Высшая математика — просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: Наш форум и библиотека: Не нашлось нужной задачи? Задайте вопрос на форуме! Высшая математика для чайников, или с чего начать? Векторы для чайников Скалярное произведение векторов Линейная не зависимость векторов. Базис векторов Переход к новому базису Векторное и смешанное произведение векторов Формулы деления отрезка в данном отношении Прямая на плоскости Простейшие задачи с прямой на плоскости Линейные неравенства Как научиться решать задачи по аналитической геометрии? Эллипс Гипербола и парабола Задачи с линиями 2-го порядка Как привести уравнение л. Полярные координаты Как построить линию в полярной системе координат? Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида. Множества и действия над ними Основы математической логики Формулы и законы логики Уравнения высшей математики Комплексные числа Выражения, уравнения и с-мы с комплексными числами Действия с матрицами Как вычислить определитель? Свойства определителя и понижение его порядка Как найти обратную матрицу? Матричные выражения Матричные уравнения Как решить систему линейных уравнений? Матричный метод решения системы Метод Гаусса для чайников Несовместные системы и системы с общим решением Как найти ранг матрицы? Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы. Примеры решений Замечательные пределы Методы решения пределов Бесконечно малые функции. Эквивалентности Правила Лопиталя Сложные пределы Пределы последовательностей Пределы по Коши. Примеры решений Логарифмическая производная Производные неявной, параметрической функций Простейшие задачи с производной Производные высших порядков Что такое производная? Производная по определению Как найти уравнение нормали? Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных. Графики и свойства элементарных функций Как построить график функции с помощью преобразований? Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи. Область определения функции двух переменных. Линии уровня Основные поверхности Предел функции 2 переменных Повторные пределы Непрерывность функции 2п Частные производные Частные производные функции трёх переменных Производные сложных функций нескольких переменных Как проверить, удовлетворяет ли функция уравнению? Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов. Примеры решений Метод замены переменной в неопределенном интеграле Интегрирование по частям Интегралы от тригонометрических функций Интегрирование дробей Интегралы от дробно-рациональных функций Интегрирование иррациональных функций Сложные интегралы Определенный интеграл Как вычислить площадь с помощью определенного интеграла? Теория для чайников Объем тела вращения Несобственные интегралы Эффективные методы решения определенных и несобственных интегралов S в полярных координатах S и V, если линия задана в параметрическом виде Длина дуги кривой S поверхности вращения Приближенные вычисления определенных интегралов Метод прямоугольников. Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты. Ряды для чайников Как найти сумму ряда? Признаки Коши Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница Ряды повышенной сложности. Степенные ряды Разложение функций в степенные ряды Сумма степенного ряда Равномерная сходимость Другие функциональные ряды Приближенные вычисления с помощью рядов Вычисление интеграла разложением функции в ряд Как найти частное решение ДУ приближённо с помощью ряда? Вычисление пределов Ряды Фурье. Двойные интегралы Как вычислить двойной интеграл? Примеры решений Двойные интегралы в полярных координатах Как найти центр тяжести плоской фигуры? Тройные интегралы Как вычислить произвольный тройной интеграл? Криволинейные интегралы Интеграл по замкнутому контуру Формула Грина. Работа силы Поверхностные интегралы. Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса. Примеры решений типовых задач комплексного анализа Как найти функцию комплексной переменной? Решение ДУ методом операционного исчисления Как решить систему ДУ операционным методом? Основы теории вероятностей Задачи по комбинаторике Задачи на классическое определение вероятности Геометрическая вероятность Задачи на теоремы сложения и умножения вероятностей Зависимые события Формула полной вероятности и формулы Байеса Независимые испытания и формула Бернулли Локальная и интегральная теоремы Лапласа Статистическая вероятность Случайные величины. Математическое ожидание Дисперсия дискретной случайной величины Функция распределения Геометрическое распределение Биномиальное распределение Распределение Пуассона Гипергеометрическое распределение вероятностей Непрерывная случайная величина, функции F x и f x Как вычислить математическое ожидание и дисперсию НСВ? Равномерное распределение Показательное распределение Нормальное распределение. Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом. Заказать контрольную Часто задаваемые вопросы Гостевая книга. Авторские работы на заказ. По высшей математике и физике. Все примеры будут разобраны подробно, доступно и понятно даже для чайника. Для успешного изучения интегралов от тригонометрических функций Вы должны хорошо ориентироваться в простейших интегралах, а также владеть некоторыми приемами интегрирования. Ознакомиться с этими материалами можно на лекциях Неопределенный интеграл. Примеры решений и Метод замены переменной в неопределенном интеграле. А сейчас нам потребуются: Таблица интегралов , Таблица производных и Справочник тригонометрических формул. Все методические пособия можно найти на странице Математические формулы и таблицы. Особо заостряю внимание на тригонометрических формулах, они должны быть перед глазами — без этого эффективность работы заметно снизится. Но сначала о том, каких интегралов в данной статье нет. Такие интегралы интегрируются по частям, и для изучения метода посетите урок Интегрирование по частям. В рамках урока я постараюсь подробно разобрать все перечисленные методы и привести примеры решения типовых интегралов. Следует отметить, что данное разделение по параграфам весьма условно, поскольку очень часто вышеперечисленные правила используются одновременно. Сначала полное решение, потом комментарии. К сожалению, в интегральном исчислении нет удобной формулы для интегрирования произведения: Данная формула превращает произведение в сумму. При работе с тригонометрическими функциями следует помнить, что: Косинус — это четная функция, то есть , минус исчезает без всяких последствий. Синус — функция нечетная: Это простейшие из сложных функций, интегралы от них удобнее найти методом подведения под знак дифференциала. Более подробно с данным приёмом можно ознакомиться на уроке Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Классика жанра для тех, кто тонет на зачёте. Как Вы, наверное, заметили, в таблице интегралов нет интеграла от тангенса и котангенса, но, тем не менее, такие интегралы найти можно. Также существуют интегралы от тангенсов и котангенсов, которые находятся в более высоких степенях. Интеграл от тангенса в кубе рассмотрен на уроке Как вычислить площадь плоской фигуры? Интегралы от тангенса котангенса в четвертой и пятой степенях можно раздобыть на странице Сложные интегралы. Данный приём работает, когда подынтегральные функции нафаршированы синусами и косинусами в чётных степенях. Обратите внимание, что я сократил решение. В данном случае целесообразно не расписывать и правило , сначала устно берем интеграл от 1, затем — от. Можно было поступить несколько иначе, но, на мой взгляд, так удобнее. В неопределенном интеграле нередко ответ можно записать несколькими способами. Вполне возможно, что такой вариант даже удобнее, просто я объяснил так, как сам привык решать. Вот еще один характерный пример для самостоятельного решения:. Это пример решается двумя способами, и у Вас могут получиться два совершенно разных ответа точнее говоря, они будут выглядеть совершенно по-разному, а с математической точки зрения являться эквивалентными. Скорее всего, Вы не увидите наиболее рациональный способ и помучаетесь с раскрытием скобок, использованием других тригонометрических формул. Наиболее эффективное решение приведено в конце урока. Подытоживая параграф, сделаем вывод: На практике мне встречались интегралы с 8 и 10 степенями, решать их ужасный гемор приходилось, понижая степень несколько раз, в результате чего получались длинные-длинные ответы. Смотрим в таблицу производных и замечаем формулы , , то есть, в нашем подынтегральном выражении есть функция и её производная. Однако мы видим, что при дифференцировании косинус и синус взаимно превращаются друг в друга, и возникает вопрос: Вопрос можно решить методом научного тыка: Прерываем решение и проводим замену. В знаменателе у нас всё хорошо, всё зависит только от , теперь осталось выяснить, во что превратится. Для этого находим дифференциал:. Из полученного равенства по правилу пропорции выражаем нужное нам выражение: Напоминаю, что цель замены — упростить