Тебе нужна помощь по школьным предметам? Большинство вопросов получают ответ в течение 10 минут ; Войди и попробуй добавить свой вопрос. Или помоги другим с ответом! Основание пирамиды - равнобедренный прямоугольный треугольник. Попроси больше объяснений Следить Отметить нарушение от Vina20 вчера. Войти чтобы добавить комментарий. Подробное решение задания приложено. Узнавай больше на Знаниях! У тебя проблема с домашними заданиями? Мы не только ответим, но и объясним. Качество гарантируется нашими экспертами. Что ты хочешь узнать? Математика 5 баллов 27 секунд назад. Пожалуйста, решите срочно уравнение. Математика 5 баллов 3 минуты назад. Даны два шара с радиусами 4 и 1. Во сколько раз объем большего шара больше объема меньшего? Математика 5 баллов 5 минут назад. Математика 8 баллов 9 минут назад. Математика 5 баллов 21 минута назад. Сколько фанеры понадобится для изготовления коробки с крышкой в форме прямой призмы для хранения моркови. Математика 5 баллов 30 минут назад. Помогите решить 10 задание. Математика 5 баллов 31 минута назад. Найти наибольшее значение функции. Математика 5 баллов 43 минуты назад. В ответе указать в градусах наименьший положительный корень. Математика 15 баллов 44 минуты назад. По боковому ребру c и сторонам основания a и b вычислить объем правильной усеченной четырех угольной призмы. Бесплатная помощь с домашними заданиями. О нас Карьера Контакт. Общие вопросы Правила Как получить баллы? Скачай iOS-приложение Скачай iOS-приложение. Скачай для Android Скачай для Android.
Для прямоугольного треугольника с катетами а, в и гипотенузой с, помимо общих формул см. Периметр прямоугольного треугольника равен 24 см, а его площадь равна 24 см2. Найдите площадь описанного около треугольника круга рис. Так как центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, то радиус окружности. На катете АС прямоугольного треугольника ABC как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу АВ в точке К. Найти площадь треугольника СКВ, если длина катета АС равна в и величина угла ABC равна? Пусть ABC — данный в условии задачи треугольник. Так как АС — диаметр окружности, то угол СКА прямой и треугольник СКА прямоугольный. Но тогда площадь треугольника СКВ равна. В треугольник вписана окружность, радиус которой равен? Найти расстояние от вершины С до точки N касания этой окружности с катетом АВ рис. Пусть ABC — прямоугольный треугольник, удовлетворяющий условию задачи. Обозначим через О центр окружности, вписанной в этот треугольник, а через М и N — точки касания этой окружности соответственно с катетами АС и АВ. Поскольку радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то ОМ? Так как угол А прямой, то четырёхугольник AMON — прямоугольник. Это прямоугольный треугольник, у которого? Из прямоугольного треугольника ANC находим, что. В прямоугольном равнобедренном треугольнике гипотенуза равна 12 см. Определите высоту треугольника, опущенную из прямого угла. В прямоугольном треугольнике ABC даны: Найдите длину другого катета АС и площадь треугольника. Площадь равностороннего треугольника, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, вдвое больше площади последнего. Определите углы прямоугольного треугольника. В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки длиной 9 и Найдите радиус вписанной в треугольник окружности. В треугольнике ABC угол ВАС прямой, длины сторон АВ и ВС равны соответственно 1 и 2. Биссектриса угла ABC пересекает сторону АС в точке L, G — точка пересечения медиан треугольника ABC. Что больше, длина BL или длина BG? На плоскости лежит равнобедренный прямоугольный треугольник, у которого катеты имеют длину. Найти площадь четырехугольника, являющегося общей частью этих двух треугольников. Если при этом требуется найти радиус этой окружности, то он совпадает с радиусом окружности, описанной около любого из треугольников: ABC, ABD, ACD, BCD. Высота трапеции равна 2. В равнобокой