= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
Файл: >>>>>> Скачать ТУТ!
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
20. ВЕРОЯТНОСТЬ ПОЯВЛЕНИЯ ХОТЯ БЫ ОДНОГО СОБЫТИЯ
Теоремы сложения и умножения вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного события.
Вероятность появления хотя бы одного события
Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти. События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. Несколько событий образуют полную группу , если в результате испытания появится хотя бы одно из них. Другими словами, появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие. События называют равновозможными, если есть оснооснования считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое. Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими этому событию. Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных. Итак, вероятность события А определяется формулой. Вероятность достоверного события равна единице. Вероятность невозможного события равна нулю. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей. Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний. Вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту — после опыта. Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Сумма вероятностей событий , Любые два события полной группы несовместны, поэтому можно применить теорему сложения: Если одно из двух противоположных событий обозначено через А, то другое принято обозначать. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: Противоположные события образуют полную группу, а сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице. Условной вероятностью РА В называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: По определению условной вероятности, Отсюда. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:. В частности, для трех событий. Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т. Для независимых событий теорема умножения имеет вид: Это равенство принимают в качестве определения не зависимых событий. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий: Два события называют независимыми , если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми. Несколько событий называют попарно независимыми , если каждые два из них независимы. Например, события А, В, С попарно независимы, если независимы события А и В, А и С, В и С. Несколько событий называют независимыми в совокупности или просто независимыми , если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных. Например, если события , независимы в совокупности, то независимы события Из сказанного следует, что если события независимы в совокупности, то условная вероятность появления любого события из них, вычисленная в предположении, что наступили какие-либо другие события из числа остальных, равна его безусловной вероятности. Вероятность появления хотя бы одного из событий независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением, вероятностей противоположных событий: Если события имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий. Два события называют совместными , если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:. По теореме сложения вероятностей несовместных событий:. Событие А произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий: Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А: По условию, событие А может наступить, если наступит одно из несовместных событий. Другими словами, появление события А означает осуществление одного, безразлично какого, из несовместных событий. Пользуясь для вычисления вероятности события А теоремой сложения, получим:. Остается вычислить каждое из слагаемых. По теореме умножения вероятностей зависимых событий имеем:. Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу. Поскольку заранее не из-. Условная вероятность любой гипотезы может быть. Если производится несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания. Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний из n элементов по k элементов, т. Так как эти сложные события несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий искомая вероятность равна. Поскольку же вероятности всех этих сложных событий одинаковы, то искомая вероятность появления k раз события А в п испытаниях равна вероятности одного сложного события, умноженной на их число:. Вероятность появление события А в n-независимых испытаниях не больше раз и не меньше раз:. Число , которому соответствует максимальная вероятность называется самым вероятным числом появления сбытия А и определяется: Если np-q - дробное, то существует только одно самое вероятное число. Если np-q - целое, то самых вероятных числа 2: Если np-q - целое, то. Имеются таблицы, в которых помещены значения функции соответствующие положительным значениям аргумента х Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же. Итак, вероятность того, что событие А появится в n независимых испытаниях ровно k раз, приближенно равна:. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А. Вероятность того, что событие А появится в n независимых испытаниях от раз:. Формы законов распределения случайных величин. Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных. Дискретной прерывной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным. Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Рядом распределения называется таблица, в верхнем ряду которой находится все возможные значения случайной величины Х, а в нижнем возможные вероятности этих значений. Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят. Полученную фигуру называют многоугольником распределения. По оси Ох — вероятность , Оу — значения. Функция распределения — это форма записи распределения для дискретной и непрерывной случайной величины. Это вероятность того, что случайная величина находится не боьше точки х. Вероятность того, что величина х примет значение, которые находятся на нтервале [a,b]: Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины X называют функцию f х — первую производную от функции распределения F х:. Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу а, b , равна определенному интегралу от плотности. Так то окончательно получим. Зная плотность распределения f x , можно найти функцию распределения F х по формуле. Геометрически этот результат можно истолковать так: Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от равен единице: Математическое ожидание М Х дискретных случайных величин. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности. Математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины. Дисперсия D X случайной дискретной величины. Пусть X—случайная величина и М X —ее математическое ожидание. Рассмотрим в качестве новой случайной величины разность X—М Х. Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданиям. Пусть закон распределения X известен:. Напишем закон распределения отклонения. Для того чтобы отклонение приняло значение х 1 — М X , достаточно, чтобы случайная величина приняла значение x 1. Вероятность же этого события равна р 1 ; следовательно, и вероятность того, что отклонение примет значение х 1 —М X , также равна р 1. Аналогично обстоит дело и для остальных возможных значений отклонения. Таким образом, отклонение имеет следующий закон распределения:. FAQ Обратная связь Вопросы и предложения. Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права?
