В общем случае задача оптимизации может быть записана следующим образом:. Система 1 представляет собой общий случай математической постановки задачи оптимизации. Суть такой постановки задачи заключается в следующем: Экстремум не может быть на границе рассматриваемого интервала. Наибольшее наименьшее значение целевой функции, включая ее значения на границах интервала [ d j D j ], называют оптимальным значением или оптимумом. Если при нахождении экстремума накладываются дополнительные условия — ограничения на зависимости между переменными — то экстремум называется условным. Задача 1 представляет собой задачу нахождения оптимума. В каждом конкретном случае система 1 определяется видом переменных x j и зависимостей f x j и g i x j. Различные виды переменных и зависимостей между ними требуют различных методов решения задачи оптимизации. В зависимости от классов математических описаний задач элементы системы 1 могут быть различными рис. По виду действия над переменными зависимости могут быть алгебраическими и дифференциальными. Задачи, содержащие дифференциальные зависимости в функции времени, называются задачами оптимального управления или реже — динамической оптимизации. Как то на паре, один преподаватель сказал, когда лекция заканчивалась - это был конец пары: I Задачи статистики уровня жизни. Обобщающие показатели уровня жизни населения I. Значение и задачи анализа заготовительной деятельности. Анализ закупок сельскохозяйственной продукции. Анализ факторов влияющих на заготовительный оборот I. Цели и задачи занятия I. Цели и задачи изучения дисциплины II. Объект, предмет и задачи социологии управления II. Предмет, задачи физиологии растений II. Упражнения и задачи II. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? В общем случае задача оптимизации может быть записана следующим образом: Зависимости между переменными в 1 входят в ограничения и целевую функцию.
Начали обвисать щеки что делать
Белый сапфир камень свойства
Таблица имен существительных 2 класс
Зубы искривляются что делать
Сколько стоит место на кладбище нижний новгород
41.Основные виды задач оптимизации и методы их решения. Линейное программирование. Основные этапы решения задачи симплекс-методом.
Енлик кебек семей расписание фильмов на завтра
Входящий порт скайп
Найдите косинус 480 градусов
Как повесить картины в комнате
Инструкция по оперативному обслуживанию
Применение метода математического моделирования для оптимизации параметров систем автоматизации. Основные понятия и определения параметрической оптимизации. В широком смысле общая задача оптимизации параметров систем автоматизации заключается в отыскании экстремума критерия целевой функции при заданных ограничениях в виде равенств и или неравенств, то есть в решении задачи математического программирования. Целевая функция есть однозначная численная характеристика системы, позволяющая количественно оценить ее качество. Аргументом целевой функции выступают параметры , подлежащие оптимизации и называемые управляемыми параметрами. Вектор параметров системы , удовлетворяющий заданным ограничениям и доставляющий экстремум целевой функции, называется оптимальной точкой , а пара и составляет оптимальное решение. При непрерывном изменении значений элементов вектора целевая функция может быть непрерывной или разрывной. Если график целевой функции имеет один экстремум, то такая функция называется унимодальной или одноэкстремальной. Если же график целевой функции имеет несколько экстремумов, то такая функция называется многоэкстремальной см. Для нее различают точки глобального экстремума и локальных экстремумов. Математическое определение глобального и локального экстремума имеет следующий вид. Функция , определенная в допустимой области изменения независимой переменной , достигает своего глобального максимума в точке , если. Функция , определенная в допустимой области изменения независимой переменной , достигает своего локального максимума в точке , если в - окрестности точки выполняется условие. Глобальный экстремум можно определить путем нахождения всех локальных экстремумов и их сравнения между собой. Если функция унимодальна, то локальный экстремум автоматически становится глобальным. При дискретном характере значений элементов вектора целевая функция также окажется величиной дискретной, а ее изображение на координатной плоскости будет представлять собой множество точек. Дискретные значения управляемых параметров характерны для многих технических объектов. В таких случаях при решении задач оптимизации делают допущение о непрерывности параметров, а после нахождения оптимальных значений осуществляют выбор из дискретного ряда. Если экстремум целевой функции отыскивается в неограниченной области параметров , то его называют безусловным экстремумом , а методы его поиска — методами безусловной оптимизации. Однако в задачах оптимизации параметров систем автоматизации технологическими процессами, как