Y=32/x+2x найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [2;5]
Уроки алгебры и начала анализа по теме "Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке на примерах заданий вариантов ЕГЭ". 11-й класс
Тема 1. Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке
С практической точки зрения наибольший интерес представляет использование производной для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции. С чем это связано? Максимизация прибыли, минимизация издержек, определение оптимальной загрузки оборудования Другими словами, во многих сферах жизни приходится решать задачи оптимизации каких-либо параметров. А это и есть задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции. Следует отметить, что наибольшее и наименьшее значение функции обычно ищется на некотором интервале X , который является или всей областью определения функции или частью области определения. Сам интервал X может быть отрезком , открытым интервалом , бесконечным промежутком. Эти определения интуитивно понятны: Стационарные точки — это значения аргумента, при которых производная функции обращается в ноль. Для чего нам стационарные точки при нахождении наибольшего и наименьшего значений? Ответ на этот вопрос дает теорема Ферма. Из этой теоремы следует, что если дифференцируемая функция имеет экстремум локальный минимум или локальный максимум в некоторой точке, то эта точка является стационарной. Таким образом, функция часто принимает свое наибольшее наименьшее значение на промежутке X в одной из стационарных точек из этого промежутка. Также часто наибольшее и наименьшее значение функция может принимать в точках, в которых не существует первая производная этой функции, а сама функция определена. Сразу ответим на один из самых распространенных вопросов по этой теме: Иногда границы промежутка X совпадают с границами области определения функции или интервал X бесконечен. А некоторые функции на бесконечности и на границах области определения могут принимать как бесконечно большие так и бесконечно малые значения. В этих случаях ничего нельзя сказать о наибольшем и наименьшем значении функции. На первом рисунке функция принимает наибольшее max y и наименьшее min y значения в стационарных точках, находящихся внутри отрезка [-6;6]. Рассмотрим случай, изображенный на втором рисунке. Изменим отрезок на [1;6]. В этом примере наименьшее значение функции достигается в стационарной точке, а наибольшее - в точке с абсциссой, соответствующей правой границе интервала. На четвертом рисунке функция принимает наибольшее max y и наименьшее min y значения в стационарных точках, находящихся внутри открытого интервала -6;6. На интервале [1;6 наименьшее значение функции достигается в стационарной точке, а про наибольшее значение мы ничего сказать не можем. На интервале функция не достигает ни наименьшего, ни наибольшего значения. Разберем алгоритм при решении примера на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [1;4] ; на отрезке [-4;-1]. Областью определения функции является все множество действительных чисел, за исключением нуля, то есть. Оба отрезка попадают в область определения. Находим производную функции по правилу дифференцирования дроби: Очевидно, производная функции существует во всех точках отрезков [1;4] и [-4;-1]. Стационарные точки определим из уравнения. Эта стационарная точка попадает в первый отрезок [1;4]. Для второго случая вычисляем значения функции лишь на концах отрезка [-4;-1] так как он не содержит ни одной стационарной точки: Прежде чем ознакомиться с алгоритмом нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на открытом или бесконечном интервале рекомендуем повторить определения одностороннего предела и предела на бесконечности , а также способы нахождения пределов. Проверяем, является ли интервал X подмножеством области определения функции. Находим все точки, в которых не существует первая производная и которые содержатся в интервале X обычно такие точки встечаются у функций с аргументом под знаком модуля и у степенных функций с дробно-рациональным показателем. Если таких точек нет, то переходим к следующему пункту. Определяем все стационарные точки, попадающие в промежуток X. Для этого приравниваем производную функции к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем подходящие корни. Если стационарных точек нет или ни одна из них не попадает в интервал, то переходим к следующему пункту. Вычисляем значения функции в стационарных точках и точках, в которых не существует первая производная функции если такие точки есть. Если интервал X имеет вид: Делаем выводы, отталкиваясь от полученных значений функции и пределов. Здесь может быть масса вариантов. К примеру, если односторонний предел равен минус бесконечности плюс бесконечности , то о наименьшем наибольшем значении функции ничего сказать нельзя для данного интервала. Ниже разобраны несколько типичных примеров. Надеемся подробные описания их решения помогут Вам усвоить тему. