= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
Файл: >>>>>> Скачать ТУТ!
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
Правила отыскания первообразных
Первообразная функции и общий вид
Первообразная функции и общий вид
Функция называется первообразной для функции на промежутке X, если для любого из X выполняется равенство Примеры. Пусть Тогда первообразная имеет вид , так как 2. Пусть Тогда первообразная имеет вид так как Для функции в примере 1 мы нашли первообразную Это не единственное решение задачи. Так, в качестве первообразной можно было взять и функцию и функцию и вообще любую функцию вида. Так же обстоит дело в примере 2, где в качестве первообразной можно было взять любую функцию вида Справедлива следующая теорема: Если первообразная для функции на промежутке то у функции бесконечно много первообразных, все эти первообразные имеют вид где С — произвольная постоянная основное свойств о первообразной. Найта общин вид первообразных для функции где Решение. Одной из первообразных будет функция так как Значит, общий вид первообразных: Учитывая, что отыскание первообразной есть операция, обратная дифференцированию, и отталкимлсь от таблицы производных, см. Пусть нужно найти первообразную функции Иногда это можно сделать с помощью таблицы первообразных из п. Но чаще, прежде чем воспользоваться таблицей, приходится применять правила вычисления первообразных. Если первообразная для первообразная для то первообразная для Иными словами, первообразная суммы равна сумме первообразных. Если первообразная для и k — постоянная, то первообразная для Иными словами, постоянный множитель можно вынести за знак первообразной. Если первообразная для и k, b — постоянные, причем то первообразная для Пример 1. Найти общий вид первообразных для функции Решение. Для функции первообразной будет Тогда по правилу 3 для функции первообразной будет Итак, а общий вид первообразных для заданной функции: Воспользуемся тем, что см. Пусть функция непрерывна на отрезке Разобьем отрезок на частей точками для однородности обозначений положим Введем обозначения: На практике удобнее делить отрезок на равных частей. Рассмотрим последовательность интегральных сумм. В математике установлено, что для непрерывной на отрезке функции эта последовательность сходится см. Ее предел называют интегралом функции от а до b и обозначают читается: Итак, Числа а и b называют соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, знак знаком интеграла, функцию подынтегральной функцией. Составим интегральную сумму для функции на отрезке [0; 1]. Для этого разобьем отрезок на равных частей точками Имеем Интегральная сумма имеет вид: В числителе содержится сумма первых членов арифметической прогрессии, у которой первый член равен 1, а равен. Тогда сумма вычисляется по формуле см. В итоге получаем Далее имеем. Связь между интегралом и первообразной формула Ньютона—Лейбница. Если первообразная для на отрезке , то формула Ньютона—Лейбница. На практике в формуле 1 удобно вместо писать. Для функции первообразной является. Для функции и первообразной является Значит, Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла Пример 1. Представим подынтегральную функцию в виде суммы функций, первообразные от которых можно найти по таблице см. Использование интеграла для вычисления площадей плоских фигур. Рассмотрим плоскую фигуру Ф, представляющую собой множество точек координатной плоскости лежащее в полосе между прямыми имеющее в своем составе точки с абсциссами и ограниченное сверху и снизу графиками непрерывных на функций таких, что для всех из справедливо неравенство Примеры таких фигур представлены на рисунках — В частности, фигура, изображенная на рисунке , а, ограничена сверху графиком функции , а снизу — прямой. Такая фигура называется криволинейной трапецией. Площадь S фигуры Ф вычисляется по формуле В частности, для криволинейной трапеции, изображенной на рисунке , а, получаем: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями. Фигура, площадь которой надо иайти, изображена на рисунке Воспользовавшись формулой 2 , получим: Фигура, площадь которой надо найти, изображена на рисунке По формуле 1 получим: Построив прямую и параболу см. Значит, где , а пределы интегрирования а и суть абсциссы точек пересечения параболы и прямой. Для отыскания этих абсцисс решим уравнение откуда Пример 4. Фигура, площадь которой требуется найти, изображена на рисунке см. Тогда площадь S интересующей нас фигуры равна сумме , где площадь фигуры, заштрихованной на рисунке горизонтальной штриховкой, площадь фигуры, заштрихованной на рисунке вертикальной штриховкой. Разложение натурального числа на простые множители. Наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел. Наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел. Употребление букв в алгебре. Приведение дробей к общему знаменателю. Арифметические действия над обыкновенными дробями. Арифметические действия над десятичными дробями. Обращение обыкновенной дроби в бесконечную десятичную периодическую дробь. Обращение бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь. Комплексные числа ГЛАВА II. Целые рациональные выражения Приведение многочленов к стандартному виду. Дробные рациональные выражения Глава III. Преобразования графиков ГЛАВА IV. Формулы тригонометрии и их использование для преобразования тригонометрических выражений ГЛАВА V. Системы уравнений Глава VI. Доказательство неравенств ГЛАВА VII. Первообразная и интеграл ГЛАВА I. Площади плоских фигур Перпендикулярность прямых и плоскостей Перпендикуляр и наклонная к плоскости. Площади поверхностей тел ГЛАВА IV. Уравнения фигур в пространстве ГЛАВА V. Подобие фигур ГЛАВА VI. Первообразная и интеграл Если первообразная для и k, b — постоянные, причем то первообразная для. Тогда и сумма принимает вид Значение. Интеграл суммы равен сумме интегралов,. Рассмотрим плоскую фигуру Ф, представляющую собой множество точек координатной плоскости лежащее в полосе между прямыми имеющее в своем составе точки с абсциссами и ограниченное сверху и снизу графиками непрерывных на функций. Для отыскания этих абсцисс решим уравнение откуда. Основные законы алгебры ГЕОМЕТРИЯ.
