Произведение событий
Понятия суммы и произведения событий
Сумма и произведение событий.
В предыдущей главе мы познакомились со способами непосредственного определения вероятностей, а именно: Однако не эти непосредственные способы являются основными в теории вероятностей: Даже когда событие сводится к схеме случаев, зачастую эта схема бывает слишком сложна, и непосредственный подсчет вероятности по формуле 2. Что касается событий, не сводящихся к схеме случаев, то и их вероятности лишь в редких случаях определяются непосредственно по частотам. На практике обычно требуется определять вероятности событий, непосредственное экспериментальное воспроизведение которых затруднено. Например, если требуется определить вероятность поражения самолета в воздушном бою, ясно, что определение этой вероятности по частоте практически невозможно. И не только потому, что такие опыты оказались бы непомерно сложными и дорогостоящими, а еще и потому, что часто нам требуется оценить вероятность того или иного исхода боя не для существующих образцов техники, а для перспективных, проектируемых. Обычно такая оценка и производится для того, чтобы выявить наиболее рациональные конструктивные параметры элементов перспективной техники. Поэтому, как правило, для определения вероятностей событий применяются не непосредственные прямые методы, а косвенные, позволяющие по известным вероятностям одних событий определять вероятности других событий, с ними связанных. Вся теория вероятностей, в основном, и представляет собой систему таких косвенных методов, пользование которыми позволяет свести необходимый эксперимент к минимуму. Применяя эти косвенные методы, мы всегда в той или иной форме пользуемся основными теоремами теории вероятностей. Строго говоря, оба эти положения являются теоремами и могут быть доказаны только для событий, сводящихся к схеме случаев. Для событий, не сводящихся к схеме случаев, они принимаются аксиоматически, как принципы или постулаты. Перед тем, как формулировать и доказывать основные теоремы, введем некоторые вспомогательные понятия, а именно понятия о сумме событий и произведении событий. Во многих областях точных наук применяются символические операции над различными объектами, которые получают свои названия по аналогии с арифметическими действиями, рядом свойств которых они обладают. Таковы, например, операции сложения и умножения векторов в механике, операции сложения и умножения матриц в алгебре и т. Эти операции, подчиненные известным правилам, позволяют не только упростить форму записей, но в ряде случаев существенно облегчают логическое построение научных выводов. Введение таких символических операций над событиями оказывается плодотворным и в теории вероятностей. Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Например, если опыт состоит в пяти выстрелах по мишени и даны события: Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Например, если по мишени производится три выстрела, и рассматриваются события — промах при первом выстреле, — промах при втором выстреле, - промах при третьем выстреле, то событие состоит в том, что в мишень не будет ни одного попадания. При определении вероятностей часто приходится представлять сложные события в виде комбинаций более простых событий, применяя и операцию сложения, и операцию умножения событий. Например, пусть по мишени производится три выстрела, и рассматриваются следующие элементарные события: Рассмотрим более сложное событие , состоящее в том, что в результате данных трех выстрелов будет ровно одно попадание в мишень. Событие можно представить в виде следующей комбинации элементарных событий: Событие , состоящее в том, что в мишень будет не менее двух попаданий, может быть представлено в виде: Такие приемы представления сложных событий часто применяются в теории вероятностей. Непосредственно из определения суммы и произведения событий следует, что Если событие есть частный случай события , то При пользовании понятиями суммы и произведения событий часто оказывается полезной наглядная геометрическая интерпретация этих понятий. Сумма и произведение событий В предыдущей главе мы познакомились со способами непосредственного определения вероятностей, а именно:
Сумма всех вероятностей событий выборочного пространства равняется 1. Прежде чем перейти к основным теоремам, введем еще два более сложных понятия — сумма и произведение событий. Эти понятия отличны от привычных понятий суммы и произведения в арифметике. Сложение и умножение в теории вероятностей — символические операции, подчиненные определенным правилам и облегчающие логическое построение научных выводов. Суммой нескольких событий является событие, заключающееся в появлении хотя бы одного из них. То есть, суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении или события А, или события В, или событий А и В вместе. Например, если пассажир ждет на остановке трамваев какой-либо из двух маршрутов, то нужное ему событие заключается в появлении трамвая первого маршрута событие А , или трамвая второго маршрута событие В , или в совместном появлении трамваев первого и второго маршрутов событие С. На языке теории вероятностей это значит, что нужное пассажиру событие D заключается в появлении или события А, или события В, или события С, что символически запишется в виде:. Произведением двух событий А и В является событие, заключающееся в совместном появлении событий А и В. Произведением нескольких событий называется совместное появление всех этих событий. В приведенном примере с пассажиром событие С совместное появление трамваев двух маршрутов представляет собой произведение двух событий А и В , что символически записывается следующим образом:. Допустим, что два врача порознь осматривают пациента с целью выявления конкретного заболевания. В процессе осмотров возможно