Ссылка на файл: >>>>>> http://file-portal.ru/Найти площадь многоугольника все углы прямые/
Найдите площадь многоугольника, изображенного на рисунке. Все углы на рисунке прямые.
Как найти площадь многоугольника?
Найдите площадь многоугольника все углы на рисунке прямые!)заранее спасибо)
Оглавление Введение Глава 1. Теоретические основы изучения площадей многоугольников 1. Методические особенности изучения площадей многоугольников в математических классах 2. Ведь исторически само возникновение геометрии связано с потребностью сравнения земельных участков той или иной формы. Вместе с тем следует отметить, что образовательные возможности раскрытия этой темы в средней школе используются далеко не полностью. Основная задача обучения математике в школе заключается в обеспечении прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования. Наряду с решением основной задачи углубленное изучение математики предусматривает формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие их математических способностей, ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой, подготовку к обучению в вузе. Квалификационная работа включает содержание курса математики общеобразовательной школы и ряд дополнительных вопросов, непосредственно примыкающих к этому курсу и углубляющих его по основным идейным линиям. Включение дополнительных вопросов преследует две взаимосвязанные цели. С одной стороны, это создание в совокупности с основными разделами курса базы для удовлетворения интересов и развития способностей учащихся, имеющих склонность к математике, с другой — выполнение содержательных пробелов основного курса, придающее содержанию углубленного изучения необходимую целостность. Квалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и цитируемой литературы. В первой главе рассматриваются теоретические основы изучения площадей многоугольников, а во второй главе — непосредственно уже методические особенности изучения площадей. Еще в 4 — 5 тысяч лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Квадрат издавна служит эталоном при измерении площадей благодаря многим своим замечательным свойствам: Квадраты легко строить, или можно заполнить плоскость без пробелов. В древнем Китае мерой площади был прямоугольник. Когда каменщики определяли площадь прямоугольной стены дома, они перемножали высоту и ширину стены. Таково принятое в геометрии определение: Обе эти стороны должны быть выражены в одних и тех же линейных единицах. Их произведение и составит площадь прямоугольника, выраженную в соответствующих квадратных единицах. Скажем, если высота и ширина стены измерены в дециметрах, то произведение обоих измерений будет выражено в квадратных дециметрах. И если площадь каждой облицовочной Плотки составляет квадратный дециметр, то полученное произведение укажет число плиток, нужное для облицовки. Это вытекает из утверждения, положенного в основу измерения площадей: Древние египтяне лет назад пользовались почти теми же приемами, что и мы, для измерения площади прямоугольника, треугольника и трапеции: Для вычисления площади четырехугольника со сторонами рис. Эта формула явно неверна для любого четырехугольника, из нее вытекает, в частности, что площади всех ромбов одинаковы. Между тем, очевидно, что у таких ромбов площади зависят от величины углов при вершинах. Данная формула верна только для прямоугольника. С ее помощью можно вычислить приближенно площадь четырехугольников, у которых углы близки к прямым. Для определения площади равнобедренного треугольника рис. Но уже древние греки умели правильно находить площади многоугольников. Евклид не выражает результат измерения площади числом, а сравнивает площади разных фигур между собой. Как и другие ученые древности, Евклид занимается вопросами превращения одних фигур в другие, им равновеликие. Площадь составной фигуры не изменится, если ее части расположить по-другому, но без пересечения. Поэтому, например, можно, исходя из формул площади прямоугольника, находить формулы площадей других фигур. Так, треугольник разбивается на такие части, из которых затем можно составить равновеликий ему прямоугольник. Из этого построения следует, что площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Прибегая к подобной перекройке, находят, что площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, площадь трапеции — произведению полусуммы оснований на высоту. Когда каменщикам приходится облицовывать стену сложной конфигурации, они могут определить площадь стены, подсчитав число пошедших на облицовку плиток. Некоторые плитки, естественно, придется обкалывать, чтобы края облицовки совпали с кромкой стены. Число всех пошедших в работу плиток оценивает площадь стены с избытком, число необломанных плиток — с недостатком. С уменьшением размеров клеток количество отходов уменьшается, и площадь стены, определяемая через число плиток, вычисляется все точнее. Одним из поздних греческих математиков — энциклопедистов, труды которого имели главным образом прикладной характер, был Герон Александрийский, живший в 1 в. Она содержит примеры на вычисление площадей квадратов, прямоугольников и треугольников. О нахождении площади треугольника по его сторонам Герон пишет: Чтобы найти площадь, поступают вот как. Сложи 13, 14 и 15; получится Половина этого будет Вычти из этого три стороны одну за другой; сперва вычти 13 — останется 8, затем 14 — останется 7 и, наконец, 15 — останется 6. А теперь перемножь их: Отсюда квадратный корень будет На самом деле она была установлена еще в 3 в. Практические правила Герона для вычисления площадей применялись греческими, римскими и средневековыми землемерами и техниками. Обычно говорят, что площадь фигуры есть число, показывающее, из скольких единиц площади составляется фигура. Однако это не определение, а только описание того, что такое площадь. Строгое математическое определение площади можно получить с помощью палетки — прозрачной пластинки с нанесенной на нее сеткой из равных квадратов. Представим, что такая палетка лежит на плоскости. Иначе говоря, плоскость разбита на квадраты со стороной, равной 1. Если фигура полностью помещается в фигуре, составленной, например, из81 квадрата палетки, и содержит фигуру из 43 квадратов рис. Новая, более мелкая палетка даст и более тесные границы, в которых заключена площадь фигуры , скажем,. Если каждый квадрат второй палетки снова разбить на квадратов, точность измерения ещё увеличится — например, получатся границы. Так, используя набор палеток со всё более мелкой сеткой, мы будем приближаться к пределу — площади фигуры. Но здесь есть одна тонкость. Вначале мы получили отрезок , где , , в котором содержится искомое число. Затем этот отрезок уменьшили до , где ,. Потом уменьшили ещё — до , где , , и т. Но пересечение системы вложенных отрезков. Второй случай, когда пересечение всех отрезков представляет собой отрезок, а не одну точку, на первый взгляд кажется просто невозможным. Ведь всякая фигура имеет какую-нибудь площадь S F. Число S F и должно быть единственной общей точкой рассматриваемых отрезков. Но на самом деле это не так. Следующий пример подтверждает это. Возьмём квадрат Q 1 со стороной 1. Выбросим из него крестообразную фигуру площадью , как показано на рис. Остаётся фигура Q 2 из четырёх равных квадратов, примыкающих к вершинам Q 1. Сторона каждого из них составляет. Теперь в каждом из квадратов фигуры Q 2 вновь построим, а затем удалим крестообразную фигуру. Её размер определим из условия , что сумма площадей