Студент сдает три экзамена - Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятность того, что студент ответит на первый вопрос, равна 0,7, на второй – 0,9, на третий – 0,6. Тогда вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить, по крайней мере, на два вопроса, равна …
Бесплатная помощь с домашними заданиями
ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ НЕЗАВИСИМЫХ СОБЫТИЙ
/ reshenie_zadach_po_teorii_veroyatnostey-S1
Контрольная работа: Теория вероятностей
Бесплатная помощь с домашними заданиями
Контрольная работа: Теория вероятностей
Теорема умножения вероятностей Как отмечено выше, вероятность Р B как мера степени объективной возможности наступления события В имеет смысл при выполнении определенного комплекса условий. При изменении условий вероятность события В может измениться. В ящике 5 деталей, среди которых 3 стандартные и 2 бракованные. Поочередно из него извлекается по 1 одной детали с возвратом и без возврата. Найти условную вероятность извлечения во второй раз стандартной детали при условии, что в первый раз извлечена деталь: Пусть события А и В - извлечение стандартной детали соответственно в 1-й и 2-й раз. Если вынутая деталь вновь возвращается в ящик, то вероятность извлечения стандартной детали во второй раз. Если вынутая деталь в ящик не возвращается, то вероятность извлечения стандартной детали во второй раз Р В зависит от того, какая деталь была извлечена в первый раз - стандартная событие А или бракованная событие. Найдем формулу для вычисления условной вероятности. Тогда, согласно классическому определению вероятности,. После того как событие А произошло, число всех равновозможных исходов случаев сократилось с п до т, а число случаев, благоприятствующих событию В, с k до l. Поэтому условная вероятность Формулу условной вероятности 2. Умножая правую и левую части равенств 2. Это так называемая теорема правило умножения вероятностей: Работа электронного устройства прекратилась вследствие выхода из строя одного из пяти унифицированных блоков. Производится последовательная замена каждого блока новым до тех пор, пока устройство не начнет работать. Какова вероятность того, что придется заменить: В - замена двух блоков. Теперь по теореме умножения 2. Решить другим способом задачу, приведенную в примере 1. Событие В наступит, если первой окажется карточка с буквой А 3 шанса из 6 , вторая - с буквой Н 2 шанса из оставшихся 5 , третья - с буквой А 2 шанса из оставшихся 4 и т. Событие В называется независимым от события А, если его вероятность не меняется от того, произошло событие А или нет, то есть. В противном случае, если , событие В называется зависимым от А. Докажем, что если событие В не зависит от А, то и событие А не зависит от В. Запишем теорему умножения вероятностей 2. Заменяя РА В на Р В , получим , откуда, полагая, что , получим , то есть событие А не зависит от В. Таким образом, зависимость и независимость событий всегда взаимны. Поэтому можно дать следующее определение независимости событий. Два события называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности наступления другого. Установить, зависимы или нет события A и В по условию примера 2. В случае возврата извлеченной детали , то есть события А и В независимы. Несколько событий A , B , В противном случае события A , B , Например, три события А, В, С независимы независимы в совокупности , если независимы события А и В, А и С, В и С, А и ВС, В и АС, С и АВ. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,8, для второго - 0,7, для третьего - 0,9. Каждый из стрелков делает по одному выстрелу. Какова вероятность того, что в мишени 3 пробоины? В - в мишени три пробоины. По теореме умножения 2. В основе независимости событий лежит их физическая независимость, означающая, что множества случайных факторов, приводящих к тому или иному исходу испытания, не пересекаются или почти не пересекаются. Например, если в цехе имеются две установки, никак не связанные между собой по условиям производства, то простой каждой установки - события независимые. Если эти установки связаны единым технологическим циклом, то простой одной из установок зависит от состояния работы другой. Вместе с тем, если множества случайных факторов пересекаются, то появляющиеся в результате испытания события не обязательно зависимые. Пусть, например, рассматриваются события: А - извлечение наудачу из колоды карты пиковой масти;. В - извлечение наудачу из колоды туза. Необходимо выяснить, являются ли события А и В зависимыми. На первый взгляд, можно предполагать зависимость событий А и В в силу пересечения случаев, им благоприятствующих: Убедимся, однако, в том, что события A и В независимы. Итак, , то есть события А и В независимы Независимость событий А и В можно показать иначе, убедившись в выполнении равенства 2. Попарная независимость нескольких событий то есть независимость взятых из них любых двух событий еще не означает их независимости в совокупности. Убедимся в этом на примере примере С. Предположим, что грани правильного тетраэдра треугольной пирамиды с равными ребрами окрашены: Точно так же можно подсчитать, что. Напомним, что в этом случае применять теорему сложения вероятностей в виде 1. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения, то есть. Тогда по теореме сложения. Учитывая, что , откуда , и аналогично , получим, подставляя найденные выражения в 2. В справедливости формулы 2. Тогда на основании 1. Если при этом события А, В, На лотерейных билетов приходится 5 выигрышных. Какова вероятность выигрыша хотя бы по одному билету, если приобретено: Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9; второй — 0,9; третий — 0,8. Найти вероятность того, что студентом будут сданы: Очевидно, что , то есть совместное осуществление трех событий, состоящих в том, что студент сдаст 2-й экзамен и не сдаст 1-й и 3-й экзамены. Очевидно, событие С произойдет, если студент сдаст только 1-й экзамен из трех, или только 2-й, или только 3-й, то есть. Очевидно, что событие Е означает сдачу любых двух экзаменов из трех либо всех трех экзаменов, то есть. Элементы могут выйти из строя независимо друг от друга с вероятностями, равными соответственно 0,1;0,2;0,3. Какова вероятность разрыва электрической цепи? В — разрыв электрической цепи. Очевидно, по условию событие В произойдет, если произойдет либо событие , либо , то есть. Теперь, по формуле 2. Производительности трех станков, обрабатывающих одинаковые детали, относятся как 1: Из нерассортированной партии обработанных деталей взяты наудачу две. Какова вероятность того, что: В — одна из двух взятых деталей обработана на 3-м станке. Очевидно, что при этом надо учесть, что либо первая деталь обработана на 3-м станке, либо вторая. По теоремам сложения и умножения для независимых событий. Экзаменационный билет для письменного экзамена состоит из 10 вопросов — по 2 вопроса из 20 по каждой из пяти тем, представленных в билете. По каждой теме студент подготовил лишь половину всех вопросов. Какова вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить хотя бы на один вопрос по каждой из пяти тем в билете? С — студент сдал экзамен. Полагая ответы студента по разным темам независимыми, по теореме умножения вероятностей 2. А — двигатель начнет работать при каждом включении зажигания;. В — то же при третьем включении зажигания. Очевидно, событие С наступит, если двигатель начнет работать при 1-м включении, или при 2-м,. Среди билетов денежно-вещевой лотереи половина выигрышных. Сколько лотерейных билетов нужно купить, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,, быть уверенным в выигрыше хотя бы по одному билету? Тогда вероятность выигрыша хотя бы по одному из п приобретенных билетов, то есть вероятность суммы независимых событий определится по формуле 2. Логарифмируя обе части неравенства, имеем. Учитывая, что — величина отрицательная, получим. Два игрока поочередно бросают игральную кость. Какова вероятность выигрыша для игрока, бросающего игральную кость первым? В — выигрыш игры игроком, бросающим игральную кость первым. Событие В можно представить в виде суммы вариантов: Вероятность выигрыша игры игроком, бросающим игральную кость вторым, равна , то есть существенно меньше, чем игроком, бросающим игральную кость первым. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле для 1-го стрелка равна 0,7, а для 2-го — 0,8. Оба они делают по одному выстрелу по мишени, а затем каждый из стрелков стреляет еще раз, если при первом сделанном им выстреле он промахнулся. Найти вероятность того, что в мишени ровно 2 пробоины. С — в мишени ровно 2 пробоины. Событие С произойдет, если: Следствием двух основных теорем теории вероятностей — теоремы сложения и теоремы умножения — являются формула полной вероятности и формула Байеса. Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является формула Байеса. Она применяется, когда событие F , которое может появиться только с одной из гипотез , ,…, , образующих полную группу событий, произошло и необходимо произвести количественную переоценку априорных вероятностей этих гипотез , , Значение формулы Байеса состоит в том, что при наступлении события F , то есть по мере получения новой информации, мы можем проверять и корректировать выдвинутые до испытания гипотезы. В торговую фирму поступили телевизоры от трех поставщиков в отношении 1: От какого поставщика вероятнее всего поступил этот телевизор? F — телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока. По формуле полной вероятности 2. По формуле Байеса 2. Упрощенная схема контроля признает пригодной продукцию с вероятностью 0,98, если она стандартна, и с вероятностью 0,06, если она нестандартна. Определить вероятность того, что: Вероятность того, что взятое наудачу изделие пройдет упрощенный контроль, по формуле полной вероятности 1. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8; для второго — 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Какова вероятность того, что она принадлежит: F — в мишени одна пробоина одно попадание. Найдем вероятности гипотез и условные вероятности события F для этих гипотез: Теперь по формуле Байеса 2. Событие В называется независимым от события А, если его вероятность не меняется от того, произошло событие А или нет, то есть В противном случае, если , событие В называется зависимым от А. А - извлечение наудачу из колоды карты пиковой масти; В - извлечение наудачу из колоды туза. Точно так же можно подсчитать, что один шанс из двух , то есть события А, В, С попарно независимы. А — двигатель начнет работать при каждом включении зажигания; В — то же при третьем включении зажигания. Очевидно, событие С наступит, если двигатель начнет работать при 1-м включении, или при 2-м, или при 3-м включении, то есть. Формула Байеса Следствием двух основных теорем теории вероятностей — теоремы сложения и теоремы умножения — являются формула полной вероятности и формула Байеса. Практика 1 Практика 2 Практика 3.
История создания венеции
Мистик камень свойства и знаки зодиака
Стихи о вов 1941 1945
Тесто без яиц в холодильнике
Производство интегральных схем
Кукла барби брюнетка