Вычисление определителя матрицы, примеры, решения.
Вычисление определителей
Вычисление определителей 2-го и 3-го порядков. Миноры, алгебраические дополнения.
Пользуясь этой статьёй об определителях, вы обязательно научитесь решать задачи вроде следующей:. Определители играют важную роль в решении систем линейных уравнений. В общем-то определители и были придуманы для этой цели. Поэтому понять логику записи определителей легко по следующей схеме. Возьмём знакомую вам со школьной скамьи систему из двух уравнений с двумя неизвестными:. В определителе последовательно записываются коэффициенты при неизвестных: Один из примеров, когда надо решить систему уравннений - вычисление величины факторов, влияющих на Ваше настроение. Здесь система линейных уравнений решается для получения коэффициентов линейной множественной регрессии, которые и являются измерением влияния. Но мы уже забежали вперёд, а пока нам надо научиться решать определители. Часто говорят также "определитель матрицы", поэтому сначала объясним, что такое матрица. Матрица - это прямоугольная таблица, составленная из чисел, которые нельзя менять местами. Квадратная матрица - таблица, у которой число строк и число столбцов одинаково. Определитель может быть только у квадратной матрицы. Итак, пусть дана квадратная таблица, состоящая из чисел, расположенных в n строках горизонтальных рядах и в n столбцах вертикальных рядах. С помощью этих чисел по некоторым правилам, которые мы изучим ниже, находят число, которое и называют определителем n -го порядка и обозначают следующим образом:. Порядок определителя — это число его строк и столбцов. Воображаемая прямая, соединяющая элементы определителя, у которых оба индекса одинаковы, то есть элементы. По теме "Определители" на сайте есть также отдельный урок по вычислению минора и алгебраического дополнения. Покажем, как вычисляются определители первых трёх порядков. Определитель первого порядка — это сам элемент то есть. Равенство 2 показывает, что со своим знаком берётся произведение элементов главной диагонали, а с противоположным — произведение элементов побочной диагонали. Запомнить эту формулу трудно. Однако существует простое правило, называемое правилом треугольников, которое позволяет легко воспроизвести выражение 3. Обозначая элементы определителя точками, соединим отрезками прямой те из них, которые дают произведения элементов определителя рис. Формула 3 показывает, что со своими знаками берутся произведения элементов главной диагонали, а также элементов, расположенных в вершинах двух треугольников, основания которых ей параллельны; с противоположными — произведения элементов побочной диагонали, а также элементов, расположенных в вершинах двух треугольников, которые ей параллельны. При вычислении определителей очень важно, как и в средней школе, помнить, что число со знаком минус, умноженное на число со знаком минус, в результате даёт число со знаком плюс, а число со знаком плюс, умноженное на число со знаком минус, в результате даёт число со знаком минус. Проверить решение можно с помощью калькулятора определителей онлайн. Для вычисления определителя n -го порядка необходимо знать и использовать следующую теорему. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения, то есть. Определитель этой матрицы называется минором исходного определителя. Получили минор второго порядка. Если взять элемент и вычеркнуть в определителе строку и столбец, на пересечении которых он стоит, то получим минор, называемый минором элемента , который обозначим через:. Для примера вычислим алгебраические дополнения элементов и определителя третьего порядка: По формуле 4 получим. Вычисление миноров и алгебраических дополнений может быть также самостоятельной задачей, поэтому данной теме посвящён отдельный урок на этом сайте. При разложении определителя часто используется следующее свойство определителя n -го порядка: Предварительно вычтем из первой и третьей строк элементы четвёртой строки, тогда будем иметь. В четвёртом столбце полученного определителя три элемента — нули. Поэтому выгоднее разложить этот определитель по элементам четвёртого столбца, так как три первых произведения будут нулями. А в следующем примере показано, как вычисление определителя любого в данном случае - четвёртого порядка можно свести к вычислению определителя второго порядка. Вычтем из третьей строки элементы первой строки, а к элементам четвёртой строки прибавим элементы первой строки, тогда будем иметь. В первом столбце все элементы, кроме первого, - нули. То есть, определитель можно уже разложить по первому столбцу. Но нам очень не хочется вычислять определитель третьего порядка. Поэтому произведём ещё преобразования: В результате определитель, являющийся алгебраическим дополнением, сам может быть разложен по первому столбцу и нам останется только вычислить определитель второго порядка и не запутаться в знаках:. Определитель, где все элементы, лежащие по одну сторону одной из диагоналей, равны нулю, называется треугольным. Случай побочной диагонали путём изменения порядка строк или столбцов на обратный сводится к случаю главной диагонали. Такой определитель равен произведению элементов главной диагонали. Для приведения к треугольному виду используется то же самое свойство определителя n -го порядка, которое мы применяли в предыдущем параграфе: Вычтем из второй, третьей и четвёртой строк элементы первой строки. Получим определитель треугольного вида:. В двух предыдущих параграфах мы уже использовали одно из свойств определителя n -го порядка. В некоторых случаях для упрощения вычисления определителя можно пользоваться другими важнейшими свойствами определителя. Например, можно привести определитель к сумме двух определителей, из которых один или оба могут быть удобно разложены по какой-либо строке или столбцу. Случаев такого упрощения предостаточно и решать вопрос об использовании того или иного свойства определителя следует индивидуально. При замене строк столбцами транспонировании значение определителя не