четырёх таких фигур была равна. Получим фигуру Q 3 из 16 квадратов. Получим фигуру Q 4 из 64 квадратов и т. Общая площадь фигур, выбрасываемых из Q 1 , равна. Значит, на долю множества F остаётся площадь. Попробуем теперь измерить площадь фигуры F по Жордану т. Какую бы мелкую палетку мы не взяли, площадь фигуры, составленной из квадратов палетки и включающей в себя F , равна нулю поскольку в F нет ни одного целого квадрата. Таким образом, каждый из получающихся отрезков. Значит, фигура F неквадрируема. Способ измерения площадей с помощью палеток был предложен в XIX веке французским математиком Камилем Жорданом. Другой французский математик — Анри Лебег предложил более общее определение площади. Построенная выше фигура F неквадрируема по Жордану, но имеет площадь равную , по определению Лебега, или, как говорят, измерима по Лебегу. Если же фигура квадрируема по Жордану, то она обязательно измерима и по Лебегу и имеет ту же площадь. А какие плоские фигуры квадрируемы? Для других фигур применяют следующую теорему:. Плоская фигура F рис. Другими словами, квадрируемы фигуры, которые можно сколь угодно точно приблизить многоугольниками. Например, площадь круга находят как предел площади вписанного в него или описанного около него правильного n-угольника при. Поскольку обе площади имеют общий предел, их разность стремится к нулю, значит, круг — квадрируемая фигура. Вообще, любая плоская выпуклая фигура квадрируема. Квадрируема и криволинейная трапеция под графиком непрерывной функции , заданной на отрезке. Кроме приведённого выше определения площади с помощью палеток имеется ещё одно, аксиоматическое определение. Прежде чем его сформулировать рассмотрим некоторые свойства площади будем иметь в виду только площадь по Жордану. Обозначим через Q множество всех квадрируемых плоских фигур, тогда площадь S F есть числовая функция, определённая на данном множестве. Перечислим свойства, которыми она обладает. Площадь любой квадрируемой фигуры F неотрицательна: Не исключается нулевое значение площади, поскольку, например, любой отрезок представляет собой квадрируемую фигуру нулевой площади. Пусть F 1 и F 2 — две квадрируемые фигуры, у которых нет общих внутренних точек. Обозначим через F объединение этих фигур. Тогда фигура F квадрируема и справедливо равенство. То же имеет место при объединении не двух, а большего числа фигур, попарно не имеющих общих внутренних точек. Если две квадрируемые фигуры F 1 и F 2 равны, т. Иначе говоря, площадь не изменяется при движениях. При определении площади фигуры задаётся некоторая единица площади — квадрат К , сторона которого равна динице длины: Очевидно, что площадь , определяемая с помощью палеток, действительно удовлетворяет свойствам А и D. Проверить два других свойства сложнее. Например, если фигура F 1 переходит в F 2 при повороте, то эти две фигуры будут по-разному расположены относительно палеток и доказательство равенства их площадей свойство С требует некоторых усилий. Тем не менее можно утверждать:. На множестве Q всех квадрируемых фигур существует одна и только одна функция, которая обладает свойствами A, B, C, D. То есть всякая функция на множестве Q , удовлетворяющая всем четырём свойствам, совпадает с. Стало быть, свойства A, B, C, D можно принять за аксиомы площади, т. Это и есть аксиоматическое определение площади. Все остальные её свойства можно вывести из перечисленных аксиом. Например, формулы для вычисления площадей многоугольников вытекают именно из аксиом A, B, C, D точно так же, как формулы площади круга, эллипса и других фигур. Заметим, что и в геометрии Лобачевского, и в сферической геометрии площадь определяется теми же аксиомами. Однако палетками пользоваться уже не приходится; за эталон площади принимают не квадрат, а иную фигуру — квадратов на плоскости Лобачевского и сфере просто нет. Интересно, что в обеих геометриях площадь многоугольника пропорциональна разности между суммой его углов и суммой углов плоского многоугольника с тем же числом сторон. Во-первых, многоугольник как линия. В этом случае многоугольник — это простая т. И, во-вторых, многоугольник, как часть плоскости, ограниченная простой замкнутой ломанной. В теореме Жордана речь идёт о многоугольнике как о простой замкнутой ломаной. Каждый многоугольник разбивает все точки плоскости, содержащей этот многоугольник, не принадлежащие самому многоугольнику, на два класса множества следующим образом. Любые две точки, принадлежащие одному классу, можно соединить ломаной, не пересекающей многоугольник. И каковы бы ни были две точки, принадлежащие разным классам, - этого сделать нельзя. Один из классов содержит прямые, не пересекающие многоугольник. Множество точек этого класса называют внешней областью многоугольника. Любая прямая, содержащая точки другого класса, пересекает многоугольник и содержит также точки из внешней области многоугольника. Множество точек этого класса называют внутренней областью многоугольника. Внутренняя область многоугольника вместе с самим многоугольником образует понятие многоугольника во втором смысле как части плоскости, ограниченной простой замкнутой ломаной. В вопросе о площади многоугольник понимается как часть плоскости, ограниченная простой замкнутой ломаной. В различных учебниках по геометрии для общеобразовательных учреждений определения площади несколько отличаются друг от друга, но суть определений совпадает с указанным выше. Таким образом, площадь многоугольников можно трактовать как функцию , заданную на множестве всех многоугольников, принимающую числовые значения и обладающую следующими свойствами аксиомами площади:. Это определение по своему характеру сродни, например, определению арифметического корня: Ведь и в этом случае арифметический корень определяется указанием его свойств. Для корректного определения арифметического корня надо доказать, что такое число b, во-первых, существует и, во-вторых, единственно. Первое следует из того, что множество значений функции. Для корректного определения площади многоугольников — функции - требуется доказать, что такая функция существует и единственна. Определения указанного типа носят название дескриптивных буквально, описательных, от английского слова descriptive — описательный. Дескриптивные определения отличаются от определений конструктивных буквально, построительных, от лат. Примером конструктивного определения является, например, определение степени с натуральным показателем: Поборник ознакомления школьников с понятием дескриптивного определения, видный отечественный математик и педагог Я. Дубнов, отмечал, что из уравнения, мы имеем дело с дескриптивным определением этого числа, и что концепция дескриптивного определения, как содержащего формулировку некоей задачи, вполне доступна пониманию школьника, стоит только фиксировать его внимание на дескриптивном характере уже знакомых определений. Если этого не делают, то, вероятно, потому, что недооценивают образовательное значение идеи дескриптивного определения, которое одновременно служит инструментом исследования и преддверием к пониманию аксиоматического метода. Это высказывание более чем сорокалетней давности актуально и сегодня. Здесь проявляется многовековая традиция, состоящая в следующем: Площадь представляется нам физической реальностью, такой же несомненной, как окружающие нас предметы. Многим же сам вопрос об определении площади покажется искусственным: Взгляд на площадь как на первичное понятие сложился ещё в древности. До недавнего