Метод конечных элементов и его применение
Основные определения метода конечных элементов
1. ПРИМЕНЕНИЕ МКЭ В ФОРМЕ МЕТОДА ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Понятие о методе конечных элементов. Перенос нагрузки в узлы. Переход к общей системе координат. Определение перемещений, усилий и напряжений. Примеры расчета по МКЭ. Современная вычислительная техника позволяет проводить расчеты сооружений с более подробным описанием их внутренней структуры и с более точным учетом действующих нагрузок. Для этого разработаны специальные методы расчета, среди которых наибольшее распространение получил метод конечных элементов МКЭ. Метод конечных элементов — это метод расчета сооружений, основанный на рассмотрении сооружения как совокупности типовых элементов, называемых конечными элементами КЭ. В дискретном методе мы рассмотрели три типовых стержневых элементов, которые используются и в МКЭ как конечные элементы. Например, элемент 3-его типа в МКЭ называется ферменным рис. При расчете пространственных рам используется КЭ бруса рис. В расчетах плоских тел плит или пластин используются треугольный рис. При расчете пространственных сооружений могут использоваться призменный КЭ рис. Для расчета различных сооружений разработано множество других КЭ. МКЭ — дискретный метод. В этом методе сооружение делится на определенное число КЭ, соединенных между собой в узлах конечно-элементной модели. А нагрузка, действующая на сооружение, переносится в узлы. Это позволяет определять НДС сооружения через узловые усилия и перемещения конечно-элементной модели. Как мы знаем, можно выбирать разные расчетные схемы сооружения. Но и в пределах одной расчетной схемы можно выбирать разные расчетные модели по МКЭ, потому что сооружение можно разбить не только на разное количество однотипных КЭ, но и представить его как комбинацию различных типов КЭ. С другой стороны, при расчете сооружения могут быть реализованы различные варианты МКЭ в формах метода сил, метода перемещений и смешанного метода. В настоящее время широкое распространение получил МКЭ в форме метода перемещений. При решении многих задач статики, динамики и устойчивости сооружений определяется их полная потенциальная энергия U:. Здесь W — работа внешних сил, V — работа внутренних сил. Обычно все они представляются в виде функций, зависящих от перемещений, деформаций, напряжений элементов расчетной модели сооружения. Исследование этого выражения позволяет выявить важные законы механики, называемые принципами. Например, в теоретической механике известен принцип Лагранжа-Дирихле: Из этого принципа следует, что приращение полной потенциальной энергии системы, находящейся в равновесии, должно равняться нулю: В этом случае получается вариационное уравнение Лагранжа. Это уравнение позволяет свести задачу определения НДС сооружения к отысканию экстремума полной потенциальной энергии. С учетом 1 вариационное уравнение Лагранжа принимает вид. Оно формулируется как принцип Лагранжа: Принцип Лагранжа используется для сведения континуальной задачи расчета сооружений к дискретной задаче путем аппроксимации приближенного определения непрерывных полей перемещений, деформаций, напряжений внутри конечного элемента по его узловым перемещениям. В строительной механике используются и другие вариационные принципы, аналогичные принципу Лагранжа, такие как принципы Кастильяно , Рейсснера , Ху- Вашицу и др. Однако мы воспользуемся только вариационным принципом Лагранжа как основой варианта МКЭ в форме метода перемещений. Имея КЭ разного типа, при выборе конечно-элементной модели сооружения можно вводить узлы с разным числом степеней свободы. Например, в плоской системе могут рассматриваться узлы как с тремя степенями свободы рис. В пространственной системе узлы могут иметь шесть рис. Для упорядочения степеней свободы и соответствующих перемещений узлов КЭ все они нумеруются в определенном порядке и собираются в общий вектор перемещений u. Чтобы воспользоваться принципом Лагранжа, вводятся так называемые координатные функции , аппроксимирующие непрерывное поле перемещений внутри КЭ через перемещения ее узлов: Элементы матрицы C