Составитель преподаватель кафедры высшей математики Ищанов Т. Два события называются несовместными , если появление одного из них исключает появление другого события в одном и том же опыте; в противном случае события называются совместными. При бросании игральной кости выпадение 3 очков и 6 очков события несовместные, так как они одновременно не могут произойти в одном и том же опыте. А - появление четырех очков при бросании игральной кости; В-появление четного числа очков. События А и В совместные, так появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании. Два события называются независимыми , если вероятность появления одного из них не влияет на вероятность появления другого события, в противном случае события зависимы. Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении совмещении этих событий. Например, если А — деталь годная, В — деталь окрашенная, то АВ — деталь годна и окрашена. Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Условной вероятностью называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило. Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило, по определению, равна: В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании событие В , если при первом испытании был извлечен черный шар событие А. После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Этот же результат можно получить по формуле. Действительно, вероятность появления белого шара при первом испытании. Найдем вероятность Р АВ того, что в первом испытании появится черный шар, а во втором—белый. Общее число исходов — совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета, равно числу размещений. Из этого числа исходов событию AВ благоприятствуют исходов. Как видим, получен прежний результат. Теорема умножения вероятностей для зависимых событий. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились: В частности, для трех событий. Заметим, что порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым, т. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков — конусный, а второй — эллиптический. Вероятность того, что первый валик окажется конусным событие А ,. Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим событие В , вычисленная в предположении, что первый валик— конусный, т. По теореме умножения, искомая вероятность. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар событие А , при втором — черный событие В и при третьем—синий событие С. Вероятность появления белого шара в первом испытании. Вероятность появления черного шара во втором испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, т. Вероятность появления синего шара в третьем испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, а во втором — черный, т. Теорема умножения вероятностей для независимых событий. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. Теорема сложения вероятностей для несовместных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: В урне 30 шаров: Найти вероятность появления цветного шара. Решение Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара. События A и B несовместны появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета , поэтому теорема сложения применима. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую — 0, Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область. Теорема сложения вероятностей для совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: Для трех событий A, B, C имеем: При использовании полученной формулы следует иметь в виду, что события А и В могут быть как независимыми, так и зависимыми. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: Найти вероятность попадания при одном залпе из обоих орудий хотя бы одним из орудий. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результата стрельбы из другого орудия, поэтому события А попадание первого орудия и В попадание второго орудия независимы. Так как в настоящем примере события А и В независимые, то можно было воспользоваться формулой. В самом деле, вероятности событий, противоположных событиям А и В, т. Искомая вероятность того, что при одном залпе хотя бы одно орудие даст попадание, равна. Как и следовало ожидать, получен тот же результат. Вероятность появления хотя бы одного события. Вероятность появления хотя бы одного из событий , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий: Если события имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий: Из нее вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара белые. Вероятность наступления некоторого случайного события в каждом опыте одинакова и равна 0,2. Опыты проводятся последовательно до наступления этого события. Определить вероятность того, что: Три стрелка одновременно стреляют по одной мишени. Вероятности попадания при одном выстреле соответственно равны 0,7; 0,8 и 0,9. Найти вероятности того, что при одновременном залпе этих стрелков в мишени будет: Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0, Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8. Задача обратная примеру 8. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна 0,4. Произведены три независимых измерения. Найти вероятность того, что только в одном из них допущенная ошибка превысит заданную точность. Главная Контакты Glossary Блог Индивидуальные задания Контрольные работы Последние публикации Успеваемость Приложения. Вход на сайт Имя пользователя: Последние публикации Интервальный вариационный ряд Дискретный вариационный ряд Законы распределения НСВ Числовые характеристики НСВ Непрерывные случайные величины НСВ. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Искомая условная вероятность Этот же результат можно получить по формуле Действительно, вероятность появления белого шара при первом испытании Найдем вероятность Р АВ того, что в первом испытании появится черный шар, а во втором—белый. По теореме умножения, искомая вероятность Пример 5. Вероятность появления белого шара в первом испытании Вероятность появления черного шара во втором испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, т. Основные разделы математики Алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ Теория вероятностей Математическая статистика. Популярные статьи Формула полной вероятности. При копировании материалов активная ссылка на источник обязательна. Непрерывные случайные величины НСВ.
Понятие и виды социальной власти
Бивни слона продам
Alvic luxe фасады каталог
Лада приора глохнетна ходу причина
Правило 72 часов в отношениях