В предыдущих параграфах мы по заданной функции, руководствуясь различными формулами и правилами, находили ее производную. Мы убедились в том, что производная имеет многочисленные применения: Но в реальной жизни приходится решать и обратные задачи: Рассмотрим одну из таких задач. Сразу заметим, что пример решен верно, но неполно. Мы получили, что На самом деле, задача имеет бесконечно много решений: Чтобы задача стала более определенной, нам надо было зафиксировать исходную ситуацию: Теперь закон движения определен однозначно: В математике взаимно обратным операциям присваивают разные названия, придумывают специальные обозначения: Процесс отыскания производной по заданной функции называют дифференцированием, а обратную операцию, то есть процесс отыскания функции по заданной производной — интегрированием. На практике промежуток X обычно не указывают, но подразумевают в качестве естественной области определения функции. Надеемся, вы поняли, как составлена эта таблица: Поэтому правильней было бы во втором столбце таблицы всюду добавить слагаемое С, где С — произвольное действительное число. При отыскании первообразных, как и при отыскании производных, используются не только формулы они указаны в таблице на с. Они непосредственно связаны с соответствующими правилами вычисления производных. Мы знаем, что производная суммы равна сумме производных. Это правило порождает соответствующее правило отыскания первообразных. На самом деле следовало бы сформулировать теорему: Но обычно, формулируя правила а не теоремы , оставляют только ключевые слова — так удобнее для применения правила на практике. Мы знаем, что постоянный множитель можно вынести за знак производной. Как известно, производная произведения не равна произведению производных правило дифференцирования произведения более сложное и производная частного не равна частному от производных. Поэтому нет и правил для отыскания первообразной от произведения или первообразной от частного двух функций. Получим еще одно правило отыскания первообразных. Смысл третьего правила заключается в следующем. Найти первообразные для заданных функций:. Обсудим этот вопрос более детально. Докажем теперь, что указанным видом функций исчерпывается все множество первообразных. Это значит, что для всех х из промежутка X выполняются соотношения: F х и найдем ее производную: Известно, что если производная функции на промежутке X тождественно равна нулю, то функция постоянна на промежутке X см. Подставив найденное значение С в формулу 1 , получим интересующий нас закон движения:. В следующем параграфе мы выясним, в чем состоит скрытый смысл указанного обозначения. Опираясь на имеющуюся в этом параграфе таблицу первообразных, составим таблицу основных неопределенных интегралов:. Опираясь на приведенные выше три правила отыскания первообразных, мы можем сформулировать соответствующие правила интегрирования. Решение , а Воспользовавшись первым и вторым правилами интегрирования, получим:. Теперь воспользуемся 3-й и 4-й формулами интегрирования:. В подобных случаях иногда помогают предварительно выполненные тождественные преобразования выражения, содержащегося под знаком интеграла. Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн , Математика в школе скачать. Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам. Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь - Образовательный форум. При использовании материалов ресурса ссылка на edufuture. Ждем Ваши замечания и предложения на email: По вопросам рекламы и спонсорства пишите на email: Гипермаркет знаний рус Гипермаркет знаний укр Гипермаркет знаний eng. Дополнительно Лучшие статьи Последние статьи Случайная статья Свежие правки. Инструменты Ссылки сюда Связанные правки Спецстраницы Версия для печати Постоянная ссылка. Первообразная и неопределенный интеграл. Разработка - Гипермаркет знаний Ждем Ваши замечания и предложения на email: Первообразная и неопределенный интеграл 1. Первообразная В предыдущих параграфах мы по заданной функции, руководствуясь различными формулами и правилами, находили ее производную. Нетрудно догадаться, что Сразу заметим, что пример решен верно, но неполно. Правила отыскания первообразных При отыскании первообразных, как и при отыскании производных, используются не только формулы они указаны в таблице на с. Первообразная суммы равна сумме первообразных. Но обычно, формулируя правила а не теоремы , оставляют только ключевые слова — так удобнее для применения правила на практике Пример 2. Постоянный множитель можно вынести за знак первообразной. Найти первообразные для заданных функций: Подставив найденное значение С в формулу 1 , получим интересующий нас закон движения: Опираясь на имеющуюся в этом параграфе таблицу первообразных, составим таблицу основных неопределенных интегралов: Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов этих функций: Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла: Решение , а Воспользовавшись первым и вторым правилами интегрирования, получим: Теперь воспользуемся 3-й и 4-й формулами интегрирования: Воспользуемся тригонометрической формулой понижения степени: Мордкович Алгебра 10 класс Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн , Математика в школе скачать Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.
Результаты чемпионата россии 2017
Спутниковая карта тобольска
Тестнакого учиться после 9 класса
Как лечить сосуды носа
Sky cinema магнитогорск расписание фильмов