Дифракция Френеля
Дифракция Френеля
Дифракция Френеля
Интегральная теорема Кирхгофа базируется на основной идее принципа Гюйгенса — Френеля. Однако законы, управляющие вкладами различных элементов поверхности, значительно сложнее, чем предполагал Френель. Тем не менее Кирхгоф показал, что во многих случаях эту теорему ыожпо свести к приближенной, но более простой форме, эквивалентной формулировке Френеля, и, кроме того, определить точный вид коэффициента наклона, который в теории Френеля остается неопределенным. Рассмотрим монохроматическую волну, идущую от точечного источника сквозь отверстие в плоском непрозрачном экране. Пусть, как и раньше, Р — точка, в которой определяется световое возмещение. Допустим, что линейные размеры отверстия велики по сравнению с длиной волны света, но малы по сравнению с расстояниями от и Р до экрана. Для того чюбы найти возмущение в точке Р, рассмотрим интеграл Кирхгофа по поверхности образованной рис. К выводу дифракционной формулы Френеля — Кирхгофа. Из теоремы Кирхгофа в форме 7 имеем где, как и раньше, расстояние между элементом — обозначает дифференцирование вдоль внутренней нормали к поверхности интегрирования. Здесь дело осложняется тем, что значения и на которые необходимо подставить в 14 , никогда точно неизвестны. Однако разумно считать, что повсюду на , кроме мест, находящихся в непосредственной близости к краю отверстия, и мало отличаются от тех значений, которые они имели бы в отсутствие экрана, и что на эти величины близки к нулю. Тогда, согласно Кирхгофу, имеем где - величины, относящиеся к падающему полю рис. Таким образом, необходимы более точные допущения относительно поведения волновой функции на большом расстоянии от экрана. Этот вопрос уже обсуждался на стр. Для нашей же задачи достаточно сделать физически очевидное допущение, что радиационное поле не существовало всегда, а начало создаваться источником в некоторый определенный момент времени. Это, конечно, означает отступление от строгой монохроматичности, так как идеально монохроматическое поле существует неограниченное время. Тогда в любой момент времени поле заполняет некоторую часть пространства, внешняя граница которой находится от на расстоянии, не превышающем , где с — скорость света. Следовательно, если радиус выбирается столь большим, что в момент наблюдения в Р вклад в возмущение от отсутствует так как в этот момент поле еще не достигло столь удаленных областей , то интеграл по равен нулю. Учитывая это и пренебрегая в производных по нормали членами малыми по сравнению с окончательно получим вместо 14 Это выражение называется дифракционной формулой Френеля — Кирхгофа. К выводу дифракционной формулы Очевидно, что вместо А мы вправе выбрать любую другую незамкнутую поверхность, границы которой совпадают с краем отверстия. В частности, вместо А можно взять часть падающего волнового фронта, которая приблизительно заполняет отверстие, и часть конуса с вершиной в и с образующими, проходящими через края отверстия рис. При достаточно большом радиусе кривизны волнового фронта вкладом от очевидно, можно пренебречь, Кроме того, на имеем. Если еще положить то вместо 17 получим где — радиус волнового фронта Этот результат находится в согласии с формулировкой принципа Гюйгенса Френелем, если вкладом от элемента волнового фронта считать Сравнивая 18 с 8. Видно, однако, что Френель неправильно предполагал, будто Возвращаясь снова к дифракционной формуле Френеля — Кирхгофа 17 , отметим, что она симметрична относительно источника аточки наблюдения. Это означает, что точечный источник, находящийся в производит в Р такое же действие, какое производил бы точечный источник равной интенсивности, помещенной в Р. Этот вывод иногда называют теоремой взаимности или теоремой обратимости Гельмгольца. До сих пор мы предполагали, что свет на пути от источника до точки Р не встречает других поверхностей, кроме дифракционного экрана: Легко распространить этот анализ и на болсс сложные случая, когда форма волны не столь проста. И тогда мы опять получим, что выводы теории Кирхгофа по существу эквивалентны предсказаниям, сделанным на основе принципа Гюйгенса—Френеля, при условии, что в каждой точке волнового фронта радиусы его кривизны велики по сравнению с длиной волны света, а углы достаточно малы. Из предыдущих рассуждений можно сразу же вывести заключение о распределении света, дифрагировавшего на дополнительных друг другу экранах, т. Пусть и — комплексные возмущения, когда только один из экранов помещен на пути между источником и точкой наблюдения Р. Из принципа Бабине можно вывести два заключения. Если то , т. Далее, если то т. Так, например, если точечный источник изображается хорошо коррегированным объективом, распределение света в плоскости изображений повсюду равно нулю, за исключением мест, находящихся в непосредственной близости от изображения О источника. Если дополнительные экраны поместить на пути между источником и изображением, то всюду, за исключением мест близ О. Выводы из основного приближения 15 теории Кирхгофа подвергались многим критическим замечаниям, из которых следует, например, что решение Кирхгофа не дает исходных значений интенсивности в плоскости отверстия [12] см. Однако сравнительно недавно, Вольф и Марчанд [14] показали, что теорию Кирхгофа можно изложить полностью математически. В таком виде теория дает точное решение некоторых иных краевых задач, чем 15 и 16 , и полностью применима к основным проблемам инструментальной оптики. Это объясняется главным образом тем, что длины волн оптического диапазона малы по сравнению с размерами препятствий, на которых происходит дифракция [17] В других задачах, относящихся, например, к поведению поля в непосредственной близости к экранам и другим препятствиям, нужно применять более тонкие методы. Такие задачи необходимо рассматривать как задачи электромагнитной теории с граничными условиями и считать источники особыми точками волновых функций. Решения подобных задач найдены только для очень небольшого числа случаев; некоторые из них будут рассмотрены в гл Граничные условия на поверхностях раздела. Закон сохранения энергии для электромагнитного поля. Гармоническая электромагнитная плоская волна. Гармонические векторные волны произвольной формы. Отражение и преломление плоской волны 1. Отражательная и пропускательная способности; поляризация при отражении и преломлении. Распространение волн в слоистой среде. Теория диэлектрических пленок 1. Характеристическая матрица для слоистой среды. Коэффициенты отражения и пропускания. Электродинамические потенциалы в вакууме 2. Поляризация и намагничение 2. Поле линейного электрического диполя. Формула Лорентц — Лоренца и элементарная теория дисперсии 2. Формула Лорентц — Лоренца. Описание распространения электромагнитных волн с помощью интегральных уравнений 2. Теорема погашения Эвальда — Озеена и строгий вывод формулы Лорентц — Лоренца. Рассмотрение преломления и отражения плоской волны с помощью теоремы погашения Эвальда — Озеена. Световые лучи и закон интенсивности в геометрической оптике. Обобщения геометрической оптики и пределы ее применимости. Общие свойства лучей 3. Законы преломления и отражения. Конгруэнции лучей и фокальные свойства. Другие основные теоремы геометрической оптики 3. Теорема Малюса и Дюпина и некоторые другие связанные с ней теоремы. Приближенное выражение для угловой характеристики преломляющей поверхности вращения. Приближенное выражение для угловой характеристики отражающей поверхности вращения. Проективное преобразование коллинеация при наличии аксиальной симметрии 4. Астигматические пучки лучей 4. Апертуры оптических систем 4. Яркость и освещенность изображений. Метод построения хода лучей 4. Оптические системы с несферическими поверхностями 4. Коэффициенты первичных аберраций произвольной центрированной системы линз 5. Формулы Зайделя, выраженные через параметры одного параксиального луча. Хроматическая аберрация произвольной центрированной системы линз ГЛАВА 6. Деление волнового фронта 7. Зеркала Френеля и другие аналогичные устройства. Интерференционные полосы в квазимонохроматическом и белом свете. Источник в виде щели; видность полос. Измерение оптической разности хода; интерферометр Рэлея. Измерение угловых размеров источников; звездный интерферометр Майкельсона. Интерференция в тонких пленках; интерферометр Физо. Интерферометр Тваймана — Грина и другие аналогичные приборы. Полосы, получающиеся с двумя одинаковыми пластинами; интерферометр Жамена и интерференционный микроскоп. Интерферометр Маха—Цендера; интерферометр Бейтса со смещенным волновым фронтом. Длина когерентности; применение двухлучевой интерференции к изучению тонкой структуры спектральных линий. Интерферометр Фабри — Перо. Применение интерферометра Фабри — Перо для изучения тонкой структуры спектральных линий. Применение интерферометра Фабри — Перо для сравнения длин