Метод Гаусса
2.3 Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Назван в честь немецкого математика Карла Фридриха Гаусса. Это метод последовательного исключения переменных , когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних по номеру , находятся все переменные системы [1]. Хотя в настоящее время данный метод повсеместно называется методом Гаусса, он был известен и до К. Её можно записать в матричном виде:. Тогда, согласно свойству элементарных преобразований над строками, основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов:. Все остальные называются свободными. Если свободным переменным системы 2 придавать все возможные значения и решать новую систему относительно главных неизвестных снизу вверх то есть от нижнего уравнения к верхнему , то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой 1 , то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы 1 и 2 эквивалентны, то есть множества их решений совпадают. Если количество переменных в системе превосходит число уравнений, то такая система является либо неопределённой, либо несовместной. Напомним, что рангом совместной системы называется ранг её основной матрицы либо расширенной, так как они равны. Блок схема представлена на рисунке. Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса подразделяется на два этапа. В простейшем случае алгоритм выглядит так: В результате мы привели исходную систему к треугольному виду , тем самым закончим первый этап алгоритма. В случае, если число уравнений в совместной системе получилось меньше числа неизвестных, то тогда ответ будет записываться в виде фундаментальной системы решений. Помимо аналитического решения СЛАУ , метод Гаусса также применяется для:. Метод Гаусса для плохо обусловленных матриц коэффициентов является вычислительно неустойчивым. Например, для матриц Гильберта метод приводит к очень большим ошибкам даже при небольшой размерности этих матриц. Уменьшить вычислительную ошибку можно с помощью метода Гаусса с выделением главного элемента, который является условно устойчивым [5]. Широкое применение метода Гаусса связано с тем, что плохо обусловленные матрицы встречаются на практике относительно редко. Таким образом, для больших СЛАУ метод Гаусса не оптимален по скорости. Материал из Википедии — свободной энциклопедии. У этого термина существуют и другие значения, см. Методы решения СЛАУ Карл Фридрих Гаусс. Статьи с источниками из Викиданных Страницы, использующие волшебные ссылки ISBN. Навигация Персональные инструменты Вы не представились системе Обсуждение Вклад Создать учётную запись Войти. Пространства имён Статья Обсуждение. Просмотры Читать Править Править вики-текст История. Эта страница последний раз была отредактирована 16 мая в Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike ; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия. Свяжитесь с нами Политика конфиденциальности Описание Википедии Отказ от ответственности Разработчики Соглашение о cookie Мобильная версия. Если в совместной системе все переменные главные, то такая система является определённой. Теорема Кронекера — Капелли. Система совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. Количество главных переменных равно рангу системы и не зависит от её решения. Если ранг совместной системы равен числу переменных данной системы, то она определена. Теорема о приведении матриц к ступенчатому виду. Любую матрицу путём элементарных преобразований только над строками можно привести к ступенчатому виду.
Напомним, две системы называются эквивалентными равносильными , если множества их решений совпадают. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой и наоборот. Эквивалентные системы получаются при элементарных преобразованиях уравнений системы:. Процесс решения этой системы по методу Гаусса состоит из двух этапов. Для этого умножим обе части первого уравнения на и сложим почленно со вторым уравнением системы. Затем умножим обе части первого уравнения на и сложим с третьим уравнением системы. Здесь — новые значения коэффициентов и свободных членов, которые получаются после первого шага. Продолжим этот процесс, пока это возможно, в результате получим ступенчатую систему. Если в процессе приведения системы к ступенчатому виду появятся уравнения , т. Если же при появится уравнение вида , которое не имеет решений, то это свидетельствует о несовместности системы. Затем выражение переменной из последнего уравнения системы подставляется в предпоследнее уравнение и из него выражается переменная. Аналогичным образом последовательно определяются переменные. Переменные , выраженные через свободные переменные, называются базисными зависимыми. В результате получается общее решение системы линейных уравнений. Чтобы найти частное решение системы, свободным неизвестным в общем решении придаются произвольные значения и вычисляются значения переменных. Технически удобнее подвергать элементарным преобразованиям не сами уравнения системы, а расширенную матрицу системы. Метод Гаусса - универсальный метод, который позволяет решать не только квадратные, но и прямоугольные системы, в которых число неизвестных не равно числу уравнений. Достоинство этого метода состоит также в том, что в процессе решения мы одновременно исследуем систему на совместность, так как, приведя расширенную матрицу к ступенчатому виду, легко определить ранги матрицы и расширенной матрицы и применить теорему Кронекера - Капелли. Число уравнений и число неизвестных. Составим расширенную матрицу системы, приписав справа от матрицы коэффициентов столбец свободных членов. Это преобразование запишем числом -1 против первой строки и обозначим стрелкой, идущей от первой строки ко второй строке. Для этого умножили вторую строку на -4 и прибавили к третьей. В полученной матрице вторую строку умножим на -1 , а третью - разделим на Все элементы этой матрицы, лежащие ниже диагональных элементов - нули. Так как , система является совместной и определенной. Из последнего третьего уравнения. Подставим во второе уравнение и получим. Подставим и в первое уравнение, найдём. Запишем расширенную матрицу системы, предварительно для удобства вычислений поменяв местами вторую и первую строку. Приведем ее к ступенчатому виду. Так как , то система является несовместной, то есть не имеет решений. FAQ Обратная связь Вопросы и предложения. Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Магнитогорский государственный технический университет им. Эквивалентные системы получаются при элементарных преобразованиях уравнений системы: Пусть дана система уравнений Процесс решения этой системы по методу Гаусса состоит из двух этапов. Продолжим этот процесс, пока это возможно, в результате получим ступенчатую систему , где , ,…, — главные элементы системы. Соответствующая последней матрице система уравнений имеет треугольный вид: Исследовать систему на совместность и в случае совместности найти решение: Применим к данной системе метод Гаусса. Иначе говоря, система содержит противоречивое уравнение вида: Соседние файлы в папке Теория ЛА первый семестр
Ну что делать надо
Где в новосибирске заказать печати штампы
Как пройти 100 дверей приключения
Где нет белка в каких продуктах
Варианты завязывать шарф