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на интервалах: Начнем с области определения функции. Квадратный трехчлен в знаменателе дроби не должен обращаться в ноль: Легко проверить, что все интервалы из условия задачи принадлежат области определения функции. Очевидно, производная существует на всей области определения функции. Производная обращается в ноль при. Эта стационарная точка попадает в интервалы -3;1] и -3;2. Так как , то , а о наименьшем значении функции выводов сделать нельзя. Второй интервал интересен тем, что не содержит ни одной стационарной точки и ни одна из его границ не является строгой. В этом случае мы не сможем найти ни наибольшего, ни наименьшего значения функции. Вычислив предел на минус бесконечности и при стремлении аргумента к минус трем слева, мы лишь сможем определить интервал значений функции: Следовательно, значения функции находятся в интервале при x из промежутка. Следовательно, наибольшее значение на этом интервале функция принимает в стационарной точке , наименьшее значение функции мы вычислить не можем, но значения функции ограничены снизу величиной Для интервала -3;2 воспользуемся результатами из предыдущего пункта и еще вычислим односторонний предел при стремлении к двойке слева: Поэтому , наименьшее значение определить нет возможности, значения функции ограничены снизу величиной На промежутке функция не достигает ни наибольшего, ни наименьшего значения. То есть, на этом интервале функция принимает значения из промежутка. А теперь можно сопоставить полученные в каждом пункте результаты с графиком функции. Синими пунктирными линиями обозначены асимптоты. На этом можно закончить с нахождением наибольшего и наименьшего значения функции. Алгоритмы, разобранные в этой статье, позволяют получить результаты при минимуме действий. Однако бывает полезно сначала определить промежутки возрастания и убывания функции и только после этого делать выводы о наибольшем и наименьшем значении функции на каком-либо интервале. Это дает более ясную картину и строгое обоснование результатов. Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www. Функции, исследование функций Наибольшее и наименьшее значение функции. Наибольшее и наименьшее значение функции - определения, иллюстрации. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке [a;b]. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на открытом или бесконечном интервале X.
Это достаточно тривиальная задача из математического анализа, и именно по этой причине научиться решать её в норме может и должен каждый выпускник средней школы. Разберём несколько примеров, которые школьники решали на диагностической работе по математике, прошедшей в Москве 7 декабря года. В зависимости от промежутка, на котором требуется найти максимальное или минимальное значение функции, для решения этой задачи используется один из следующих стандартных алгоритмов. Найдите наибольшее значение функции: Репетитор по математике Сергей Валерьевич. Адрес электронной почты не будет опубликован. Ваш сайт можно не заполнять. При использовании материалов прямая индексируемая ссылка на сайт обязательна. Главная Отзывы Занятия Цены Материалы Контакты. Решаем задачи B14 из ЕГЭ Автор Сергей Воскресенье, Декабрь 18, Алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на отрезке: Найти область определения функции. Определить точки, подозрительные на экстремум те точки, в которых производная функции обращается в ноль, и точки, в которых не существует двухсторонней конечной производной. Выбрать из точек, подозрительных на экстремум, те, которые принадлежат данному отрезку и области определения функции. Вычислить значения функции не производной! Среди полученных значений выбрать наибольшее или наименьшее, оно и будет искомым. Область определения функции не ограничена: Область определения производной функции также не ограничена: Находим значение функции в точке, подозрительной на экстремум и на краях промежутка. Для удобства вычислений представим функцию в виде: Итак, из полученных значений наименьшим является Алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции: Отметить эти точки и область определения функции на числовой прямой и определить знаки производной не функции! Если точек минимума нет, то у функции нет наименьшего значения. Если точек максимума нет, то у функции нет наибольшего значения. Область определения функции задается неравенством: Отмечаем область определения функции и точки, подозрительные на экстремум, на числовой прямой, определяем знаки производной в получившихся промежутках: Следовательно, максимального значения функция достигает в этой точке. Итак, наибольшее значение функции равно Страницы Занятия Контакты Материалы Отзывы Цены Понравился сайт?
Клиника прободной язвы 12 перстной кишки
Цитаты про магию
Расписание чм россии
Рецензияна дипломную работупо рекламе образец
Проблема малой родины сочинение