волн. Интерферометр Люммера — Герке. Многолучевые полосы в тонких пленках. Многолучевые полосы, получающиеся с двумя плоскопараллельными пластинками. Сравнение длин волн с эталонным метром ГЛАВА 8. Теория дифракции Кирхгофа 8. Дифракция Фраунгофера и Френеля. Переход к скалярной теории 8. Дифракция Фраунгофера на отверстиях разной формы 8. Дифракция Фраунгофера в оптических приборах 8. Разрешающая сила систем, образующих изображение. Образование изображения в микроскопе. Дифракция Френеля на прямолинейном крае 8. Дифракция Френеля на прямолинейном крае. Трехмерное распределение света вблизи фокуса 8. Метод Габора получения изображения восстановлением волновых фронтов 8. Дифракционный интеграл при наличии аберраций 9. Соотношение между интенсивностью и средней деформацией волновых фронтов. Разложение функции аберрации 9. Дифракционная картина, получающаяся при наличии одной аберрации 9. Изображение протяженных предметов 9. Корреляционные функции световых пучков Спектральное представление взаимной когерентности. Интерференция и дифракция квазимонохроматического света Расчет взаимной интенсивности и степени когерентности для света от протяженного некогерентного квазимонохроматического источника. Степень когерентности в изображении протяженного некогерентного квазимонохроматического источника. Влияние конденсора на разрешающую силу микроскопа. Некоторые теоремы, касающиеся взаимной когерентности Строгая теория частичной когерентности Строгая формулировка закона распространения взаимной когерентности. Время когерентности и эффективная ширина спектра. Поляризация квазимонохроматического света Степень поляризации световой волны. Параметры Стокса квазимонохроматичаской плоской волны. Двумерная дифракция на плоском экране Угловой спектр плоских волн. Формулировка задачи через дуальные интегральные уравнения. Двумерная дифракция плоской волны на полуплоскости Выражение решения через интегралы Френеля. Сравнение с приближенной теорией и с экспериментальными результатами. Дифракция волн, испускаемых локализованным источником, на полуплоскости Бесконечный набор параллельных полуплоскостей, расположенных ступеньками. Единственность решения ГЛАВА Краткое изложение теорий, основанных на уравнениях Максвелла. Рассмотрение дифракции света на ультразвуковых волнах методом интегральных уравнений Интегральное уравнение для случая Е-поляризации. Пробное решение интегрального уравнения. Выражения для амплитуд световых волн в дифрагировавших и отраженных спектрах. Выражения для интенсивностей линий в спектрах первого и второго порядков в некоторых специальных случаях Распространение волн в слоистой проводящей среде. Теория металлических пленок Прозрачная пленка на поглощающей подложке. Дифракция на проводящей сфере. Математическое решение проблемы Некоторые следствия из формул Ми. Полное рассеяние и затухание ГЛАВА Структура монохроматической плоской волны в анизотропной среде Формулы Френеля для распространения света в кристаллах. Геометрические построения для определения скоростей распространения и направлений колебаний. Оптические свойства одноосных и двухосных кристаллов Распространение света в одноосных кристаллах. Распространение света в двухосных кристаллах. Измерения в кристаллооптике Интерференция в кристаллических пластинках. Интерференционные картины, получающиеся с пластинками одноосных кристаллов. Интерференционные картины, получающиеся с пластинками двухосных кристаллов. Определение положения оптических осей и главных показателей преломления кристаллической среды. Интерференционные картины, получающиеся с пластинками поглощающих кристаллов. Интеграл Гильберта и уравнение Гамильтона—Якоби. Нахождение всех экстремалей из решения уравнения Гамильтона — Якоби. Частный случай, когда независимая переменная не входит явно в подынтегральное выражение. Условия Вейерштрасса и Лежандра достаточные условия экстремума. Минимум вариационного интеграла, когда один конец кривой связал с поверхностью. Критерий Якоби для минимума. Аналогия Гамильтона в вариационной форме. Волновая механика свободных электронов. Применение оптических принципов в электронной оптике. Это объясняется главным образом тем, что длины волн оптического диапазона малы по сравнению с размерами препятствий, на которых происходит дифракция [17] В других задачах, относящихся, например, к поведению поля в непосредственной близости к экранам и другим препятствиям, нужно применять более.