времени этого взгляда придерживались и математики. Между тем их вычисления должны были на чём-то основываться — если не на прямом определении, то на чём-то, его заменяющем, на каких-то принципах, которые позволяли им всякий раз получать в качестве площади определённое число. И такие принципы, конечно, существовали, хотя обычно не формулировались. Это — основные свойства площади. Так, в одних школьных учебниках площадь многоугольников вообще не определяется, но указываются её свойства, соответствующие аксиомам площади. В других же определения носят формально дескриптивный характер, но свойства, определяющие площадь, используются не для построения общей функции , а для вычисления площади основных плоских фигур: Отметим также, что на основе аксиом площади вполне строго выведены формулы площади указанных основных плоских фигур. Поскольку, однако, существование единственной функции не установлено, то доказанное лишь означает, что если функция существует, то её значения для основных плоских фигур однозначно определяются обычными общеизвестными формулами. Площадь прямоугольника со сторонами и вычисляется по формуле рис. Площадь произвольного четырёхугольника рис. Площадь вписанного в окружность четырёхугольника рис. Если же четырёхугольник вписан и описан одновременно рис. Общий метод для нахождения площади произвольного многоугольника состоит в том, что его надо разбить на треугольники, вычислить их площади и сложить результаты. Иногда многоугольник представляют как сумму и разность треугольников. Однако простой и компактной формулы для определения площади произвольного n -угольника нет. Это неудивительно, ведь в ней неизбежно будет слишком много переменных. Чтобы задать n -угольник его форму и размеры , нужно указать 2 n — 3 его элемента: Кроме одной, и величины n — 2 образованных ими углов. Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на проведённую к ней высоту:. Доказательство проводится очень просто. Данный треугольник АВС рис. Треугольники ABC и DCB равны по трём сторонам, поэтому их площади равны. Значит площадь треугольника АВС равна половине площади параллелограмма ABDC , т. Но здесь возникает следующий вопрос: Это, впрочем, легко доказать из подобия прямоугольников с общим острым углом. Рассмотрим треугольник АВС рис. Однако в школьных учебниках так не делается. Наоборот, равенство трёх полупроизведений устанавливается на основе того, что все эти полупроизведения выражают площадь треугольника. Таким образом, неявно используется существование единственной функции. А ведь здесь появляется удобная и поучительная возможность продемонстрировать пример математического моделирования. Действительно, за понятиям площади стоит физическая реальность, но прямая проверка равенства трёх полупроизведений показывает добротность перевода этого понятия на язык математики. Пользуясь приведённой выше теоремой о площади треугольника очень часто бывает удобно сравнивать площади двух треугольников. Приведём ниже некоторые очевидные, но важные следствия из теоремы. Если вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной её основанию, то его площадь при этом не меняется. Пусть дан отрезок АВ. Множество точек М таких, что площадь треугольника АМВ равна заданной величине S , есть две прямые, параллельные отрезку АВ и находящиеся от него на расстоянии рис. Если одну из сторон треугольника, прилежащих к данному его углу, увеличить в k раз, то площадь его также увеличится в k раз. Биссектриса угла треугольника, заключённая между его сторонами а и b , делит его на два треугольника, площади которых относятся как a: Если два треугольника имеют общий угол, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих этот угол. Если два треугольника подобны и сторона одного из них в k раз больше соответствующих сторон другого, то его площадь в k 2 раз больше площади второго. Выведем формулу Герона для площади треугольника следующими двумя способами. В первом используем теорему косинусов:. Формулу Герона можно вывести, опираясь только на теорему Пифагора и не используя теорему косинусов. Рассмотрим произвольный треугольник АВС рис. В нём всегда найдётся высота, основание которой лежит на стороне треугольника, а не на её продолжении. Искомая площадь треугольника АВС:. Решаем полученную систему трёх уравнений с тремя неизвестными ,:. Теперь из первого уравнения системы 1. Предложенный вывод формулы Герона отражает межпредметные связи алгебры и геометрии, он доступен учащимся сразу же после изучения теоремы Пифагора. Пусть нам дан прямоугольник со сторонами a , b и площадью S рис. С другой стороны, этот квадрат составлен из данного прямоугольника с площадью S , равного ему прямоугольника с площадью S и двух квадратов с площадями. Площадь трапеции равна произведению одной из боковых сторон на длину перепендикуляра, опущенного на неё из середины другой боковой стороны. Пусть ABCD — данная трапеция , — середина стороны — перпендикуляр, опущенный из точки на прямую. Проведём через точку K прямую, параллельную прямой АВ. Пусть М и Р — точки её пересечения с прямыми ВС и AD. Параллелограмм АВМР равновелик данной трапеции, так как пятиугольник АВСКР является для них общим, а треугольник СМК конгруэнтен треугольнику KPD , т. Поскольку площадь параллелограмма равна произведению его основания АВ на высоту КН , утверждение доказано. Школьная программа предусматривает вычисление площадей фактически двух видов выпуклых четырёхугольников: Для четырёхугольника, фактически не являющегося параллелограммом или трапецией, формула нахождения его площади не выводится. В то же время применение такой формулы для решения ряда задач было бы удобным. Имеется в виду формула вычисления площади произвольного выпуклого четырёхугольника, которую можно назвать аналогом формулы Герона, учитывая их некоторое внешнее свойство. Из в силу теоремы косинусов. Найдём площадь четырёхугольника ABCD как сумму площадей треугольников ABC и ADC:. Площадь произвольного четырёхугольника, вписанного в окружность, вычисляется по формуле как было сказано выше Брахмагупты:. Доказательство сразу следует из теоремы, рассмотренной выше, с учётом того, что сумма противолежащих углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 0 , т. Площадь произвольного четырёхугольника, описанного около окружности, вычисляется по формуле:. Площадь четырёхугольника, вписанного в окружность и описанного около окружности, может быть вычислена по формуле:. Так как и в силу следствия 1. Существует универсальная формула, известная в математике под названием формулы Симпсона, с помощью которой можно вычислять площади плоских фигур: Площадь всякого описанного многоугольника равна произведению периметра на половину радиуса. Соединив центр О рис. Площадь правильного многоугольника равна произведению периметра на половину апофемы, т. Для нахождения площади какого-нибудь неправильного многоугольника нужно его разбить на треугольники, вычислить площадь каждого треугольника в отдельности и результаты сложить. Если бы это было доказано, то при условии единственности площади прямоугольника произведения длин его сторон тем самым была бы построена единственная функция. Это доказательство состоит из ряда этапов и далеко не просто. Проведение такого доказательства в средней школе вряд ли целесообразно. Однако в классах с углубленным изучением математики после формулировки свойств площади важно сообщить, что функция, обладающая этими свойствами, существует и единственна. Метод, о котором далее пойдёт