Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений методом Крамера
Примеры решения систем методом Крамера
Метод Крамера
Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, то есть составленный из коэффициентов при неизвестных,. Составим ещё три определителя следующим образом: Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A 11 элемента a 11 , 2-ое уравнение — на A 21 и 3-е — на A Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца. Аналогично можно показать, что и. Наконец несложно заметить, что. Таким образом, получаем равенство: Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, то есть несовместна. Решите систему уравнений при различных значениях параметра p: Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы. Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x 1. Для этого второе уравнение разделим на а 21 и умножим на — а 11 , а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а 31 и умножим на — а 11 , а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:. Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x 2. Для этого третье уравнение разделим на , умножим на и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:. Отсюда из последнего уравнения легко найти x 3 , затем из 2-го уравнения x 2 и, наконец, из 1-го — x 1. Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы:. Вернувшись к системе уравнений, несложно заметить, что третье уравнения системы будет ложным, а значит, система решений не имеет. Разделим вторую строку матрицы на 2 и поменяем местами первый и третий столбики. Тогда первый столбец будет соответствовать коэффициентам при неизвестной z , а третий — при x. Вернемся к системе уравнений. FAQ Обратная связь Вопросы и предложения. Nikit Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? ПРАВИЛО КРАМЕРА Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными: Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, то есть составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы. Далее рассмотрим коэффициенты при x 2: Наконец несложно заметить, что Таким образом, получаем равенство: МЕТОД ГАУССА Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными: В результате исходная система примет вид: Тогда будем иметь систему уравнений: При использовании метода Гаусса уравнения при необходимости можно менять местами. Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы: К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования: Решить системы уравнений методом Гаусса. Вернувшись к системе уравнений, будем иметь Выпишем расширенную матрицу системы и сведем ее к треугольному виду. Из третьего уравнения выразим одну неизвестную через другую и подставим в первое. Таким образом, система имеет бесконечное множество решений. Соседние файлы в папке Лекции
Высшая математика — просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: Наш форум и библиотека: Не нашлось нужной задачи? Задайте вопрос на форуме! Высшая математика для чайников, или с чего начать? Векторы для чайников Скалярное произведение векторов Линейная не зависимость векторов. Базис векторов Переход к новому базису Векторное и смешанное произведение векторов Формулы деления отрезка в данном отношении Прямая на плоскости Простейшие задачи с прямой на плоскости Линейные неравенства Как научиться решать задачи по аналитической геометрии? Эллипс Гипербола и парабола Задачи с линиями 2-го порядка Как привести уравнение л. Полярные координаты Как построить линию в полярной системе координат? Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида. Множества и действия над ними Основы математической логики Формулы и законы логики Уравнения высшей математики Комплексные числа Выражения, уравнения и с-мы с комплексными числами Действия с матрицами Как вычислить определитель? Свойства определителя и понижение его порядка Как найти обратную матрицу? Матричные выражения Матричные уравнения Как решить систему линейных уравнений? Матричный метод решения системы Метод Гаусса для чайников Несовместные системы и системы с общим решением Как найти ранг матрицы? Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы. Примеры решений Замечательные пределы Методы решения пределов Бесконечно малые функции. Эквивалентности Правила Лопиталя Сложные пределы Пределы последовательностей Пределы по Коши. Примеры решений Логарифмическая производная Производные неявной, параметрической функций Простейшие задачи с производной Производные высших порядков Что такое производная? Производная по определению Как найти уравнение нормали? Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных. Графики и свойства элементарных функций Как построить график функции с помощью преобразований? Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи. Область определения функции двух переменных. Линии уровня Основные поверхности Предел функции 2 переменных Повторные пределы Непрерывность функции 2п Частные производные Частные производные функции трёх переменных Производные сложных функций нескольких переменных Как проверить, удовлетворяет ли функция уравнению? Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов. Примеры решений Метод замены переменной в неопределенном интеграле Интегрирование по частям Интегралы от тригонометрических функций Интегрирование дробей Интегралы от дробно-рациональных функций Интегрирование иррациональных функций Сложные интегралы Определенный интеграл Как вычислить площадь с помощью определенного интеграла? Теория для чайников Объем тела вращения Несобственные интегралы Эффективные методы решения определенных и несобственных интегралов S в полярных координатах S и V, если линия задана в параметрическом виде Длина дуги кривой S поверхности вращения Приближенные вычисления определенных интегралов Метод прямоугольников. Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты. Ряды для чайников Как найти сумму ряда? Признаки Коши Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница Ряды повышенной сложности. Степенные ряды Разложение функций в степенные ряды Сумма степенного ряда Равномерная сходимость Другие функциональные ряды Приближенные вычисления с помощью рядов Вычисление интеграла разложением функции в ряд Как найти частное решение ДУ приближённо с помощью ряда? Вычисление пределов Ряды Фурье. Двойные интегралы Как вычислить двойной интеграл? Примеры решений Двойные интегралы в полярных координатах Как найти центр тяжести плоской фигуры? Тройные интегралы Как вычислить произвольный тройной интеграл? Криволинейные интегралы Интеграл по замкнутому контуру Формула Грина. Работа силы Поверхностные интегралы. Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса. Примеры решений типовых задач комплексного анализа Как найти функцию комплексной переменной? Решение ДУ методом операционного исчисления Как решить систему ДУ операционным методом? Основы теории вероятностей Задачи по комбинаторике Задачи на классическое определение вероятности Геометрическая вероятность Задачи на теоремы сложения и умножения вероятностей Зависимые события Формула полной вероятности и формулы Байеса Независимые испытания и формула Бернулли Локальная и интегральная теоремы Лапласа Статистическая вероятность Случайные величины. Математическое ожидание Дисперсия дискретной случайной величины Функция распределения Геометрическое распределение Биномиальное распределение Распределение Пуассона Гипергеометрическое распределение вероятностей Непрерывная случайная величина, функции F x и f x Как вычислить математическое ожидание и дисперсию НСВ? Равномерное распределение Показательное распределение Нормальное распределение. Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом. Заказать контрольную Часто задаваемые вопросы Гостевая книга. Авторские работы на заказ. По высшей математике и физике. Представляю Вашему вниманию вторую часть урока Как решить систему линейных уравнений? В первой части мы рассмотрели немного теоретического материала, метод подстановки, а также метод почленного сложения уравнений системы. Всем, кто зашел на сайт через эту страницу рекомендую ознакомиться с первой частью. Возможно, некоторым посетителям покажется материал слишком простым, но по ходу решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом. А сейчас мы разберём правило Крамера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы матричный метод. Все материалы изложены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут научиться решать системы вышеуказанными способами. Настоятельно рекомендую скачать программу для автоматизированного решения систем по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы. Всегда приятно знать правильный ответ заранее, более того, программа позволит сразу обнаружить ошибку по ходу решения задачи, что значительно сэкономит время! Если с определителями плохо, пожалуйста, изучите урок Как вычислить определитель? Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание — решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая — системы трех уравнений с тремя неизвестными. Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера! Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна не имеет решений. В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса. Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя: На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой. Корни уравнения находим по формулам: Решить систему линейных уравнений. Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая — довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи. Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби. Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо и даже обыденно для задач эконометрики. Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера. Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях. Пример 8 Решить систему по формулам Крамера. Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Находим главный определитель системы: Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя: И, наконец, ответ рассчитывается по формулам: Пример 9 Решить систему по формулам Крамера. Решим систему по формулам Крамера. Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний. Если под рукой нет компьютера, поступаем так:. Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке столбцу. Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8. Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой еще до начала решения , Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например: Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором — переменная. Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке столбцу , в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше. Пример 10 Решить систему по формулам Крамера. Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя — пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика. Метод обратной матрицы — это, по существу, частный случай матричного уравнения см. Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений. Решить систему с матричным методом. Запишем систему в матричной форме: Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Решение системы найдем по формуле её подробный вывод можно посмотреть в статье Матричные уравнения. Алгоритм нахождения обратной матрицы подробно разобран на уроке Как найти обратную матрицу? Обратную матрицу найдем по формуле: Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных методом Гаусса. Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров. Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра — это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра — это номер столбца, в котором находится данный элемент: В ходе решения расчет миноров лучше расписать подробно, хотя, при определенном опыте их можно приноровиться считать с ошибками устно. Порядок расчета миноров совершенно не важен, здесь я их вычислил слева направо по строкам. Можно было рассчитать миноры по столбцам это даже удобнее. Повторюсь, выполненные шаги мы подробно разбирали на уроке Как найти обратную матрицу? Теперь записываем обратную матрицу: Деление нужно было бы выполнить, если бы все числа матрицы делились на 60 без остатка. А вот внести минус в матрицу в данном случае очень даже нужно, это, наоборот — упростит дальнейшие вычисления. Осталось провести матричное умножение. Умножать матрицы можно научиться на уроке Действия с матрицами. Кстати, там разобран точно такой же пример. Обратите внимание, что деление на 60 выполняется в последнюю очередь. Решить систему с помощью обратной матрицы. Наиболее универсальным способом решения системы является метод исключения неизвестных метод Гаусса. Доступно объяснить алгоритм не так-то просто, но я старался!. Вы можете посмотреть или скачать образец решения данного примера ссылка ниже. Как можно отблагодарить автора? Качественные работы без плагиата — Zaochnik. Копирование материалов сайта запрещено. Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида Элементы высшей алгебры: Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы Пределы: Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных Функции и графики: Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи ФНП: Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов Интегралы: Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты Числовые ряды: Признак Лейбница Ряды повышенной сложности Функциональные ряды: Примеры решений Кратные интегралы: Работа силы Поверхностные интегралы Элементы векторного анализа: Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса Комплексный анализ: Подготовка к ЕГЭ По высшей математике и физике Помогут разобраться в теме, подготовиться к экзамену.
Человекв истории человечества
Паспорт нового образца
Характеристика фамусовского общества сочинение
Викторина рассказы о животных
Из китайских модулей своими руками