трапеции ABCD высоты ВК и CL отсекают на основании AD отрезки АК и LD. Так как трапеция равнобокая, то треугольники АВК и CLD равны. Значит, прямоугольные треугольники АВК и CLD равны по гипотенузе и катету. Найдите боковые стороны трапеции рис. Средняя линия трапеции равна 10 и делит площадь трапеции в отношении 3: Найдите длины оснований этой трапеции. Рассмотрим трапеции EBCF и AEFD рис. Так как площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту трапеции, то. Найдите длину описанной около трапеции окружности рис. Так как окружность, описанная около трапеции, совпадает с окружностью, описанной около треугольника ABD, то по теореме синусов имеем:. Найти длину диагонали NQ, если известно, что длина стороны LQ вдвое меньше длины стороны MN и на 2 м больше длины стороны LN рис. Из условия задачи следует, что угол NMQ острый. Пусть QK — высота треугольника MNQ. LQ, следовательно, MN LQ и LN QK, т. Имеем, пользуясь условием задачи: В прямоугольном треугольнике QKM отрезки QK и КМ являются катетами, следовательно,. Из прямоугольного треугольника NLQ, наконец, по теореме Пифагора находим:. В трапеции ABCD отрезки АВ и DC являются основаниями. Диагонали трапеции пересекаются в точке Е. Обозначим через н длину высоты треугольника ABC, опущенной из вершины В на продолжение стороны АС. Так как этот отрезок одновременно является и высотой в треугольнике ВСЕ, то имеем:. В треугольниках ABE и CED равны величины соответствующих углов? Значит, эти треугольники подобны и. Треугольники ABC и ABD имеют общее основание АВ. Поскольку АВ CD, то их высоты, опущенные соответственно из вершин С и D, имеют равную величину. Меньшее основание равнобедренной трапеции равно высоте и равно н. Длины параллельных сторон трапеции равны 25 и 4, а длины боковых сторон равны 20 и Основания трапеции равны а и в, боковые стороны равны с. Найдите длину диагонали трапеции. Определите длину высоты трапеции, если её основания равны 28 и 16 см, а боковые стороны равны 25 и 17 см. Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой высота равна 10, а диагонали взаимно перпендикулярны. В трапецию ABCD с основаниями AD и ВС и с боковыми сторонами АВ и CD вписана окружность с центром О. Площадь параллелограмма со сторонами а, в и углом? Если в параллелограмм можно вписать окружность, то это ромб. Если около параллелограмма можно описать окружность, то это прямоугольник. Найдите градусную меру каждого из углов параллелограмма рис. Но, так как в параллелограмме противоположные углы равны, то? Одна из диагоналей параллелограмма разбивает его на два равносторонних треугольника со стороной а. Найдите длину другой диагонали рис. По теореме косинусов из треугольников ABD и АСВ имеем:. В параллелограмме с периметром 32 см проведены диагонали. Разность между периметрами двух смежных треугольников равна 8 см. Найдите длины сторон параллелограмма. В параллелограмме ABCD длина диагонали BD, перпендикулярной стороне АВ, равна 6. Длина диагонали АС равна 2? Найдите длину стороны AD. На каком расстоянии от точки А находятся точки пересечения этих перпендикуляров с AD? Тупой угол ромба в 5 раз больше его острого угла. Во сколько раз сторона ромба больше радиуса вписанной в него окружности рис. Пусть сторона ромба равна а. В ромбе, как и во всяком параллелограмме, сумма внутренних односторонних углов BAD обозначим этот угол? А и ABC обозначим его? Высота ромба равна 12, а одна из его диагоналей равна Найдите площадь ромба рис. Для нахождения площади ромба нам нужно знать длину стороны ромба и хотя бы один из его углов. Диагональ ромба равна его стороне, ее длина 10 см. Найдите вторую диагональ и углы ромба. В ромб, сторона которого 20 см, вписан круг. Прямоугольник вписан в окружность радиуса 5 см. Одна из сторон равна 8 см. Найдите другие стороны прямоугольника рис. Очевидно, что центр описанной около прямоугольника окружности является точкой пересечения диагоналей прямоугольника. Стороны