изменится, то есть. Если хотя бы один ряд строка или столбец состоит из нулей, то определитель равен нулю. Если в определителе поменять местами два соседних параллельных ряда строки или столбцы , то определитель поменяет знак на противоположный, то есть. Если в определителе имеются два одинаковых параллельных ряда, то определитель равен нулю:. Если в определителе два параллельных ряда пропорциональны, то определитель равен нулю:. Если все элементы определителя, стоящие в одном ряду, умножить на одно и то же число, то значение определителя изменится в это число раз:. Общий множитель, содержащийся во всех элементах одного ряда, можно вынести за знак определителя, например:. Если в определителе все элементы одного ряда представлены в виде суммы двух слагаемых, то он равен сумме двух определителей:. Если к элементам какого-либо ряда прибавить произведение соответствующих элементов параллельного ряда на постоянный множитель, то значение определителя не изменится. Если к элементам i -го ряда прибавить линейную комбинацию соответствующих элементов нескольких параллельных рядов, то значение определителя не изменится. Вычисляем определитель второго порядка, который находится в левой части уравнения. Элементы главной диагонали перемножаются, из этого произведения вычитается произведение элементов побочной диагонали:. Вычисляем определитель третьего порядка, который образует правую часть уравнения. Делаем это по "правилу треугольников":. В дальнейшем в курсе высшей математики с определителем выпадет встретится при изучении следующих тем: А для усвоения практического смысла составления матриц и определителей упомянём один из многочисленных примеров. Если три магазина одной сети продают три различных вида товаров, то отчёт о продажах за год можно представить в виде таблицы из трёх строк и трёх столбцов, содержащей некоторые числа. Первый индекс каждого числа - это номер магазина, а второй - номер вида товара. Впрочем, этот и другие примеры станут вам более понятны при решении систем линейных уравнений. Вычислить определители второго порядка: По формуле 2 находим: Вычислить определитель третьего порядка: Пользуясь правилом треугольников, получим. Пройти тест по теме Определители. Пример 3 здесь разложение проведено по элементам первой строки. В результате определитель, являющийся алгебраическим дополнением, сам может быть разложен по первому столбцу и нам останется только вычислить определитель второго порядка и не запутаться в знаках: Получим определитель треугольного вида: Этот определитель равен произведению элементов главной диагонали: Нет времени вникать в решение? Элементы главной диагонали перемножаются, из этого произведения вычитается произведение элементов побочной диагонали: Делаем это по "правилу треугольников": Приравниваем обе части, получаем уравнение и решаем его: Вычисление минора и алгебраического дополнения. Определители Понятие определителя n -го порядка Вычисление определителей второго и третьего порядков Вычисление определителей n -го порядка: Разложение определителя по строке или столбцу Приведение определителя к треугольному виду Свойства определителей n -го порядка Понятие определителя n -го порядка Пользуясь этой статьёй об определителях, вы обязательно научитесь решать задачи вроде следующей: Возьмём знакомую вам со школьной скамьи систему из двух уравнений с двумя неизвестными: Например, если дана система уравнений , то из коэффициентов при неизвестных формируется следующий определитель: С помощью этих чисел по некоторым правилам, которые мы изучим ниже, находят число, которое и называют определителем n -го порядка и обозначают следующим образом: Воображаемая прямая, соединяющая элементы определителя, у которых оба индекса одинаковы, то есть элементы называется главной диагональю , другая диагональ — побочной. Вычисление определителей второго и третьего порядков Покажем, как вычисляются определители первых трёх порядков. Определитель второго порядка есть число, получаемое следующим образом: Определитель третьего порядка — это число, получаемое так: Пользуясь правилом треугольников, получим Проверить решение можно с помощью калькулятора определителей онлайн. К началу страницы Пройти тест по теме Определители Вычисление определителей n -го порядка Разложение определителя по строке или столбцу Для вычисления определителя n -го порядка необходимо знать и использовать следующую теорему. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения, то есть Определение. Из строк и столбцов с чётными номерами построим матрицу: Определитель называется минором определителя. Если взять элемент и вычеркнуть в определителе строку и столбец, на пересечении которых он стоит, то получим минор, называемый минором элемента , который обозначим через: Поэтому Проверить решение можно с помощью калькулятора определителей онлайн. Приведение определителя к треугольному виду Определитель, где все элементы, лежащие по одну сторону одной из диагоналей, равны нулю, называется треугольным. К началу страницы Пройти тест по теме Определители Свойства определителя n -го порядка В двух предыдущих параграфах мы уже использовали одно из свойств определителя n -го порядка. При замене строк столбцами транспонировании значение определителя не изменится, то есть Свойство 2. В самом деле, тогда в каждом члене определителя один из множителей будет нуль. Если в определителе имеются два одинаковых параллельных ряда, то определитель равен нулю: Если в определителе два параллельных ряда пропорциональны, то определитель равен нулю: Если все элементы определителя, стоящие в одном ряду, умножить на одно и то же число, то значение определителя изменится в это число раз: Общий множитель, содержащийся во всех элементах одного ряда, можно вынести за знак определителя, например: Если в определителе все элементы одного ряда представлены в виде суммы двух слагаемых, то он равен сумме двух определителей: Справедливость этого равенства вытекает из свойства 8. И на десерт - решение задачи, с которой начинается эта статья.