речь был впервые применён французским математиком Жераром в году и усовершенствован Лебегом. Отыскание функции , удовлетворяющей аксиомам площади, проведём в несколько этапов. Выбираем на плоскости произвольную точку О. Указываем выражение для произвольного выбранного многоугольника F в двух формах. Независимость от фиксированной точки О и проверка выполнения аксиом площади на этом этапе не устанавливаются. Пусть или их продолжения через соответственно. Сопоставим многоугольнику F число с помощью следующей формулы:. Для многоугольника, изображённого на рис. Отметим, что значение не изменится, если какую-либо сторону многоугольника считать остоящей из нескольких непрерывающихся отрезков. Обозначим через единичный вектор внешней нормали к стороне. Точка произвольно фиксирована на прямой, содержащей , обозначим. Покажем, что , где знак выбирается так же, как в формуле 1. Доказательство проведём для двух сторон прямоугольника, у которых произведение входит в формулу 1 с разными знаками. Для остальных сторон соотношение доказывается аналогично. Теперь величину можно представить в виде:. Докажем, что величина не зависит от выбора точки О. Возьмём какую-либо точку , вместо точки , сохранив прежними точки , тогда для всех i векторы заменяются векторами. При этом, обозначая , получим рис. Введём вектор и покажем, что. Сумму векторов найдём по правилу многоугольника. Отложим вектор от какой-либо точки, а каждый следующий от конца предыдущего. В итоге получим замкнутую ломанную, образующую многоугольник, равный многоугольнику F его можно рассматривать как результат параллельного переноса и поворота на прямой угол многоугольника F. Так как ломаная, построенная на векторах , оказалась замкнутой, то. Таким образом, величина не зависит от выбора точки О. Покажем, что значения для прямоугольников и треугольников совпадают с известными выражениями их площадей. Пусть точка О находится в одной из вершин прямоугольника F со сторонами a и b , тогда сумма 1. В частности, если - квадрат со стороной единичной длины, т. Если точку О поместить в вершину А треугольника F , равного треугольнику АВС , то получим обычную формулу площади треугольника. Покажем, что удовлетворяет аксиоме площади 2, т. Пусть многоугольник может быть получен из многоугольника движением. Выберем произвольно точку О для многоугольника F. В качестве точки для многоугольника выберем точку, полученную из О тем же движением плоскости, при котором многоугольники и совмещаются. Тогда , и знаки при и совпадают , а, значит, по формуле 1. Докажем, что удовлетворяет аксиомам 3 и 1, т. Возьмём прямоугольник , представляющий собой объединение двух неперекрывающихся многоугольников и рис. Общей частью многоугольников и является отрезок АВ. Вклады отрезка АВ в суммы и взаимно уничтожаются, так как положительные нормали для отрезка АВ , фигур и противоположно направлены. Таким образом, сумма даёт значение для объединения многоугольников и , т. Вывод, очевидно, остаётся справедливым и в случае, если многоугольник является объединением любого конечного числа не перекрывающихся многоугольников в том числе и для треугольников. Отсюда, в частности, следует, что при разбиении произвольного многоугольника на конечное число n попарно не перекрывающихся треугольников сумма для совокупности составляющих треугольников совпадает с для данного многоугольника, независимо от способа его разбиения. Поскольку площадь треугольника положительна, то удовлетворяет аксиоме 1. Итак, функция , определённая формулами 1. Метод координат, предложенный в XVII веке французскими математиками Р. Декартом и П. Ферма , является мощным аппаратом, позволяющем переводить геометрические понятия на алгебраический язык. В основе этого метода лежит понятие — система координат. Мы будем рассматривать вычисление площади многоугольника по координатам его вершин в прямоугольной системе координат. Если - площадь треугольника. Пусть вершины треугольника расположены в первой координатной четверти. Направление или , или расположения вершин треугольника совпадает с направлением движения конца часовой стрелки рис. Так как фигура - трапеция. Указанные направления в случае 1 противоположны направлению движения конца часовой стрелки рис. Мы вывели формулу 1. Многоугольник может быть выпуклым или невыпуклым, порядок нумерации вершин считается отрицательным, если вершины нумеруются по направлению движения конца часовой стрелки. Многоугольник, не имеющий самопересечения сторон, будем называть простым. Для простого именно n -угольника справедлива следующая. Если - площадь простого n -угольника , где , то справедливо равенство. Для она уже доказана теорема 1. Добавим к многоугольнику ещё одну вершину рис. В любом невыпуклом n -угольнике можно провести диагональ, лежащую внутри него, и поэтому доказательство случая 2 для невыпуклого n -угольника аналогична доказательству для выпуклого n -угольника. Выражения для запоминаются нелегко. Поэтому, для вычисления его значений удобно выписать в столбец координаты первой, второй, третьей, …, n -й и снова первой вершин n -угольника и провести умножение по схеме:. При составлении столбца 1. Чтобы оценить площадь многоугольника на клетчатой бумаге, достаточно подсчитать, сколько клеток покрывает этот многоугольник площадь клетки мы принимаем за единицу. Точнее, если S — площадь многоугольника, - число клеток, которые целиком лежат внутри многоугольника, и - число клеток, которые имеют с внутренностью многоугольника хоть одну общую точку. Будем рассматривать ниже только такие многоугольники, все вершины которых лежат в узлах клетчатой бумаги — в таких, где пересекаются линии сетки. Оказывается, что для таких многоугольников можно указать такую формулу:. Площадь любого треугольника, нарисованного на клетчатой бумаге, легко посчитать, представив её как сумму или разность площадей прямоугольных треугольников и прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки, проходящим через вершины нарисованного треугольника. Проделав это, например, для треугольников, изображённых на рисунке 1. Назовём треугольник простым, если ни внутри него, ни на его сторонах нет узлов сетки, за исключением вершин. Все простые треугольники на рис. Мы увидим, что это не случайно. В каких тройках точек могут через несколько прыжков оказаться кузнечики? Назовём треугольник достижимым, если в его вершинах могут одновременно оказаться три кузнечика, которые вначале были в трёх вершинах одной клетки; прыжком будем называть преобразование треугольника, заключающееся в том, что одна из вершин переходит в точку, симметричную относительно любой из двух других вершин эти две вершины остаются на месте. Следующие три свойства треугольников с вершинами в узлах клетчатой бумаги эквивалентны друг другу:. Познакомимся со следующими свойствами простого треугольника, которые и приводят к справедливости данной теоремы. Любой достижимый треугольник имеет площадь. Если достроить простой треугольник АВС до параллелограмма ABCD , то ни внутри, ни на сторонах этого параллелограмма не будет узлов не считая вершин. Из простого треугольника один из углов — тупой или прямой причём последний случай возможен только для треугольника, у которого три вершины принадлежат одной клетке, такой простой треугольник — со сторонами 1, 1, будем называть минимальным. Из любого простого не минимального треугольника можно одним прыжком получить треугольник, у которого наибольшая сторона меньше, чем наибольшая сторона исходного. Любой простой