания. Зададимся вопросом, как можно задать величину разброса возможных значений величины. На практике эта величина чрезвычайно важна. Например, ее необходимо знать, оценивая кучность поражения мишени при стрельбе из пистолета. На первый взгляд, кажется, что необходимо проанализировать отклонение случайной величины от M [ X ]. Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием: Однако оказывается, что математическое ожидание отклонения случайной величины равно 0: Это объясняется тем, что одни отклонения положительны, а другие — отрицательны. И в результате их взаимного сложения значение отклонение будет равно 0. Поэтому отклонение случайной величины нельзя использовать для оценки ее рассеяния. Для этого чаще всего вычисляют среднее значение квадрата отклонения, называемое дисперсией. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: Используя в выражении 6. Для вычисления дисперсии также можно пользоваться следующей формулой: Раскрыв квадрат разности, получим: Учитывая, что М[ Х] — это некоторое постоянное число, раскроем предыдущее равенство так: Найти дисперсию случайной величины, ряд распределения которой: Для нахождения дисперсии можно воспользоваться и формулой 6. Как видно из вычислений, 2-й способ — по формуле 6. Свойства дисперсии случайной величины: Дисперсия постоянной величины равна нулю: Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: Вычислим дисперсию случайной величины, ряд распределения которой имеет вид пример 6. Рассчитаем дисперсию числа появлений события А в одном испытании, если вероятность этого события равна p. Математическое ожидание Х равно: Дисперсия случайной величины Х: Рассмотрим случайную величину X — число появления события А в n независимых испытаниях и найдем ее дисперсию. Вероятность появления события А в каждом испытании постоянна. Дисперсия D [ X ] числа появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность p появления события одинакова, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании: Дисперсия биномиально распределенной случайной величины, рассматриваемой в примере 6. Легко заметить, что в отличие от математического ожидания, размерность дисперсии равна квадрату размерности случайной величины. Для характеристики рассеивания более удобно использовать другую величину, размерность которой совпадает с размерностью величины. Такой характеристикой является среднее квадратическое отклонение. Найти среднее квадратическое отклонение случайной величины, ряд распределения которой примеры 6. Дисперсия этой случайной величины была вычислена в примере 6. Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины. Рассмотрим n взаимно независимых случайных величин , , …, , которые имеют одинаковые распределения, и следовательно, одинаковые характеристики математическое ожидание М , дисперсию D , среднее квадратическое отклонение s. Введем новую случайную величину — среднее арифметическое рассматриваемых величин: Математическое ожидание среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию каждой из этих величин: Дисперсия среднего арифметического n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в n раз меньше дисперсии каждой из этих величин: Таким образом, среднее арифметическое достаточно большого числа взаимно независимых случайных величин имеет значительно меньшее рассеяние, чем каждая отдельная величина. Тем самым оправдывается рекомендуемый в практической деятельности способ получения более точных результатов измерений: X 0 1 2 3 p 0, 0, 0, 0,
Расписание автобусов в ярцево маршрут 5
Правители россии в хронологическом порядке таблица фото
Power good перевод
Стражи галактики 2 торрент файл
Кирилл в переводе с греческого