выбираются в виде полиномов, непрерывных внутри КЭ. Если в полиноме учитывается минимальное число членов, то такой КЭ называется симплекс-элементом. При учете большего числа членов полинома КЭ называется комплекс-элементом. В качестве простейшего примера рассмотрим ферменный КЭ с узлами i и j рис. Запишем его в матричной форме: Учитывая их, предыдущие равенства перепишем так: Тогда их можно записать в матричной форме. Она позволяет аппроксимировать поле перемещений внутренних точек КЭ через перемещения узлов. Например, для рассмотренного КЭ имеем. В отличие от дискретного подхода, уравнения континуального подхода удовлетворяются во всех точках системы. После этого осуществляется переход к дискретной модели КЭ с использованием матрицы форм H. Тогда после ряда преобразований получается матричное уравнение, связывающее вектор узловых перемещений u с вектором узловых усилий P КЭ: Для определения матрицы жесткости КЭ вычислим: Элементы каждого блока матрицы K определяются по разным формулам. В расчетной модели сооружения по МКЭ нагрузка должна быть приложена только в узлах. Поэтому действующую на систему внеузловую нагрузку необходимо переносить в узлы. Порядок переноса нагрузки в узлы расчетной модели в простых случаях остается таким же как и ранее. Например, в стержневых системах используется таблица метода перемещений. Если к прямоугольному КЭ действует изменяющаяся по линейному закону распределенная нагрузка рис. При переносе объемной нагрузки, например собственного веса четырехугольного КЭ, в каждый узел нужно прикладывать четвертую часть его веса G рис. При переносе собственного веса треугольного КЭ в каждый узел прикладывается его третья часть рис. В общем случае вектор узловой нагрузки определяется по формуле. Каждый КЭ в МКЭ вначале рассматривается в местной системе координат. Затем осуществляется переход к глобальной общей системе координат. Рассмотрим порядок такого перехода. Поворот координатных осей осуществляется с помощью матрицы преобразования координат. Для плоской системы она имеет вид. Для шарнирного узла с двумя степенями свободы. Эти матрицы позволяют использовать матрицы и вектора геометрических и жесткостных характеристик КЭ, полученных в местной системе координат, для получения соответствующих характеристик КЭ в общей системе координат. Например, преобразование вектора координат прямоугольного КЭ с четырьмя шарнирными узлами i-j-k-m рис. Пусть в расчетной модели сооружения имеется m КЭ и n узлов, а вектора ее перемещений и узловых нагрузок определены так: Это можно проделать так. Они еще не учитывают связи между соседними конечными элементами в узлах их примыкания. Для объединения КЭов в единую систему используется энергетический принцип: В этом случае матрица жесткости объединенной системы будет определяться по формуле. Элементы этой матрицы состоят только из нулей и единиц, а отдельные ее блоки соответствуют узлам КЭ и строятся по принципу: А соответствующие узловые нагрузки будут объединяться по формуле. Однако получение матрицы жесткости K и вектора нагрузки P таким способом требует больших вычислительных затрат. Задача упрощается, если составить так называемую матрицу индексов , определяющую соответствие номеров узловых перемещений КЭов узловым перемещениям всей модели. Тогда матрицу жесткости K можно получать рассылкой в ее блоки отдельных блоков матриц жесткостей КЭов по информации, заключенной в матрице индексов. При этом рассылка идет с суммированием рассылаемого блока матрицы жесткости КЭ с имеющимся блоком в матрице K. Такой метод называется методом сложения жесткостей. В результате этих действий формируется разрешающее уравнение МКЭ , по виду совпадающее с уравнением МКЭ для отдельного КЭ: Матрицу K часто называют глобальной матрицей жесткости. Разрешающее уравнение МКЭ нельзя сразу решить относительно перемещений u. Причина в том, что при его составлении не учтены граничные условия закрепления сооружения в опорах. Поэтому матрица жесткости K является вырожденной то есть ее определитель равняется нулю. Чтобы выйти из положения, вектор перемещений приходится делить на две части — на перемещения по закрепленным з