треугольник имеет площадь. Площадь любого треугольника равна , причём при любом разрезании его на простые их количество равно m. Любой треугольник площади - простой. Для любых двух узлов А и В решётки, на отрезке между которыми нет других узлов, найдётся узел С такой, что треугольник АВС — простой. Узел С в предыдущем свойстве можно всегда выбрать так, что угол АСВ будет тупым или прямым. Пусть клетчатая плоскость разрезана на равные параллелограммы так, что все узлы являются вершинами параллелограммов. Тогда каждый из треугольников, на которые один из этих параллелограммов разрезается своей диагональю — простой. Треугольник АВС — простой тогда и только тогда, когда всевозможные треугольники, полученные из АВС параллельными переносами, переводящими узел А в различные узлы решётки, не накладываются друг на друга. Если решётку — узлы клетчатой бумаги — разбить на четыре подрешётки с клетками рис. Три кузнечика могут одновременно попасть в те и только те тройки точек, которые служат вершинами простого треугольника и имеют тот же знак, что и соответствующие вершины начального треугольника. Два кузнечика могут одновременно попасть в те и только те пары узлов соответствующих знаков, на отрезке между которыми нет других узлов. Мы рассмотрим частный вид многоугольников на клетчатой бумаге, которому в формуле Пика соответствуют значения. Но от этого частного случая можно перейти сразу к самому общему, воспользовавшись теоремой о разрезании на треугольники произвольного многоугольника клетчатая бумага больше не нужна. Пусть на плоскости задан некоторый многоугольник и некоторое конечное множество К точек, лежащих внутри многоугольника и на его границе причём все вершины многоугольника принадлежат множеству К. Триангуляцией с вершинами К называется разбиение данного многоугольника на треугольники с вершинами в множестве К такое, что каждая точка из К служит вершиной каждому из тех треугольников триангуляции, которым эта точка принадлежит то есть точки из К не попадают внутрь или на стороны треугольников, рис. Тогда существует триангуляция с вершинами в отмеченных точках, причём количество треугольников такой триангуляции будет равно. Разумеется, а — частный случай б , когда. Назовём разбиение n -угольника на несколько многоугольников правильным, если каждая вершина одного из многоугольников разбиения служит вершиной всех других многоугольников разбиения, которым она принадлежит. Сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе этого треугольника. Тогда квадрат BCKH разделится на два прямоугольника. Докажем, что прямоугольник BLMH равновелик квадрату BDEA , а прямоугольник LCKM равновелик квадрату AFGC. Проведём вспомогательные прямые DC и АН. Рассмотрим треугольники DCB и ABH. Треугольник DCB , имеющий основание BD , общее с квадратом BDEA , а высоту С N , равную высоте АВ этого квадрата, равновелик половине квадрата. Треугольник АВН , имеющий основание ВН , общее с прямоугольником BLMH , и высоту АР , равную высоте BL этого прямоугольника, равновелик его половине. Значит, треугольники АВН и ВС D равны. Отсюда следует, что прямоугольник BLMN равновелик квадрату BDEA. Точно также доказывается, что прямоугольник LGKM равновелик квадрату AFGC. Отсюда следует, что квадрат ВСКН равновелик сумме квадратов BDEA и AFGC. Немало формул и теорем в геометрии доказывается с помощью разрезания фигур, а затем перекладывания их частей — вспомним, например, теорему Пифагора. Если две фигуры можно разрезать на одинаковые наборы частей т. Равносоставленные фигуры, разумеется, равновелики — они имеют равные площади. Для многоугольников верна и обратная теорема: Её доказал венгерский математик Фаркаш Больяй, а годом позже, но независимо от него, немец П. Ключ к доказательству — перекройка прямоугольника, показанная на рисунке 1. Если же отношение высот прямоугольников больше двух рис. Теперь любой многоугольник мы сумеем перекроить в прямоугольник какой-то фиксированной высоты h: Если два треугольника равновелики, то соответствующие им прямоугольники к некоторой постоянной высоте h равны. Таким образом, эти многоугольники равносоставлены с одной и той же фигурой, а отсюда уже заключаем, что они равносоставлены между собой. Площади двух треугольников, имеющих по равному углу, относятся, как произведения сторон, заключающих эти углы. Пусть в треугольниках АВС и рис. Проведя высоты и , будем иметь:. Поэтому в равенстве 1. Площади правильных одноимённых многоугольников относятся как квадраты сторон, или как квадраты радиусов апофем. В роковой в своей жизни день Пахом прошёл 40 вёрст, идя по сторонам трапеции площадью 78 квадратных вёрст. Его первоначальным намерением было идти по сторонам прямоугольника, трапеция же получилась случайно, в результате плохого расчёта. В каком случае должен он был получить большую площадь земли? Прямоугольников с обводом в 40 вёрст может быть очень много, и каждый имеет другую площадь. Мы видим, что у всех этих фигур при одном и том же периметре в 40 вёрст площадь больше, чем у нашей трапеции. Однако возможны и такие прямоугольники с периметром в 40 вёрст, площадь которых меньше, чем у трапеции:. Следовательно, на вопрос задачи нельзя дать определённого ответа. Есть прямоугольники с большей площадью, чем трапеция, но есть и с меньшей, при одном и том же обводе. Зато можно дать вполне определённый ответ на вопрос: Сравнивая наши прямоугольники, замечаем, что чем меньше разница в длине сторон, тем площадь прямоугольника больше. Естественно заключить, что когда этой разницы не будет вовсе, т. Легко видеть, что этот квадрат действительно превосходит по площади любой прямоугольник одинакового с ним периметра. Пахому следовало идти по сторонам квадрата, чтобы получить участок наибольшей площади, - на 22 квадратной версты больше, чем он успел охватить. Замечательное свойство квадрата — заключать в своих границах наибольшую площадь по сравнению со всеми другими прямоугольниками того же периметра. Обозначим периметр прямоугольной фигуры через Р. Если взять квадрат с таким периметром, то каждая сторона его должна равняться. Докажем, что укорачивая одну его сторону на какую-нибудь величину b при таком же удлинении смежной стороны, мы получим прямоугольник одинакового с ним периметра, но меньшей площади. Другими словами, докажем, что площадь квадрата больше площади прямоугольника:. Так как правая сторона этого неравенства равна , то всё выражение принимает вид: Но последнее неравенство очевидно: Следовательно, справедливо и первоначальное равенство, которое привело нас к этому. Отсюда следует и то, что из всех прямоугольных фигур с одинаковыми площадями квадрат имеет наименьший периметр. В этом можно убедиться следующим рассуждением. Допустим, что это не верно и что существует такой прямоугольник А , который при равной с квадратом В площади имеет периметр меньший, чем у него. Тогда, начертив квадрат С того же периметра, как у прямоугольника А , получим квадрат имеющий большую площадь, чем у А , и, следовательно, большую, чем у квадрата В. В итоге получили, что квадрат С имеет периметр меньший, чем квадрат В , а площадь большую, чем он. Значит нельзя было допустить существование прямоугольника А , который при одинаковой площади имеет периметр меньший, чем у квадрата. Другими словами, из всех прямоугольников с одинаковой площадью наименьший периметр имеет квадрат. Знакомство с этими свойствами квадрата помогло Пахому правильно рассчитать свои силы и получить прямоугольный участок наибольшей площади. Зная, что