появление следующих событий:. Рассмотрим событие, которое заключается в том, что заболевание будет обнаружено в процессе осмотров ровно один раз. Это событие может реализоваться двумя способами:. Обозначим рассматриваемое событие через и запишем символически:. Рассмотрим событие, которое заключается в том, что заболевание будет обнаружено в процессе осмотров дважды и первым, и вторым врачом. Обозначим это событие через и запишем: Событие, заключающееся в том, что ни первый, ни второй врач заболевания не обнаружит, обозначим через и запишем: Вероятность суммы двух несовместных событий равняется сумме вероятностей этих событий. У больного наблюдается желудочное кровотечение. Этот симптом регистрируется при язвенной эрозии сосуда событие А , разрыве варикозно-расширенных вен пищевода событие В , раке желудка событие С , полипе желудка событие D , геморрагическом диатезе событие F , механической желтухе событие Е и конечном гастрите событие G. Врач, основываясь на анализе статистических данных, присваивает каждому событию значение вероятности: Для назначения обследования врач хочет определить вероятность того, что желудочное кровотечение связано с заболеванием желудка событие I: Вероятность того, что желудочное кровотечение связано с заболеванием желудка, достаточно высока, и врач может определить тактику обследования, исходя из предположения о заболевании желудка, обоснованном на количественном уровне с помощью теории вероятностей. Если рассматриваются совместные события, вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности совместного их наступления. Если же эти события совместны, то есть некоторая вероятность, соответствующая совместному наступлению событий А и В. Если не ввести поправку на вычитаемое Р АВ , то есть на вероятность совместного наступления событий, то эта вероятность будет учтена дважды, так как площадь, заштрихованная и горизонтальными, и вертикальными линиями, является составной частью обеих мишеней и будет учитываться как в первом, так и во втором слагаемом. В верхней части рисунка помещены непересекающиеся мишени, являющиеся аналогом несовместных событий, в нижней части — пересекающиеся мишени, являющиеся аналогом совместных событий одним выстрелом можно попасть сразу и в мишень А, и в мишень В. Прежде чем перейти к теореме умножения, необходимо рассмотреть понятия независимых и зависимых событий и условной и безусловной вероятностей. Независимым от события В называется такое событие А, вероятность появления которого не зависит от появления или непоявления события В. Зависимым от события В называется такое событие А, вероятность появления которого зависит от появления или непоявления события В. В урне находятся 3 шара, 2 белых и 1 черный. При выборе шара наугад вероятность выбрать белый шар событие А равна: Мы имеем дело со схемой случаев, и вероятности событий рассчитываются строго по формуле. При повторении опыта вероятности появления событий А и В остаются неизменными, если после каждого выбора шар возвращается в урну. В этом случае события А и В являются независимыми. Если же выбранный в первом опыте шар в урну не возвращается, то вероятность события А во втором опыте зависит от появления или непоявления события В в первом опыте. Так, если в первом опыте появилось событие В выбран черный шар , то второй опыт проводится при наличии в урне 2 белых шаров и вероятность появления события А во втором опыте равна: Если же в первом опыте не появилось событие В выбран белый шар , то второй опыт проводится при наличии в урне одного белого и одного черного шаров и вероятность появления события А во втором опыте равна: Очевидно, в этом случае события А и В тесно связаны и вероятности их появления являются зависимыми. Условной вероятностью события А называется вероятность его появления при условии, что появилось событие В. Если вероятность появления события А не зависит от появления события В , то условная вероятность события А равна безусловной вероятности:. Если вероятность появления события А зависит от появления события В, то условная вероятность никогда не может быть равна безусловной вероятности:. Выявление зависимости различных событий между собой имеет большое значение в решении практических задач. Так, например, ошибочное предположение о независимости появления некоторых симптомов при диагностике пороков сердца по вероятностной методике, разработанной в Институте сердечно-сосудистой хирургии им. FAQ Обратная связь Вопросы и предложения. Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Понятия суммы и произведения событий Сумма всех вероятностей событий выборочного пространства равняется 1. На языке теории вероятностей это значит, что нужное пассажиру событие D заключается в появлении или события А, или события В, или события С, что символически запишется в виде: В приведенном примере с пассажиром событие С совместное появление трамваев двух маршрутов представляет собой произведение двух событий А и В , что символически записывается следующим образом: В процессе осмотров возможно появление следующих событий: Это событие может реализоваться двумя способами: Обозначим рассматриваемое событие через и запишем символически: Основные теоремы теории вероятности Вероятность суммы двух несовместных событий равняется сумме вероятностей этих событий. Запишем теорему сложения символически: Символически это записывается следующей формулой: Если вероятность появления события А не зависит от появления события В , то условная вероятность события А равна безусловной вероятности: Если вероятность появления события А зависит от появления события В, то условная вероятность никогда не может быть равна безусловной вероятности:
Музыкальные центры онкио
Инвестиционные портфели сбербанка
Управленческие расходы отсутствуют
One direction перевод
Где депутат царев