правило, присутствуют те или иные ограничения. Различают прямые и функциональные ограничения. Прямые ограничения накладываются на управляемые параметры —. Область в пространстве управляемых параметров, заданную прямыми ограничениями, называют допустимой областью или областью допустимых значений управляемых параметров -. Функциональные ограничения устанавливают некоторые зависимости между управляемыми параметрами, нарушение которых недопустимо по условиям обеспечения работоспособности или регламентируемой эффективности функционирования технической системы и имеют вид—. Наличие ограничений приводит к задаче условной оптимизации , при которой находится условный экстремум целевой функции. Наложенные ограничения приводят к тому, что поиск оптимального решения ограничивается некоторой областью в пространстве управляемых параметров - , которая называется областью работоспособности технической системы. Таким образом общая задача оптимизации параметров технической системы как задача математического программирования может быть формализована следующим образом -. Определение экстремума аналитической целевой функции. Рассмотрим задачу поиска экстремума непрерывной целевой функции в одномерном случае. Предположим, что функция определена на интервале и n-кратно дифференцируема на этом интервале. Если внутри этого интервала есть точка , доставляющая экстремум целевой функции, то теорема Тейлора позволяет записать изменение функции F при переходе от точки к точке в виде. Если соответствует локальному минимуму функции , то по определению должна существовать - окрестность точки , в которой выполняется неравенство -. Из данного неравенства следует, что 1. При достаточно малом первое слагаемое доминирует над остальными, а так как можно выбрать и положительным, и отрицательным, то данное неравенство будет выполняться только при условии —. Рассуждая аналогичным образом, нетрудно получить второе условие выполнимости неравенства 1 -. Если определяется локальный максимум, то в выражение 3 примет вид -. Условия 2 и 3 являются необходимыми условиями локального экстремума , но не достаточными. Например, в точке функция одновременно удовлетворяет условиям и локального максимума, и локального минимума, но не имеет экстремум. Такие точки называются точками перегиба или седловыми точками. Достаточным условием локального экстремума является следующее:. Для многомерной непрерывной целевой функции , имеющей все первые и вторые частные производные по всем управляемым параметрам, разложение в окрестностях экстремальной точки в ряд Тейлора, ограничиваясь квадратичными членами, будет иметь вид —. Необходимым условием экстремума целевой функции в некоторой точке пространства управляемых параметров является равенство нулю градиента целевой функции в этой точке, что соответствует равенству нулю всех первых частных производных целевой функции по управляемым параметрам —. Достаточные условия экстремума целевой функции заключаются в том, чтобы матрица Гессе в стационарной точке для которой выполняется условие 4 при любом векторе была —. Как правило, задачи оптимизации технических объектов и систем характеризуются большим количеством оптимизируемых параметров и накладываемых на них ограничений. Такие задачи получили название многопараметрической условной оптимизации —. Вопросы теории и методы решения задач условной оптимизации рассматриваются в области математики, называемой математическим программированием. Традиционно в математическом программировании выделяются следующие основные разделы:. При оптимизации параметров технических систем часто используют их алгоритмические математические модели, то есть определение значений целевой функции, функций-ограничений и их градиентов осуществляется на основе результатов численного решения системы уравнений модели и вычисления значений выходных параметров объекта, которые являются функционалами фазовых координат объекта. В этом случае отсутствуют аналитические выражения, устанавливающие связь между управляемыми параметрами и функциями 7 , и для решения задачи используют поисковую оптимизацию. Сущность поисковой оптимизации заключается в том, что поиск экстремальной точки в пространстве управляемых параметров осуществляется последовательными шагами, ведущими от исходной точки через некоторые промежуточные отображающие точки в заданную - окрестность точки экстремума. Последовательность отображающих точек , соединенных отрезками прямых, называется траекторией поиска. На каждом шаге поиска решается система уравнений, составляющих математическую модель оптимизируемой системы, и вычисляются значения выходных параметров, на основе использования которых формируется целевая функция. Общий алгоритм поисковой оптимизации включает следующие этапы:. Выбор исходной точки поиска и вычисление значения целевой функции. Определение направления движения в пространстве управляемых параметров. Осуществление шага поиска — переход в следующую точку пространства