ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА Площадь. Формула площади прямоугольника.
Формулы площади геометрических фигур.
Площадь прямоугольника
Исторически вычисление площади называлось квадратурой. Фигура, имеющая площадь, называется квадрируемой. Конкретное значение площади для простых фигур однозначно вытекает из предъявляемых к этому понятию практически важных требований см. Фигуры с одинаковой площадью называются равновеликими. Общий метод вычисления площади геометрических фигур предоставило интегральное исчисление. Обобщением понятия площади стала теория меры множества , пригодная для более широкого класса геометрических объектов. Из данного определения площади следует её монотонность, то есть площадь части фигуры меньше площади всей фигуры [2]. Первоначально определение площади было сформулировано для многоугольников , затем оно было расширено на квадрируемые фигуры. Квадрируемой называется такая фигура, которую можно вписать в многоугольник и в которую можно вписать многоугольник, причём площади обоих многоугольников отличаются на произвольно малую величину. Такие фигуры называются также измеримыми по Жордану [1]. Для фигур на плоскости, не состоящих из целого количества единичных квадратов , площадь определяется с помощью предельного перехода ; при этом требуется, чтобы как фигура, так и её граница были кусочно-гладкими [3]. Существуют неквадрируемые плоские фигуры [1]. Предложенное выше аксиоматическое определение площади в случае плоских фигур обычно дополняют конструктивным, при котором с помощью палетки осуществляется собственно вычисление площади. При этом для более точных вычислений на последующих шагах используют палетки, у которых длина стороны квадрата в десять раз меньше длины у предыдущей палетки [4]. Площадь квадрируемой плоской фигуры существует и единственна. Понятие площади, распространённое на более общие множества, привело к определению множеств, измеримых по Лебегу , которыми занимается теория меры. В дальнейшем возникают более общие классы, для которых свойства площади не гарантируют её единственность [1]. Под площадью в обобщённом смысле понимают численную характеристику k - мерной поверхности в n -мерном пространстве евклидовом или римановом , в частности, характеристику двумерной поверхности в трёхмерном пространстве [1]. На практике чаще всего требуется определить площадь ограниченной фигуры с кусочно-гладкой границей. Математический анализ предлагает универсальный метод решения подобных задач. Для определения площади кусочно гладкой поверхности в трёхмерном пространстве используют ортогональные проекции к касательным плоскостям в каждой точке, после чего выполняют предельный переход. Теория площадей занимается изучением обобщений, связанных с распространением определения k-мерной площади с кусочно-гладкого погружения на более общие пространства. Для кусочно-гладкого погружения f площадь определяют способом, аналогичным указанному выше, при этом у площади сохраняются такие свойства как положительность, аддитивность, нормированность, а также ряд новых. Мерами земли при налоговых расчётах были выть, соха, обжа , размеры которых зависели от качества земли и социального положения владельца. Существовали и различные местные меры земли: Многие годы площадь считалась первичным понятием, не требующим определения. Основной задачей математиков являлось вычисление площади, при этом были известны основные свойства площади [2]. В Древнем Египте использовались точные правила вычисления площади прямоугольников, прямоугольных треугольников и трапеций, площадь произвольного четырёхугольника определялась приближённо как произведение полусумм пар противоположных сторон. Применение такой приближённой формулы связано с тем, что участки, площадь которых надо было померить, были в основном близки к прямоугольным и погрешность в таком случае оставалась небольшой. Юшкевич предполагает, что египтяне могли и не знать, что пользуются приближённой формулой. Такими же формулами пользовались и в Вавилоне , однако для площади круга приближение было менее точным. Кроме того, вавилоняне могли приближённо посчитать площади правильных пяти-, шести- и семиугольника со стороной равной единице. В шестидесятиричной системе им соответствовали 1,40 , 2,37,20 и 3,41 , соответственно [6]. Метод разложения, основанный на том, что две равносоставленные фигуры равновелики, позволял также вычислить площади параллелограммов и любых многоугольников [4]. Следующим шагом было вычисление площадей круга, кругового сектора, лунок и других фигур. Основу вычислений при этом составлял метод исчерпывания многоугольниками [1] [4] , с которого берёт начало теория пределов. Особого совершенства в применении метода достиг Архимед , который с его помощью посчитал площадь сегмента параболы и другие [8] [9]. Архимеду принадлежит идея использования площадей или объёмов как вписанных, так и описанных фигур для определения требуемой площади или объёма [11]. Индийцы поначалу пользовались той же формулой для вычисления четырёхугольников, что египтяне и греки. Брахмагупта пользовался формулой для площади четырёхугольников, выраженной через его полупериметр. Формулы вычисления площади обычно не доказывались, но демонстрировались с наглядными рисунками [12]. Развитие и обобщение метода исчерпывания произошло только в XVII веке. Настоящий прорыв был сделан Кеплером , которому для астрономических расчётов нужно было уметь вычислять площадь эллипса. Применение первообразной для нахождения площади плоской фигуры является наиболее универсальным методом. С помощью первообразной доказывается принцип Кавальери , по которому две плоские фигуры имеют равную площадь, если при пересечении каждой из них прямой, параллельной фиксированной, получаются отрезки одинаковой длины. Принцип был известен задолго до формирования интегрального исчисления [1] [4]. Вычислением площадей кривых поверхностей занимался Архимед, определив, в частности, площадь поверхности шара [11]. В общем случае для определения площади поверхности нельзя пользоваться ни развёрткой не подходит для сферы , ни приближением многогранными поверхностями, то есть аналогом метода исчерпывания. Последнее показал Шварц, построив для боковой последовательности цилиндра последовательности, которые приводят к разным результатам так называемый сапог Шварца [1] [17]. Предельный переход при толщине, стремящейся к нулю даёт точное значение площади. Однако, для площади по Минковскому не всегда выполняется свойство аддитивности. Обобщение данного определения приводит к понятию линии по Минковскому и другим [18]. Материал из Википедии — свободной энциклопедии. У этого термина существуют и другие значения, см. Советская Энциклопедия , Курс дифференциального и интегрального исчисления. О понятиях площади и объёма. I, , с. II, , с. Дубровский, В поисках определения площади поверхности. Дубровский, Площадь поверхности по Минковскому. Физические величины по алфавиту Площадь. Страницы, использующие повторяющиеся аргументы в вызовах шаблонов Страницы, использующие волшебные ссылки ISBN. Навигация Персональные инструменты Вы не представились системе Обсуждение Вклад Создать учётную запись Войти. Пространства имён Статья Обсуждение. Просмотры Читать Править Править вики-текст История. В других проектах Викисклад. Эта страница последний раз была отредактирована 11 января в Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike ; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия. Свяжитесь с нами Политика конфиденциальности Описание Википедии Отказ от ответственности Разработчики Соглашение о cookie Мобильная версия. Произвольный многоугольник выпуклый и невыпуклый.
Где найти ствол григера первые дни зоны
Разработка должностных инструкций и правила их оформления
Карта ростова на дону почта
Расписание поездов ртищево саратов
История армянской кухни
План мероприятий на сентябрь в дк
Где брать хладагент в minecraft
Признаки хорошо сделанного текста точность
Проектпо технологиисвоими руками 7 класс
Вид деятельности отрасль
Вместе мы с тобой родная текст
Днс царский чита каталог
Чешутся подошвы ног и ладони причины
Картина счастье в семье
Сонник волны накрывают