он может пройти в день без напряжения, например, 36 вёрст, он пошёл бы по границе квадрата со стороной 9 вёрст и к вечеру был бы обладателем участка в 81 квадратную версту, - на 3 квадратные версты больше, чем он получил со смертельным напряжением сил. И, наоборот, если бы он наперёд ограничился какой-нибудь определённой площадью прямоугольного участка, например, в 36 квадратных вёрст, то мог бы достичь результата с наименьшей затратой сил, идя по границе квадрата, сторона которого - 6 вёрст. Но, может быть, Пахому ещё выгоднее было бы выкроить себе участок вовсе не прямоугольной формы, а какой-нибудь другой — четырёхугольной, треугольной, пятиугольной и т. Во-первых, из всех четырёхугольников с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет квадрат. Поэтому, желая иметь четырёхугольный участок, Пахом никакими ухищрениями не мог бы овладеть более чем квадратными вёрстами считал, что максимальный дневной пробег его — 40 вёрст. Во-вторых, квадрат имеет большую площадь, чем всякий треугольник равного периметра. Равносторонний треугольник такого же периметра имеет сторону вёрстам, а площадь по формуле , где S - площадь, а — сторона кв. Дальше будет доказано, что из всех треугольников с равными периметрами равносторонний обладает наибольшей площадью. Значит, если этот наибольший треугольник имеет площадь, меньшую площади квадрата, то все прочие треугольники того же периметра по площади меньше, чем квадрат. Но если будем сравнивать площадь квадрата с площадью пятиугольника, шестиугольника и т. Легко убедиться в этом на примере правильного шестиугольника. При периметре в 40 вёрст его сторона , площадь по формуле равна. Избери Пахом для своего участка форму правильного шестиугольника, он при том же напряжении сил овладел бы площадью на , т. Мы уже заметили раньше, что из всех треугольников с равными периметрами равносторонний обладает наибольшей площадью. Площадь S треугольника со сторонами а, b , с и периметром выражается так:. Площадь S треугольника будет наибольшей тогда же, когда станет наибольшей величиной и её квадрат , или выражение , где р , полупериметр, есть, согласно условию, величина неизменная. Но так как обе части равенства получают наибольшее значение одновременно, то вопрос сводится к тому, при каком условии произведение становится наибольшим. Заметив, что сумма этих трёх множителей есть величина постоянная,. Итак, треугольник имеет при данном периметре наибольшую площадь тогда, когда стороны его равны между собой. В углубленном изучении математики выделяются два этапа, отвечающие возрастным возможностям и потребностям и потребностям школьников и соответственно различающимся по целям. Первый этап углубленного изучения математики является в значительной мере ориентационным. На этом этапе ученику надо помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им, с тем, чтобы по окончании IX класса он смог сделать сознательный выбор в пользу дальнейшего углубленного выбор в пользу дальнейшего углубленного либо обычного изучения математики. Интерес и склонность учащегося к математике должны всемерно подкрепляться и развиваться. В случае же потери интереса, изменения его в другом направлении ученику должна быть обеспечена возможность перейти от углубленного изучения к обычному. Углубленное изучение на втором этапе предполагает наличие у учащихся более или менее устойчивого интереса к математике и намерение выбрать после окончания школы связанную с ней профессию. Обучение на этом этапе должно подготовить подготовку к поступлению в вуз и продолжению образования, а также к профессиональной деятельности, требующей достаточно высокой математической культуры. При углубленном изучении математики учащиеся должны приобрести умения решать задачи более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности, точно и грамотно формулировать изученные теоретические положения и излагать доказательства теорем, правильно пользоваться математической терминологией и символикой. Следует иметь в виду, что требования к знаниям и умениям учащихся при углубленном изучении математики не должны быть завышены. Чрезмерность требований порождает перегрузку, что ведёт, особенно на первом этапе, к угасанию интереса к математике. Поэтому требования к результатам углубленного изучения математики на первом этапе ненамного превышает требования общеобразовательной программы. Требования на втором этапе в соответствии с его целями согласуются со средним уровнем требований, предъявляемых вузами к математической подготовке абитуриентов. Заметим, что минимальный обязательный уровень подготовки, достижение которого учащимися является необходимым и достаточным условием выставления ему положительной оценки, при углубленном и обычном изучении математики один и тот же. Однако тем учащимся классов с углубленным изучением математики, успехи которых в течении длительного времени не поднимаются выше минимального обязательного уровня. Успешность решения задач углубленного изучения математики во многом зависит от организации учебного процесса. Учителю предоставляется возможность свободного выбора методических путей и организационных форм обучения, проявления творческой инициативы. Однако при этом следует иметь в виду ряд общих положений, изложенных ниже. Это особенно важно на первом этапе, когда интерес учащихся ещё недостаточно устойчив. Значительное место должно быть уделено решению задач, отвечающих требованиям для поступающих в вузы, где математика является профилирующим предметом. Если фигура разбивается на две части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей её частей. Если вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной основанию, то площадь при этом не изменится. Если два треугольника имеют одинаковые высоты, то отношение их площадей равно отношению длин оснований сторон, на которые опущены эти высоты. Если два треугольника имеют общий угол, то их площади относятся как произведение сторон, заключающих этот угол. Средняя линия треугольника площади отсекает от него треугольник площади. Дано - трапеция, и - диагонали. Пересекающиеся диагонали разбивают трапецию на 4 треугольника с вершиной в точке О. Обозначим , , , ,. Выразите площадь трапеции через и , т. Так как , то надо выразить и через и. Что можно сказать про площади и? Площадь треугольника, прилегающего к боковой стороне трапеции есть среднее геометрическое между площадями треугольников, прилегающих к основаниям трапеции. Как вывести соотношение , используя свойства площадей? Как можно ещё вывести соотношения? Таким соотношением связана площадь трапеции с площадями треугольников, прилегающих к её основаниям. Основания у треугольников и одинаковые рис. А какое соотношение между можно вывести для четырёхугольника рис. С другой стороны, рис. Через некоторую точку, взятую внутри треугольника проведены 3 прямые, соответственно параллельные сторонам треугольника. Эти прямые разделяют треугольник на 6 частей, из которых три треугольника с площадями. Мысленно вернитесь ко всем задачам, которые были рассмотрены на уроке. Попытайтесь вспомнить из всех свойств площадей, какие свойства мы применяли на уроке. Какие следствия из формулы мы применяли? Из множества формул для нахождения площади простых фигур какие бы вы использовали? Диагонали делят трапецию на 4 треугольника. Площади двух из них равны 1 см 2 и 2 см 2. Какой может быть площадь трапеции? Точки - середины сторон выпуклых четырёхугольников и. Докажите, что задача автора. В параллелограмме точки