управляемых параметров. Вычисление целевой функции в новой точке. Оценка успеха поиска — сравнение значений и. Проверка условий окончания поиска. Если данные условия не выполняются, то осуществляется переход к этапу 3. Таким образом, процесс оптимизации представляет собой целенаправленное движение в пространстве управляемых параметров к точке, в которой достигается экстремум целевой функции. Затраты машинного времени при поисковой оптимизации можно оценить по формуле —. Процедура постановки задачи оптимизации носит неформальный характер и включает следующие этапы:. В качестве критериев оптимальности принимаются выходные параметры, которые оказывают наибольшее влияние на достижение конечной цели функционирования системы. Остальные выходные параметры используются при формировании функции ограничений. Выбор критериев оптимальности требует глубокого понимания сущности решаемой задачи. Всесторонняя оценка эффективности и качества объекта возможна при использовании множества критериев, что приводит к многокритериальности. Векторный характер критериев оптимальности создает проблему формирования целевой функции. Сложности создает как количество критериев, так и характер их взаимодействия. Зачастую улучшение одного из критериев приводит к ухудшению других. Поэтому при наличии векторного критерия возможно лишь некоторое компромиссное решение. В этом случае говорят о Парето-оптимальных решениях. Для нахождения Парето-оптимального решения формируют аддитивную целевую функцию вида —. В однокритериальных задачах критерий оптимальности скалярный, что позволяет использовать его в качестве целевой функции. В случае многокритериальной задачи для организации алгоритма поисковой оптимизации необходимо решить задачу свертки векторного критерия в скалярную целевую функцию. Данная задача может быть решена на базе различных альтернативных принципов, обусловливающих множество стратегий решения многокритериальных задач. Различают следующие виды стратегий:. В качестве целевой функции принимают один из критериев оптимальности — выходной параметр системы, характеризующий важнейшее ее качество. Все остальные критерии оптимальности используют для назначения ограничений. Математическая формулировка задачи имеет вид —. Преимущество стратегии частного критерия — простота постановки задачи оптимизации. Однако при этом по не оптимизируемым параметрам показатели эффективности системы могут оказаться на минимально допустимом уровне, что снижает эффективность полученного решения. Стратегия взвешенной аддитивной компенсации противоречий критериев. Данная стратегия предполагает свертку всех критериев оптимальности оптимизируемых параметров системы путем приведения требований по направлению их изменения к единому виду. Разделим выходные параметры системы на три группы:. Параметры третьей группы можно перевести во вторую группу следующим образом —. Введем вектор весовых коэффициентов , характеризующих значимость выходных параметров, и вектор нормирующих коэффициентов и сформируем аддитивную целевую функцию —. Если в выражении 10 умножить на -1 , то получим следующую математическую формулировку задачи оптимизации:. Весовые коэффициенты должны отвечать условиям -. При выборе нормирующих множителей можно воспользоваться техническими требованиями к исследуемой системе, то есть принять их равными требованиям к техническим параметрам. Основной недостаток данной стратегии заключается в том, что алгоритм оптимизации не реагирует на ухудшение отдельных критериев. В результате может оказаться, что технические требования на отдельные параметры не будут выполнены и цель оптимизации не будет достигнута. Стратегия мультипликативной компенсации противоречий критериев. В аддитивной целевой функции вида 10 осуществляется компенсация абсолютных значений нормированных критериев. Другим путем компенсации противоречий является использование принципа компенсации относительных значений критериев. Он формулируется следующим образом: Этот принцип приводит к мультипликативной компенсации противоречий критериев. Мультипликативная целевая функция может применяться в тех случаях, когда отсутствуют условия работоспособности, накладывающие ограничения на предельно допустимые отклонения параметров от заданных значений, и когда выходные параметры не могут принимать нулевые значения. Целевая функция при этом имеет вид —. Математическая формулировка задачи оптимизации в этом случае будет иметь вид:. Данная стратегия имеет тот же недостаток, что и аддитивная компенсация противоречий, то есть улучшение одних критериев достигается за счет бесконтрольного ухудшения других. Данная стратегия решения многокритериальных задач оптимизации нацелена на максимальное удовлетворение технических требований, предъявляемых к системе. В ее основе лежит идея равномерности, суть которой заключается в выравнивании всех нормированных критериев оптимальности. Введем количественные оценки степени выполнения технических