подынтегральное выражение, в данном случае всё свелось к интегрированию степенной функции по таблице. Я не случайно так подробно расписал этот пример, это сделано в целях повторения и закрепления материалов урока Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Здесь опять в подынтегральном выражении находятся синус с косинусом функция с производной , но уже в произведении, и возникает дилемма — что же обозначать за , синус или косинус? Если у кого остались трудности с алгоритмом замены переменной и нахождением дифференциала , то следует вернуться к уроку Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Анализируем подынтегральную функцию, что нужно обозначить за? Под оба критерия особенно под второй подходит синус, поэтому напрашивается замена. В принципе, замену можно уже проводить, но сначала неплохо было бы разобраться, а что делать с? Речь идет только об интегралах, где есть косинусы и синусы. Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока. Универсальная тригонометрическая подстановка — это частый случай метода замены переменной. Но на самом деле есть некоторые ориентиры для ее применения. Типичными интегралами, где нужно применить универсальную тригонометрическую подстановку, являются следующие интегралы: Универсальная тригонометрическая подстановка в данном случае реализуется следующим способом. Я использую не букву , а букву , это не является каким-то правилом, просто опять же я так привык решать. Здесь удобнее находить дифференциал , для этого из равенства , я выражаю: Навешиваю на обе части арктангенс: Арктангенс и тангенс взаимно уничтожаются: На практике можно не расписывать так подробно, а просто пользоваться готовым результатом: Проведем универсальную тригонометрическую подстановку: Раскрываем скобки в знаменателе, двойку в числителе выносим за знак интеграла. Более подробно с этим методом можно ознакомиться на уроке Интегрирование некоторых дробей. Здесь тоже проводится универсальная тригонометрическая подстановка: Обратите внимание, что аргумент под тангенсом должен быть в два раза меньше , чем под синусом и косинусом. Здесь перед применением универсальной тригонометрической подстановки необходимо понизить степени в знаменателе при помощи формул ,. Попробуйте разобраться в данном примере самостоятельно, полное решение и ответ очень близко! Применение универсальной тригонометрической подстановки часто приводит к длинным и трудоемким вычислениям. Поэтому на практике универсальной тригонометрической подстановки стараются избегать если возможно. Для этого используют ряд методов и приемов, о которых можно прочитать в статье Сложные интегралы. Как можно отблагодарить автора? Качественные работы без плагиата — Zaochnik. Копирование материалов сайта запрещено. Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида Элементы высшей алгебры: Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы Пределы: Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных Функции и графики: Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи ФНП: Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов Интегралы: Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты Числовые ряды: Признак Лейбница Ряды повышенной сложности Функциональные ряды: Примеры решений Кратные интегралы: Работа силы Поверхностные интегралы Элементы векторного анализа: Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса Комплексный анализ: Подготовка к ЕГЭ По высшей математике и физике Помогут разобраться в теме, подготовиться к экзамену.
Умкпо истории торкунов
17 каталог для представителей
Непосредственное интегрирование с использованием таблицы первообразных (таблицы неопределенных интегралов).
Как надо варить борщ
Костюмы на ивана купала своими руками фото
Образец резюме проекта
Помощь по контракту
Стихи про джигурду
Gopro hero 2 характеристики
Чертеж корпуса для майнинга
Как самой испечь хлеб без дрожжей
Икона святой троицы в чем помогает
Таблица первообразных ("интегралов"). Табличные неопределенные интегралы. (Простейшие интегралы и интегралы с параметром). Формулы интегрирования по частям. Формула Ньютона-Лейбница.
Переделать обувь своими руками
Юридический словарь азрилиян
График прироста населения земли
Морская звезда своими руками из подручных материалов
Где можно заказать спортивный костюм
Список интегралов элементарных функций
Академ парк кинотеатр расписание спб
Алфавит хинди с переводом на русский
Карты на раздевание до гола
Я тебя зацелую обниму сильно сильно текст