и незакрепленным н направлениям: В таком случае разрешающее уравнение преобразуется в уравнение меньшего размера. Однако такая процедура существенно меняет структуру матрицы жесткости K и усложняет дальнейшее решение. Поэтому используется другой прием: В таком случае разрешающее уравнение упрощается без нарушения ее структуры и принимает вид: После решения разрешающего уравнения и определения вектора узловых перемещений u из этого вектора можно выбирать перемещения отдельных КЭов и определять перемещения в интересующих точках любого i - го КЭ по формуле. В конкретных случаях последнюю формулу можно упростить. Например, напряжения ферменного элемента определяются так: В настоящее время разработаны вычислительные комплексы, позволяющие рассчитывать на компьютере сложные и разнообразные сооружения на различные воздействия. К таким относятся расчетные комплексы NASTRAN, A NSI S, ЛИРА, СУМРАК и др. Эти расчетные комплексы рассчитаны на использование мощных компьютеров, разнообразной вспомогательной аппаратуры, сложных компьютерных программ. Они состоят из трех основных частей: Препроцессор — предназначен для подготовки и ввода исходных данных в компьютер. Используется для формирования расчетной модели сооружения автоматического разбиения на КЭ по задаваемой сетке , определения координат узлов, геометрических и физических характеристик КЭов , проверки правильности и полноты исходных данных. Дает возможность обзора расчетной модели в разных ракурсах на мониторе. Процессор — блок математического расчета МКЭ. Входящие в него компьютерные программы предназначены для: Постпроцессор — предназначен для обработки результатов расчета, представления их в виде эпюр, в удобной для анализа табличной, графической и анимационной формах. Алгоритм расчета сооружений МКЭ состоит из следующих основных этапов: Определение матриц жесткостей КЭов. Перевод матриц жесткостей КЭов в общую систему координат. Сборка глобальной матрицы жесткости K. Заданную конструкцию раму, ферму и т. Элементы определяются самим расчетчиком. Попробуем проделать это на отдельных конструкциях. Если мы учтем одно из правил изменения внутренних усилий, а именно: Распределение внешней нагрузки разберем ниже. Пронумеруем элементы они обозначены цифрой в кружочках. Выделим их отдельно рис. При узловой нагрузке в этих элементах будут возникать внутренние усилия:. Из рассуждений видим, что в каждом элементе возникают неизвестные силы:. Перерезывающую силу можем представить выразить через изгибающий момент. Такой подход снижает количество неизвестных. Определив характер неизвестных, сформируем порядок их определения. Пронумеруем узлы в произвольном порядке. Жесткое соединение стержней обозначим заделкой можно и другим способом , подобно методу перемещений делается это для наглядности. Нумеруем элементы в произвольном порядке. Номер элемента обведем в кружочек. Нагрузку, действующую на элемент, распределяем на его узлы. Строим эпюру изгибающих моментов и определяем опорные реакции. Можем воспользоваться схемами метода перемещений. Исходя из решения, получаем узловую нагрузку на элемент. Нагрузка на элемент показана на рисунке Если табличных решений нет, данную балку можем решить одним из рассмотренных выше способов. Воспользуемся уравнением 3-х моментов неразрезной балки:. Опорные реакции обозначены на рисунке Отсутствие нагрузки на элементе 4 дает нулевую нагрузку на его узлы. Полученная узловая нагрузка для каждого элемента дает общую схему нагружения конструкции в целом рис. Для наглядности дальнейших расчетов вычертим эпюры неизвестных изгибающих моментов и продольных усилий согласно принятым нами правилам рис. По этим эпюрам мы легко просчитаем количество неизвестных и составим матрицу-столбец неизвестных усилий представим матрицу усилий в виде матрицы-строки:. Связь между усилиями и внешней нагрузкой осуществляется посредством уравнений равновесия. Для этого воспользуемся вырезанием узлов в любой последовательности. При составлении уравнений равновесия примем правила: Вырезаем узел 2 рис. Моменты и линейные усилия N и Q представим для наглядности на отдельных рисунках. Перерезывающие силы выразим