Доказательство проводится проверкой, то есть сравнением обеих частей записанного равенства. Вычислим определители, стоящие слева и справа:. Доказательство проводится аналогично доказательству свойства 1 сравнением обеих частей. Проведём его для определителя второго порядка. Докажем это равенство, используя предыдущие свойства определителя. Эти свойства определителей довольно часто используются при вычислении определителей и в различных задачах. Минором , соответствующим данному элементу a ij определителя третьего порядка, называется определитель второго порядка, полученный из данного вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент, то есть i -ой строки и j -го столбца. Миноры соответствующие данному элементу a ij будем обозначать M ij. Например , минором M 12 , соответствующим элементу a 12 , будет определитель , который получается вычёркиванием из данного определителя 1-ой строки и 2-го столбца. Аналогично можно ввести определения миноров для определителей второго порядка и высших порядков. Легко видеть, что используя алгебраические дополнения элементов, формулу 1 можно записать в виде:. Аналогично этой формуле можно получить разложение определителя по элементам любой строки или столбца. Например, разложение определителя по элементам 2-ой строки можно получить следующим образом. Согласно свойству 2 определителя имеем:. Отсюда так как определители второго порядка в формуле 2 есть миноры элементов a 21 , a 22 , a Таким образом, , то есть мы получили разложение определителя по элементам 2-ой строки. Аналогично можно получить разложение определителя по элементам третьей строки. Используя свойство 1 определителей о транспонировании , можно показать, что аналогичные разложения справедливы и при разложении по элементам столбцов. Теорема о разложении определителя по заданной строке или столбцу. Определитель равен сумме произведений элементов какой—либо его строки или столбца на их алгебраические дополнения. Если A — квадратная матрица, то обратной для неё матрицей называется матрица, обозначаемая A -1 и удовлетворяющая условию. Это определение вводится по аналогии с умножением чисел. Для того чтобы квадратная матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля. Прежде всего заметим, что можно доказать следующее свойство определителей. Но с другой стороны. Заметим, что все диагональные элементы матрицы C будут равны 1. Кроме того, все недиагональные элементы матрицы C равны нулю. Если условия теоремы выполнены, то матрица обратная к матрице находится следующим образом. Аналогично для матриц второго порядка, обратной будет следующая матрица. Решение задач по ТОЭ, ОТЦ, Высшей математике, Физике, Программированию Вычислим определители, стоящие слева и справа: При перестановке 2-х строк или столбцов определитель изменит знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину, т. Для определителя третьего порядка проверьте самостоятельно. Если определитель имеет две одинаковые строки или столбца, то он равен нулю. Общий множитель строки или столбца можно выносить за знак определителя. Доказательство проводится проверкой, как и свойство 1. Самостоятельно Если все элементы какой—либо строки или столбца определителя равны нулю, то сам определитель равен нулю. Если все элементы какой—либо строки или столбца определителя представлены в виде суммы 2-х слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы 2-х определителей по формуле, например,. Доказательство - проверкой, аналогично свойству 1. Если к какой—либо строке или столбцу определителя прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца , умноженные на одно и тоже число, то определитель не изменит своей величины.
Определители и системы линейных алгебраических уравнений
Дело мастера боится значение
Иметь характеристики уровня ниже
Лекарства тенотен инструкция
Социально экономические проблемы семей в россии
Массажный бизнес с чего начать
Cs го играть