Геометрическая оптика верна только тогда, когда длина волны может считаться бесконечно малой. Если это не так, то будут наблюдаться отклонения от законов геометрической оптики-явления дифракции. Для расчета картины дифракции был предложен принцип Гюйгенса-Френеля, согласно которому каждая точка волнового фронта является источником вторичных волн, а дифрагированная волна получается в результате их интерференции. Математическая формулировка принципа Гюйгенса-Френеля была дана Кирхгофом. Мы будем рассматривать дифракцию скалярных монохроматических волн. В случае дифракции электромагнитных волн такой скалярной величиной может быть, например, - компонента вектора электрического поля в волне. Такая скалярная теория является приблизительной, но, тем не менее, она вполне удовлетворительно описывает дифракцию света при малом отклонении от законов геометрической оптики, что очень важно для задач инструментальной оптики. Как известно, наше монохроматическое поле удовлетворяет уравнению Гельмгольца: Как следует из формулы Грина для поверхности , ограничивающей объем: Если функция также удовлетворяет уравнению 1 , то левая часть 2 будет равна нулю. В качестве функции возьмем сферическую волну- , где - расстояние, отсчитанное от точки. Эта функция имеет особенность в точке , поэтому окружим ее сферой и применим формулу Грина для объема, заключенного между и. Интегрирование по сфере дает при стремлении радиуса сферы к нулю. Таким образом, для того, чтобы узнать поле в некоторой точке объема, нам необходимо знать распределение поля и его нормальной производной на поверхности этого объема. В том случае, когда рассматривается дифракция на каком-либо экране, значение и берутся равными нулю в точках экрана и равными соответствующим величинам для падающей волны в точках отверстий. Такие граничные условия называются условиями Кирхгофа, и они, строго говоря, не верны, но мы будем пользоваться ими. Рассмотрим дифракцию монохроматической волны от точечного источника на отверстии в экране. Для нахождения поля в точке нам необходимо вычислить интеграл 3 по всей замкнутой поверхности. Но интеграл по сфере можно считать равным нулю при. Это верно, если предположить, что излучение не существовало бесконечно долго, и не успело дойти до границ сферы. То есть мы немного отходим от условия монохроматичности монохроматическое излучение существует всегда , но физически все верно. Тогда остается интеграл по области отверстия. Учтем, что , тогда из 3 получим 4. Теперь, если в качестве поверхности выбрать сферический волновой фронт источника , то мы получим:. Таким образом теория Кирхгофа дает значение коэффициента пропорциональности между интенсивностью падающей волны и интенсивностью вторичных волн , который был не определен в теории Гюйгенса-Френеля коэффициент наклона. Видно, что формула 4 симметрична относительно источника и точки. То есть источник той же интенсивности, помещенный в точку произвел бы в такое же действие, как производит в точке. Это есть теорема взаимности Гельмгольца. Из предыдущих рассуждений можно сразу же вывести заключение о распределении света, дифрагировавшего на дополнительных друг другу экранах, т. Пусть - комплексные возмущения, когда только один из экранов помещен на пути между источником и точкой наблюдения. Из принципа Бабине можно вывести следующие заключения. А в точках, где в отсутствие экранов , и равны по амплитуде и отличаются по фазе на. Когда мы интегрируем по отверстию, меняется намного быстрее, чем , и, кроме того, если расстояния от точек и до экрана велики, то и. Где - угол между нормалью к экрану и прямой. Тогда 4 можно переписать в следующем виде: В этой системе координат: Теперь мы хотим перейти к координатам и обратите внимание на оси координат на рисунке! Если это сделать, то получим:. Д алее, находим и , разлагая в ряд по степеням , , ,. Теперь, если в мы можем пренебречь членами порядка выше 1 по и , то мы имеем дело с дифракцией Фраунгофера , если же квадратичными и более высокими членами пренебречь нельзя то наблюдается дифракция Френеля. Очевидно, что приближение Фраунгофера применимо, когда точка наблюдения и источник находятся вблизи оси и на большом расстоянии от экрана. Это соответствует ситуации, когда отклонение от геометрической оптики не слишком велико. Обычно, для наблюдения дифракции Фраунгофера используется собирающая линза, а вся дифракционная картина получается в фокальной плоскости. Это возможно, так как линза не вносит дополнительной разности хода между лучами, собирающимися в одну точку изображения. Рассмотрим дифракцию света на прямоугольнике. Из 6 имеем с учетом только первых двух слагаемых в. А интенсивность света , где - интенсивность в центре картины. В случае дифракции света от протяженного некогерентного источника, необходимо просуммировать интенсивность от всех точек источника. Если различные точки источника когерентны, то необходимо интегрировать комплексные амплитуды. Так, например, в случае дифракции света от тонкой длинной проволоки на щели, распределение интенсивности имеет вид: Заметим, что формула 7 представляет собой двумерное преобразование Фурье поля на поверхности экрана. Когда волновой фронт ограничен, в преобразовании Фурье появляются плоские волны, распространяющиеся под