через изгибающие моменты. Перепишем уравнения равновесия, перенеся грузовые слагаемые в правую часть. Вырезаем узел 4 рис. Тогда после подстановки Q 4 и Q 3 уравнения а , б примут вид:. Полученные уравнения равновесия позволяют сформировать матрицу равновесия А из коэффициентов при неизвестных и матрицу Р — вектора нагрузки, а именно:. Количество строк матрицы соответствует количеству уравнений равновесия, а количество столбцов — количеству неизвестных. И если количество столбцов больше количества строк прямоугольная матрица , то это говорит о статически неопределимой задаче. Вектор нагрузки в виде матрицы-строки запишется:. Тогда уравнения равновесия запишутся в матричной форме: Для решения статически неопределимой задачи, как мы знаем, потребуются уравнения совместности деформации. Нужно помнить, что каждому виду воздействия усилию соответствует свой вид деформации, и для упругих систем запишем:. Поскольку перерезывающая сила отсутствует в списке неизвестных, мы о ней говорить больше не будем. Выявим физическую суть коэффициента податливости для продольного усилия. Рассмотрим 1 тип конечного элемента рис. Тогда общее уравнение перемещение от силы N запишется:. Учитывая, что данный элемент подвергается воздействию двух усилий, общий коэффициент податливости он уже будет представлять диагональную матрицу второго порядка примет вид: В матрице податливости элемента ноль в первой строке указывает на то, что продольное усилие N не вызывает поворота в заделке, а ноль во второй строке указывает, что изгибающий момент не вызывает продольного удлинения стержня. Элемент подвергается трем воздействиям: N — продольной силой, М н и М к — изгибающими моментами в начале н и конце к элемента. Матрица податливости В для данного элемента будет третьего порядка, а именно:. Тогда матрица податливости для 3-го типа элемента запишется: Матрица податливости конструкции в целом будет представлять собой совокупность матриц податливости отдельных элементов, расположенных по диагонали: Матрица податливости для рассматриваемой рамы представится:. Общая зависимость перемещений и усилий для конструкции в целом представится в виде:. Поскольку конечные элементы, сходящиеся в один узел, имеют одинаковые перемещения, ограничимся только перемещениями узлов. Шарнирный узел имеет возможность перемещаться только линейно: Стрелочки указывают на положительное направление перемещений. Для рассматриваемой рамы вектор перемещения запишется в виде матрицы-строки. Подведем итог нашим рассуждениям: Из второй группы уравнений находим усилия. Подставим выражения для усилий в первую группу уравнений, получим:. Расчетная модель получена введением жесткой связи в узел 2, пронумеровав узлы слева направо и вниз. Перенесем внешнюю нагрузку в узлы рамы по схеме рис. Строим схему загружения рамы. Представляем эпюры внутренних расчетных усилий. По ним составляем вектор внутренних усилий представим его в виде строки. Составляем уравнения равновесия, вырезая узел 2 из представленной рамы рис. Матрица равновесия представится в виде. Вектор нагрузки запишем строкой. Умножим равенство на EF , подставим значения, получим. Используя программу расчета, все параметры, Р , А , В вносим в компьютер и получаем:. Построим эпюры полученных усилий: Эпюра М ок представлена на рисунке 29, г. Остается построить эпюру Q ок. По этим данным при необходимости строится деформированная схема конструкции рамы. Степени свободы конечного элемента. Приведение нагрузки на систему к узловой. Связь между перемещениями узлов элемента и усилиями, действующими на них. Связь между перемещениями узлов конечно-элементной схемы и усилиями, действующими на них. Векторы перемещений и усилий, действующих и на систему элементов, их структура и связь между собой. Условие равновесия узлов в конечно-элементной схеме. Формирование системы разрешающих уравнений метода конечных элементов. Учет направленности осей местной системы координат конечного элемента по отношении к глобальной системе осей координат конечно-элементной схемы. Реализация алгоритма МКЭ в современных программных комплексах. Уфа, почтовый ящик Главная Лекция 14 продолжение.