требований:. Все условия работоспособности системы приводятся к единому виду -. Значения подлежат максимизации, причем в первую очередь те из них, которые оказываются наименьшими. Математическая формулировка задачи оптимизации будет иметь вид:. Для учета значимости выходных параметров могут вводиться коэффициенты штрафа. Тогда вычисление целевой функции осуществляется по формуле -. В качестве могут быть использованы разности максимального и минимального значений j-го выходного параметра, полученные путем анализа уравнения регрессии в пределах интервалов варьирования факторов или заданные технические требования на отклонение выходных параметров от нормативных значений. При использовании максиминной стратегии влияние на целевую функцию оказывает лишь тот критерий, который в данной точке пространства управляемых параметров является наихудшим с позиции выполнения заданных технических требований. В результате происходит выравнивание оценок степени выполнения технических требований. В этом ее существенное преимущество перед другими стратегиями. В тех точках пространства управляемых параметров, где происходит смена критерия и в целевой функции заменяется на , целевая функция не дифференцируема. Данная особенность изменения целевой функции требует применения особых алгоритмов оптимизации. Если условия работоспособности системы привести к виду - , то оптимизационная задача будет задачей минимакса —. Рассмотренные способы формирования целевой функции могут применяться как при детерминированных, так и при статистических критериях вид которых в свою очередь определяется видом используемой математической модели исследуемой системы. Преимущество статистических критериев заключается в повышении надежности объекта, так как при этом в большей мере учитывается изменчивость различных факторов. Выбор управляемых параметров осуществляется на основе анализа чувствительности целевой функции к варьированию значений внутренних параметров. Указанный анализ заключается в определении вектора чувствительности , элементами которого являются абсолютные коэффициенты влияния - или вектора чувствительности с относительными коэффициентами влияния -. Чем больше значения коэффициентов А i и B i , тем сильнее влияние параметра на целевую функцию. Универсальным и простым методом анализа чувствительности является метод приращений. Он основан на разложении целевой функции в окрестностях точки в линейный ряд Тейлора и принятии допущения о не влиянии на ее значение всех параметров, кроме исследуемого:. Однако при сложном рельефе поверхности отклика возникает необходимость определения коэффициентов во всей допустимой области управляемых параметров, так как в разных ее точках один и тот же управляемый параметр может оказывать существенно разное влияние. В этом случае применение метода приращений с одной стороны требует больших затрат машинного времени, а с другой стороны не гарантирует высокой точности оценки влияния параметров на целевую функцию в следствие ограниченности рассчитываемых точек и субъективности их выбора. Анализ чувствительности можно также выполнить на основе регрессионного метода. Для этого строят линейную регрессионную модель системы на основе планирования эксперимента в области допустимых значений управляемых параметров. Регрессионная модель в этом случае имеет вид —. Если разделить на , то получим коэффициенты относительного влияния. Регрессионный метод анализа чувствительности позволяет получить интегральную оценку влияния управляемых параметров на целевую функцию, то есть во всей области их допустимых значений. В большинстве случаев этого достаточно для выбора управляемых параметров. В то же время регрессионная модель не отражает истинный характер изменения поверхности отклика в каждой точке пространства и поэтому не может быть использована для выявления локальных экстремумов. Необходимость нормирования управляемых параметров обусловлена тем, что оптимизируемые параметры характеризуют различные свойства системы и могут иметь существенно разные численные значений, что осложняет выбор величины шагов в их пространстве и снижает эффективность алгоритма поиска экстремума целевой функции. Данная операция осуществляется по аналогии с нормированием значений факторов при разработке регрессионных моделей. Таким образом, в общем случае задача оптимизации ставится так: В задачах исследования операций множество задается конечным числом условий, в общем В общем случае задача оптимизации может быть записана следующим образом: Система 1 представляет собой общий При постановке задачи оптимизации разработчику системы устройства Общий недостаток градиентных методов — Задача оптимизации - задача нелинейного программирования Мы познакомились Общая постановка задачи об оптимизации. Основные понятия и определения. Рязанов Общая характеристика работы Актуальность темы Теория Доменная модель в задачах оптимизации III-й Международный научно-практический семинар