различными углами — то есть дифрагированные волны. Где суммирование производится по всем электронам, -энергия взаимодействия электронов с ядром и друг с другом, -оператор полного электронного спина атома, -векторный потенциал поля. В случае однородного магнитного поля он равен: Рассмотрим коммутатор , когда векторный потенциал выбран в виде 2 , и, таким образом, оператор обобщенного импульса коммутирует с оператором. Воспользовавшись этим при раскрытии скобок в 1 , получим:. Подставив сюда из 2 получим: В зависимости от напряженности магнитного поля, можно выделить 3 случая расщепления энергетических уровней атома:. Слабое магнитное поле, мы пренебрегаем квадратичным по полю слагаемым; расщепление уровней за счет магнитного поля меньше, чем расстояние между уровнями тонкой структуры- Аномальный эффект Зеемана. По-прежнему пренебрегаем квадратичными слагаемыми, но расщепление уровней превосходит величину тонкой структуры. В данном случае оператором возмущения является. Невозмущенные уровни энергии не зависят от проекции полного момента импульса , поэтому необходимо применять теорию возмущений для вырожденных уровней. Рассмотрим матрицу оператора возмущения: Далее, необходимо вычислить 4. Мы будем предполагать, что для данного уровня имеет местоLSсвязь, то есть он характеризуется определенными значениямиL,S,J. Для вычисления 3 воспользуемся соотношением а также очевидным равенством. Так какL,S,Jимеют определенное значение в состоянии , то величины , , можно заменить их собственными значениями. То есть матрица возмущения диагональна, поэтому возмущенные уровни энергии есть , где -фактор Ланде для данного уровня. Мы видим, что -кратно вырожденный уровень расщепился и вырождение полностью снялось. Отметим, что расщепление может отсутствовать и при , когда , например, в состоянии. В том случае, когда магнитное поле очень велико, и Зеемановское расщепление превосходит интервалы тонкой структуры, формулы предыдущего раздела оказываются неверны. В этом случае энергия в магнитном поле значительно превышает спин-орбитальное взаимодействие. Поэтому в первом приближении мы этим взаимодействием принебрегаем. Тогда рвется связь между векторами LиSи они начинают независимо друг от друга квантоваться на направление магнитного поля, то есть имеет смысл не только величина , но и и. Рассмотрим атом, находящийся в постоянном электрическом поле. Так как поле обладает осевой симметрией, то сохраняется проекция полного момента на направление поля. Однако, существенная разница по сравнению с магнитным полем состоит в том, что дополнительная энергия зависит только от абсолютного значения. Поэтому состояния с одинаковым вырождены. В результате происходит неполное расщепление уровня с данным на подуровни со значениями: И при полуцелом на подуровни со значениями -на. Рассмотрим вопрос о зависимости штарковского расщепления от напряженности электрического поля. Дополнительная энергия системы, обладающей дипольным моментом , находящейся в электрическом поле равна. Если , то наблюдается линейное явление Штарка. Однако, в отличие от магнитного момента, дипольный момент не квантуется и заданное состояние системы характеризуется средним значением этого момента. Для систем, обладающих центральной симметрией атомы, гомоядерные молекулы среднее значение дипольного момента равно нулю. Поэтому для таких систем линейный по полю эффект Штарка наблюдаться не будет. Однако, система, помещенная в электрическое поле, может приобретать индуцированный дипольный момент, который при не очень сильных полях пропорционален: Тогда дополнительная энергия будет равна. В сильных полях, когда дополнительная энергия соизмерима с расстояниями между уровнями, может наблюдаться линейное явления Штарка. Такое расщепление наблюдается для атома водорода. Поляризуемость атома зависит от. Приближенно эта зависимость имеет следующий вид: Картина Штарковского расщепления спектральной линии определяется расщеплением комбинирующих уровней и правилами отбора. Стоит отметить, что величина квадратичного Штарковского расщепления всегда мала и составляет доли. В результате Штарковского уширения при столкновении с заряженными частицами например в звездах или плазме происходит сдвиг уровня континуума в область более низких энергий. Континуум начинается с такого номера уровня, когда величина Штарковского уширения превосходит расстояние между уровнями. FAQ Обратная связь Вопросы и предложения. Теперь, если в качестве поверхности выбрать сферический волновой фронт источника , то мы получим: Дифракция Фраунгофера и Френеля. Если это сделать, то получим: Подставив эти значения в 5 , мы получим: Дифракция Фраунгофера на прямоугольнике. Эффект Зеемана и Эффект Штарка. Рассмотрим Гамильтониан атома, помещенного в однородное магнитное поле. Воспользовавшись этим при раскрытии скобок в 1 , получим: В зависимости от напряженности магнитного поля, можно выделить 3 случая расщепления энергетических уровней атома: При сильных полях учитывается квадратичное слагаемое - квадратичный эффект Зеемана. Соседние файлы в папке Ответы
Значение слова характеризует
Натуральное аргановое масло отзывы
Структура механизма защиты прав и свобод человека
Indesit ifw 6530 инструкция
Виды территориальных органов федерального министерства