Представление стержневой системы как системы соединенных в узлах стержневых элементов. Все стержневые системы фермы, балки, рамы, арки и другие при решении основной задачи строительной механики определение перемещений, усилий и деформаций от заданных внешних воздействий, [1] можно рассматривать как системы типовых стержневых элементов, соединенных между собой и с основанием в жестких и шарнирных узлах. В программе SCAD, где реализуется алгоритм метода конечных элементов в форме метода перемещений, для расчета стержневых систем используются только прямолинейные стержневые элементы. Поэтому, в данном учебном пособии ограничимся вариантом представления стержневой системы только как системы прямолинейных стержневых элементов, соединенных между собой и с основанием узлами рис. В принципе каждый из стержней рамы, приведенной на рис. На начальной стадии ознакомления с реализацией МКЭ в программе SCAD обратим внимание на следующие три фактора. В МКЭ конечные элемент, на которые разбита стержневая система считаются соединенными не друг с другом, а присоединенными к узлам. В расчетной схеме рамы см. Учащиеся могут воспользоваться ею в учебном классе ПК кафедры СМ и ТУ. В МКЭ в форме метода перемещений за неизвестные принимают перемещения всех узлов расчетной схемы по направлениям степеней свободы узлов. Все перемещения узлов определяются в общей системе координат. В программе SCAD в документации используются обозначения перемещений степеней свободы узлов соответственно в виде X Y, Z, UX, UY и UZ. Их направлениям соответствует нумерация: В программе SCAD предполагается, что расчетная схема плоской стержневой системы находится в плоскости XOZ, поэтому положение жесткого узла i на этой плоскости определяется линейными перемещениями. В таблицах с результатами расчетов в программе SCAD эти перемещения соответственно обозначаются в виде X, Z, UY им соответствует нумерация направлений: Стержневой элемент, представляющий собой левую консоль рамы, прикрепляется к каждому из жестких узлов 1 и 2 тремя жесткими связями. Это означает, что линейные перемещения и угол поворота левого и правого концов элемента равны соответственно перемещениям жестких узлов 1 и 2. Аналогичная схема могла бы быть использована и для правой консоли. Но в приведенном на рис. Между правым концом этой консоли и узлом 4 все три внутренние связи удалены, а сам узел 4 считается жестко прикрепленным тремя внешними жесткими связями к жесткому основанию. Для такой схемы представления консоли в результате расчета рамы МКЭ в форме метода перемещений будут определены перемещения только левого конца правой консоли перемещения отделенного от консоли узла 4 будут нулевыми. К узлу 5 см. Это соответствует изображению узла 5 в заданной расчетной схеме рамы, когда шарнир явно расположен на горизонтальном стержне см. Двойной шарнир в узле 6 заданной рамы см. В варианте расчетной схемы, изображенном на рис. Если бы были выбраны такие представления узла 6 на заданной раме, то на расчетной схеме, изображенной на рис. Шарнирные опоры 7 и 8 на схеме заданной рамы одинаковы. Но на расчетной схеме рамы для МКЭ см. В расчетной схеме рамы с шарнирной опорой можно применять любую из указанных двух схем, так как обе они описывают шарнирную опору. При использовании программы SCAD расчетная схема, изображенная на рис. С таким изображением расчетной схемы рамы для использования МКЭ в форме метода перемещений учащийся уже встречался в первой части учебного пособия [2]. В схеме, изображенной на рис. В узле 7 введены две опорных связи, закрепляющие его от горизонтального и вертикального перемещений. Таким образом, узел 7 имеет только степень свободы — возможность поворачиваться в шарнире вокруг оси. FAQ Обратная связь Вопросы и предложения. Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Представление стержневой системы как системы соединенных в узлах стержневых элементов Все стержневые системы фермы, балки, рамы, арки и другие при решении основной задачи строительной механики определение перемещений, усилий и деформаций от заданных внешних воздействий, [1] можно рассматривать как системы типовых стержневых элементов, соединенных между собой и с основанием в жестких и шарнирных узлах. Все перемещения узлов определяются в общей системе координат XYZ, к которой относится расчетная схема стержневой системы рис. Также жестко прикреплены к узлам 2 и 3 другие элементы рамы. Проектно-вычислительный комплекс SCAD в учебном процессе.
Через сколько после незащищенного акта делать тест
По каким причинам тест
Falling for you перевод
Стихи для друзей в интернете
Внутренние характеристики трудовой деятельности