и делят диагональ на три равные части. Точки и - середины сторон и. Найдите отношение площади четырёхугольника к площади параллелограмма задача автора. На одной стороне угла с вершиной отложены равные отрезки , и. На другой стороне — равные отрезки , и. Докажите, что и равновелики. Вспомните известные ранее единицы измерения площади 1 мм 2 , 1 см 2 , 1 дм 2 , 1 м 2 , 1 км 2 , 1 ар, 1 га , равносильность этих единиц:. Опрос по домашнему заданию, которое заключалось в следующем: Геометрия возникла ещё в глубокой древности в связи с практическими потребностями человека. Измерения расстояний, изготовление орудий труда определённых размеров, нахождение площади земельного участка, вместимость сосудов и т. Слово геометрия — греческого происхождения гео — земля, метрио — меряю и означает землемерие. Для вычисления площади произвольного четырёхугольника древние египтяне четыре тысячи лет назад использовали формулу. Эта формула верна только для прямоугольника. Практический характер имела и древнеиндийская геометрия, развитие которой связано как с повседневными жизненными потребностями, так и с религиозными обрядами, с культом жертвоприношения. Эта приближённая формула верна только для вычисления площадей вписанных четырёхугольников. В древней Руси уже в XVI в. В этой рукописи все геометрические сведения сводятся к вычислению площадей квадрата, прямоугольника, треугольника и равнобочной трапеции. Практическая необходимость измерения площадей возникает в быту и на производстве и в настоящее время. Так, например, площадь зеркала водохранилища нужно знать проектировщикам, чтобы определить, как будет испаряться вода из заполненного водохранилища. Площадь поверхности стен помещения нужно знать строителям до того, чтобы рассчитать необходимое для их покрытия количество краски, обоев и кафеля. Площадь поверхности дороги нужно знать при расчёте необходимого для её покрытия количества асфальта. Будем рассматривать площадь многоугольника. Можно сказать, что площадь многоугольника — это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник. За единицу измерения площадей принимают квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков. Площадь многоугольника — это положительное число, которое показывает, сколько раз единица измерения и её части укладываются в данном многоугольнике. Нецелые квадраты со стороной 1 см можно разбить на квадраты с ещё меньшей длиной стороны. Любой многоугольник можно разбить на квадраты и треугольники. Но такой способ измерения площадей неудобен. Существуют формулы для вычисления площадей, которые учитывают следующие свойства площадей. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. Длина стороны квадрата выражается целым числом ед. Разобьём сторону квадрата на равных частей. Получим квадратиков со стороной 1 ед 2. Площадь квадрата равна ед. Примем -ю долю линейной единицы за новую единицу длины. Тогда площадь квадратика равна , а всего квадрат разбит на малых квадратиков. Дина стороны квадрата выражается иррациональным числом или бесконечной десятичной непереодической дробью, - бесконечная десятичная дробь. Будем неограниченно увеличивать число. Тогда число становится сколь угодно малым числом, значит число сколь угодно мало отличается от числа. Следовательно, число сколь угодно мало отличается от числа ;. Железная проволока, сечение которой 1 мм 2 , разрывается под действием груза в 40 кг. Какой нагрузкой разорвётся железный стержень, поперечное сечение которого — квадрат со стороной 24 мм. Стороны двух участков земли квадратной формы соответственно равны м и 50 м. Определите сторону квадратного участка земли, равновеликого двум участкам. Определите площадь квадрата по его диагонали. Площадь квадрата выражается формулой , где - длина стороны квадрата. Понятие площади является основополагающим не только в математике, но и в окружающем нас мире. Научить выполнять приближённое вычисление площадей; познакомить с вычислением площади с помощью палетки по алгоритму; повторить единицы длины и единицы измерения площади; развивать мышление, внимание и память. Сегодня на уроке вы научитесь выполнять приближённое вычисление площади и познакомитесь с приспособлением для этого. Другими словами, какова её площадь? Площадь фигуры больше 6 клеток, но меньше Внутри фигуры расположены 6 целых клеток, а остальные 10 клеток входят в неё частично: Поэтому всего в фигуре содержится примерно…. Всё это мы смогли вычислить благодаря тому, что фигура разбита на клетки. Что делать, если таких клеток нет? Правильно, но на это уйдёт много времени. Чтобы ускорить работу, люди придумали приспособление для определения площади фигур. Учитель раздаёт детям прозрачные палетки, расчерченные на квадратные сантиметры и карточки с фигурами. Откройте учебники на странице 49 и прочитайте, как оно называется. Палетка — прозрачная плёнка, разделённая на одинаковые квадраты: В учебнике на странице 49 на цветные фигуры также наложена палетка, разделённая на квадратные сантиметры. Прочитайте, как находили площадь фигуры голубого цвета. Площадь зелёной фигуры приблизительно равна квадратных сантиметров. Возьмите в руки карточки с изображёнными на них фигурами. С помощью палетки найдите их площадь. Сосчитать число целых клеток внутри фигуры. Сосчитать число клеток, входящих в фигуру частично. Нарисуйте на листе бумаги какую-нибудь замкнутую линию и найдите площадь фигуры, ограниченной этой линией. Найдите задание на странице Задание выполняем по вариантам: Ученики выполняют задание по вариантам: Затем уберём фигуру , так как останутся фигуры с попарно равными сторонами. Уберём фигуру , так как в ней углы не прямые. Перед учениками модели двух равных прямоугольных треугольников. Как найти площадь каждого из них? Ученики догадываются, что нужно площадь прямоугольника разделить пополам. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: Зачем нужно уметь находить площади фигур, в частности, площадь прямоугольного треугольника? В строительстве, швейном деле и т. С помощью пластилина на досках из различных деталей ребята составляют свою мозаику работа в группах. Для этого найдите площади треугольников, из которых состоит мозаика. Бурлацкого Благодарненского района Ставропольского края. Работа предусматривала несколько этапов. На первом этапе проводился констатирующий эксперимент, направленный на выяснение уровня сформированности методов научного познания у учащихся восьмых классов. На следующем этапе была проведена сери экспериментальных занятий, направленных на формирование у учащихся основ методов научного познания. Заключительный этап исследования проводился теми же методами, что и первый. Затем следовало подведение итогов опытно-экспериментальной работы. Рассмотрим подробнее каждый из этапов. В экспериментальном классе участвовало 20 человек, а в контрольном — 18 человек, таким образом, участвовало 38 человек. В рамках данного этапа были использованы следующие методы:. На данном этапе эксперимента нами были апробированы задания. Цель их состояла в выявлении уровня общей сформированности методов решения геометрических задач. На этом этапе принимало участие два восьмых класса, каждому из которых были предложены задания, содержащие приёмы: Дан равнобедренный треугольник с основанием. Где надо отметить точку , чтобы? В треугольнике см, см. Каков периметр треугольника, если у него все углы равны? Проведите два отрезка так, чтобы получилось четыре пары равных треугольников. Известно, что в параллелограмме рис. С помощью одной