Формула площади круга через диаметр или радиус
Площадь круга
Расчет площади круга
Современные математики могут получить площадь круга с помощью методов интегрирования или вещественного анализа. Однако площадь круга изучалась ещё в Древней Греции. Евдокс Книдский в пятом столетии до нашей эры обнаружил, что площади кругов пропорциональны квадратам их радиусов. До Архимеда Гиппократ Хиосский первый показал, что площадь круга пропорциональна квадрату его диаметра в его попытках квадрирования гиппократовых луночек [2] Однако он не установил константу пропорциональности. Площадь правильного многоугольника равна половине периметра, умноженного на апофему высоту. При увеличении числа сторон многоугольник стремится к окружности, а апофема стремится к радиусу. Это даёт основание считать, что площадь круга равна половине длины окружности на радиус. Следуя Архимеду, сравним площадь круга с площадью прямоугольного треугольника, основание которого равно длине окружности, а высота равна радиусу. Если площадь круга не равна площади треугольника, она должна быть меньше или больше. Исключим оба варианта, что оставит только одну возможность — площади равны. Для доказательства будем использовать правильные многоугольники. Пусть E означает превышение площади. Впишем [en] квадрат в окружность, чтобы все его четыре угла лежали на окружности. Между квадратом и окружностью четыре сегмента. Если общая их площадь G 4 больше E , делим каждую дугу пополам, что превращает вписанный квадрат в восьмиугольник и образует восемь сегментов с меньшим общим зазором, G 8. Продолжаем деление, пока общий зазор G n не станет меньше E. Но это ведёт к противоречию. Для доказательства проведём высоту из центра окружности на середину стороны многоугольника, её длина h меньше радиуса окружности. Пусть каждая сторона многоугольника имеет длину s , сумма всех сторон составит ns , и эта величина меньше длины окружности. Предположим, что площадь круга меньше площади треугольника. Пусть D означает разницу площадей. Описываем квадрат вокруг окружности, так что середины сторон лежат на ней. Если суммарный зазор между квадратом и окружностью G 4 больше D , срезаем углы касательными, превращая квадрат в восьмиугольник и продолжаем такие отсечения пока площадь зазора не станет меньше D. Площадь многоугольника P n должна быть меньше T. Это тоже приводит к противоречию. Каждый перпендикуляр, проведённый от центра круга к середине стороны, является радиусом, то есть имеет длину r. А поскольку сумма сторон больше длины окружности, многоугольник из n одинаковых треугольников даст площадь, большую T. Следуя Сато Мошуну [4] и Леонардо да Винчи [5] , мы можем использовать вписанные правильные многоугольники другим способом. Положим, мы вписали шестиугольник. Разрежем шестиугольник на шесть треугольников, делая сечения через центр. Два противоположных треугольника содержат общие диаметры. Сдвинем теперь треугольники, чтобы радиальные стороны стали смежными. Теперь пара треугольников образует параллелограмм , в котором стороны шестиугольника образуют две противоположные стороны длиной s. Две радиальные стороны становятся боковыми сторонами, а высота параллелограмма равна h как в доказательстве Архимеда. Фактически, мы можем собрать все треугольники в один большой параллелограмм, располагая в ряд полученные параллелограммы из двух треугольников. То же самое будет верно, если мы будем увеличивать число сторон. Для многоугольника с 2 n сторонами параллелограмм будет иметь основание ns и высоту h. С ростом числа сторон длина основания параллелограмма увеличивается, стремясь к половине окружности, а высота стремится к радиусу. Используя интегралы, мы можем просуммировать площадь круга, разделив его на концентрические окружности подобно луковице. В результате получим элементарный интеграл для круга радиуса r. Можно разбивать круг не на кольца, а на треугольники с бесконечно малым основанием. Суммируя интегрируя все площади этих треугольников, получим формулу круга:. Вычисления, проведённые Архимедом, были трудоёмкими и он остановился на многоугольнике с 96 сторонами. Более быстрый метод использует идеи Снелла , позднее развитые Гюйгенсом [6]. Если задан круг, пусть u n будет периметром вписанного правильного n- угольника, а U n — периметром описанного правильного n- угольника. Чтобы вычислить u n и U n для больших n , Архимед вывел следующие формулы:. Начав с шестиугольника, Архимед удваивал n четыре раза, дойдя до угольника, который дал ему хорошую аппроксимацию длины окружности круга. В современных обозначениях можно воспроизвести эти вычисления и пойти дальше. Удваиваем семь раз, получаем. Снелл предложил а Гюйгенс доказал более тесные границы, чем у Архимеда:. Пусть одна сторона вписанного правильного n- угольника имеет длину s n и пусть точки A и B — её концы. По теореме Фалеса этот треугольник является прямоугольным угол B прямой. Получаем, что все три соответствующие стороны находятся в одной и той же пропорции. Для единичного круга получаем знаменитую формулу удвоения Людольфа Ван Цейлена. Обозначим описанную сторону S n , тогда отношение превращается в S n: Этот метод Монте-Карло использует факт, что при случайных бросаниях точки равномерно по площади квадрата, в котором расположен круг, число попаданий в круг приближается к отношению площади круга на площадь квадрата. Следует принимать этот метод как последнюю возможность вычисления площади круга или фигуры любой формы , поскольку для получения приемлемой точности требует огромного числа испытаний. Как мы видели, разбив диск на бесконечное число кусков мы можем из них затем собрать прямоугольник. Интересный факт был открыт относительно недавно Лацковичем [9] , что мы можем разбить круг на большое, однако конечное число кусков, а затем перегруппировать их в квадрат той же площади. Мы можем растянуть круг до формы эллипса. Поскольку это растяжение является линейным преобразованием плокости, оно изменяет площадь, но сохраняет отношения площадей. Этот факт можно использовать для вычисления площади произвольного эллипса, отталкиваясь от площади круга. Пусть единичный эллипс описан квадратом со стороной 2. Преобразование переводит круг в эллипс путём сжатия или растяжения горизонтального и вертикального диаметров до малой и большой оси эллипса. Квадрат становится прямоугольником, описанным вокруг эллипса. Если a и b — длины малой и большой осей эллипса. Мы можем распространить аналогичные техники и на большие размерности. Этот метод является модификацией доказательства, использующего окружности. Материал из Википедии — свободной энциклопедии. Single variable calculus early transcendentals.. Лекции по геометрии для начинающих , страница Страницы, использующие волшебные ссылки ISBN. Навигация Персональные инструменты Вы не представились системе Обсуждение Вклад Создать учётную запись Войти. Пространства имён Статья Обсуждение. Просмотры Читать Править Править вики-текст История. Эта страница последний раз была отредактирована 5 июня в Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike ; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия. Свяжитесь с нами Политика конфиденциальности Описание Википедии Отказ от ответственности Разработчики Соглашение о cookie Мобильная версия.
Xbox 360 s console model 1439 характеристики
The verve bittersweet перевод
Сколько нужно балловдля поступленияв политех
Как сделать закваску из сычуга
Особо опасные инфекции брюшной тиф презентация
Идеальное тесто для вареников