линейки постройте прямой угол. Как видно из таблиц на данном этапе работы нет существенных отличий экспериментального класса и контрольного. По полученным данным можно судить, что сформированность методов решения геометрических задач находится на уровне ближе к среднему. Остальные задания не вызвали особых затруднений. На данном этапе мы изучали тему теоретически и подбирали задания для работы с учащимися для получения результатов исследования. С этой целью были проанализированы более 15 источников научной литературы по проблеме исследования, отобраны, систематизированы и дополнены задания, упражнения, игры, которые бы помогли освоить методы решения геометрических задач учащимися средней школы. Также на данном этапе эти задания проходили частичную апробацию для отбора наиболее эффективных. Эксперимент длился с января по март года. В течение этого времени экспериментальный класс в ходе учебно-воспитательного процесса получал дополнительные задания на уроках математики на овладение методами решения геометрических задач. Цель этого этапа заключалась в проверке эффективности подобранной системы заданий в реальной практике. Второй срез был проведён в начале формирующего этапа эксперимента. Участникам были предложены задания, которые были видоизменены и дополнены по сравнению с 1 срезом. В некотором четырёхугольнике диагонали равны, а он не прямоугольник, диагонали взаимно перпендикулярны, а он не ромб. Что это за фигура? На взаимно перпендикулярных прямых и отметьте по две точки так, чтобы полученные четыре точки стали вершинами квадрата. В некотором четырёхугольнике известен один из углов. Какого вида может быть этот четырёхугольник, чтобы было возможно вычислить все остальные углы этого четырёхугольника? По данным таблиц 3 и 4 можно сделать вывод, что результаты проведённого II тестирования незначительно отличаются от I. Дети достаточно владеют методами решения геометрических задач, с охотой принимаются за выполнение заданий. Нужно отметить, что предложенные задания не вызвали затруднений у учащихся обоих классов, т. Третий срез был проведён в конце формирующего этапа эксперимента. Целью этого среза было выявление уровня эффективности проводимой опытно-экспериментальной работы по развитию логического мышления школьников на основе овладения ими методов решения геометрических задач. Предложенные задания для 3 среза были повышенной трудности по сравнению с 1 и 2 срезами. Какую часть площадь заштрихованной фигуры. После анализа детских работ нами были получены следующие показатели, которые внесены в таблицу 5. Из таблицы видно, что в экспериментальном классе значительно больше учащихся полностью верно выполняют предложенные задания, нет учащихся, которые бы вообще не приступили к выполнению. Результаты каждого класса позволяют сделать вывод, что уровень сформированности методов решения геометрических задач увеличился в рамках собственного класса. Таким образом, в данной главе мы исследовали на теоретическом и практическом уровнях возможности применения различных заданий на приёмы умственных действий. Нами были разработаны системы заданий на приёмы мыслительных действий. В главе освещён вопрос о таких методах как анализ и синтез. Эти методы нами рассмотрены вместе, так как в чистом виде анализ и синтез практически не встречаются. В частности, выясним, что ведущим звеном всякой мыслительной деятельности является анализ через синтез. Это основной нерв процесса мышления. Способность к аналитико-синтетической деятельности находит своё выражение не только в умении выделять элементы того или иного объекта, его различные признаки или соединять элементы в единое целое, но и умении включать их в новые связи, увидеть их новые функции. Также нами рассмотрен мыслительный приём обобщения, отмечена зависимость обобщения от анализа. Выделены особенности эмпирического и содержательного обобщения. В частности отметим, что результатом эмпирического обобщения являются житейские понятия в науке. А провести содержательное обобщение — значит, открыть некоторую закономерность, взаимосвязь особенных и единичных явлений с общей основой целого. Так как приём обобщения является достаточно сложным для детей школьного возраста, нами предложены дидактические задачи, используемы при обобщении знаний учащихся. Они способствуют лучшему усвоению материала и облегчают информационную нагрузку на мозг при обобщении. Также в данной главе мы рассмотрели приём абстрагирования, который заключается в отвлечении от несущественных признаков и выведение на первый план существенных. Полученные в результате опытно-экспериментальной работы данные позволили нам судить об эффективности применения мыслительных операций: Несмотря на то, что сроки проведения психолого-педагогического эксперимента были ограничены, а исследуемая проблема требует более длительного изучения, как в теоретическом, так и в практическом отношении, мы смогли , мы смогли получить необходимые данные, подтверждающие гипотезу о том, что если в процессе изучения раздела геометрии обращать внимание на освоение методов решения геометрических задач, то это повысит эффективность обучения математике и будет способствовать развитию логического мышления учащихся. Результаты исследования по теме квалификационной работы, и проведённый эксперимент позволяют сделать следующие выводы:. В классах с углубленным изучением математики учащиеся познакомились с новыми для них формулами площадей многоугольников и выводами некоторых из них. Основная сложность изучения материалам состоит в том, что не существует единого универсального метода в нахождении площади n -угольника. Особое внимание в работе уделено выводам формул площадей многоугольников, не рассматриваемых в школьном курсе математики. Разработана система упражнений, способствующая сознательному усвоению учащимися предлагаемого материала по теме квалификационной работы. Бурлацкого Благодарненского района Ставропольского края на занятиях в классах. Материал вполне доступен учащимся и вызывает у них должный интерес, лучше развивает их логическое мышление. Учебник для общеобразовательных учреждений. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Для студентов педагогических институтов. Гос-ное изд-во технико-теоретической литературы. Энциклопедический словарь юного математика для старшего и среднего школьного возраста. Все материалы в разделе "Математика". Полностью верно Частично верно Не верно Не приступили к выполнению задания чел. Полностью верно Частично верно Не верно Не приступили к выполнению задания Экс. Площади многоугольников в школьном курсе математики. Свойства многоугольников и их применение в решении задач. Современность и архитектура площади. Особенности формирования понятия площади у младших школьников. Норма жилой площади, ее правовое значение и порядок применения.
Лабазник лечебные свойства корень
Схема эмулятора второго лямбда зонда
Отправить перевод в германию
Найдите площадь многоугольника изображенного на рисунке 177 ( ВСЕ УГЛЫ ПРЯМЫЕ)
Сонник толкование снов шуба норковая
Раскраски день победы
Принимаем роды играть на русском
как найти площадь и периметр многоугольника если все углы прямые???
Тгпгк томск расписание
Где скачать игры сталкер
Площадь многоугольника
Цифровой мультиметр инструкцияпо пользованию
Рисуем гуашью книги
Lenovo ideapad 100 как установить windows 7
Найдите площадь многоугольника изображенного на рисунке 74( Все углы на этом рисунке прямые)
Правильное заполнение приходного кассового ордера образец