прямоугольника 5 и 4 см. Биссектрисы углов, прилежащих к большей стороне, делят противолежащую сторону на 3 части. Найдите длины этих частей рис. Проведем в прямоугольнике ABCD биссектрисы AM и DK см. Из всех прямоугольников, вписанных в полукруг, найти прямоугольник наибольшей площади рис. Стороны прямоугольника при этом будут равны. Диагональ прямоугольника делит угол в отношении 2: Найдите отношение сторон прямоугольника. Площадь прямоугольника равна 9? Площадь прямоугольника ABCD равна 48, а длина диагонали равна Найти расстояние от точки О до наиболее удаленной от нее вершины прямоугольника. Радиус окружности, в которую вписали квадрат, равен 6. Найдите площадь квадрата рис. Очевидно, что центр описанной около квадрата окружности есть точка пересечения его диагоналей. Обозначив длину стороны квадрата через а, получим: Сторона квадрата, вписанного в окружность, отсекает сегмент, площадь которого 2? Найдите периметр квадрата рис. В плоскости дан квадрат с последовательно расположенными вершинами А, В, С, D и точка О. Найти длину стороны квадрата и выяснить, где расположена точка О — вне или внутри квадрата рис. Обозначим через К точку пересечения диагоналей квадрата. Отсюда следует, что точка О лежит на луче КС. Применяя к прямоугольному треугольнику KOD теорему Пифагора, получаем: В квадрат вписан круг, а в полученный круг вписан квадрат. Найдите отношение площадей квадратов. Квадрат со стороной 3 см срезан по углам так, что образовался правильный восьмиугольник. На его сторонах вовне построены равносторонние треугольники ABM, BCN, CDK, DAL. Сторона правильного шестиугольника равна 6. Найдите длину вписанной в него окружности рис. В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности. Радиусы вписанной в правильный шестиугольник окружности перпендикулярны его сторонам. В частности на рис. Тогда из прямоугольного треугольника ОРВ имеем:. Величина угла в правильном n-угольнике равна. Сторона правильного шестиугольника равна Найдите сторону равновеликого ему правильного треугольника. В правильный треугольник вписана окружность, а в неё — правильный шестиугольник. Найдите отношение площадей треугольника и шестиугольника. Найти периметр четырёхугольника ABCD. Даны две концентрические окружности. Длина одной из них равна 33? Найдите ширину кольца рис. Зная длины окружностей, найдём их радиусы. Найдите расстояния от точки касания окружностей до их общих касательных рис. Из рисунка видно, что четырёхугольник АВО2О1 — трапеция. В самом деле, радиусы О1А и О2В перпендикулярны общей касательной АВ, а значит, параллельны друг другу. Проведём среднюю линию EF трапеции АВО2О1. По свойству средней линии трапеции находим. При каком радиусе сектора площадь круга равна? D — центр вписанного в сектор круга. Тогда ОС — биссектриса? Из прямоугольного треугольника ODK:. Диаметр окружности радиуса R является основанием правильного треугольника. Вычислите площадь той части треугольника, которая лежит вне данного круга рис. Как видно из рисунка, треугольники ADO и ОЕС — равносторонние например, у? На плоскости даны две окружности с радиусами 12 см и 7 см и центрами в точках О1 и О2 касающиеся некоторой прямой в точках М1 и М2 и лежащие по одну сторону от этой прямой. Отношение длины отрезка М1М2 к длине отрезка О1О2 равно. Пусть S1 и S2 — две окружности, удовлетворяющие условию задачи. Поскольку точки М1 и М2 являются точками касания окружностей S1 и S2 с прямой М1М2, то О1М1? Соединим центры О1 и O2 этих окружностей и проведём через точку О1 прямую, параллельную прямой М1М2. Пусть точка К будет точкой пересечения прямых О2М2 и прямой, проведённой параллельно прямой М1М2 через точку О1. Получим прямоугольный треугольник O1O2K с гипотенузой O1O2. Применяя к прямоугольному треугольнику О1КО2 теорему Пифагора, имеем:. Дуги А1В1 и А2В2 равной длины 1 принадлежат разным окружностям с радиусами R1 и R2. Найдите отношение градусных мер центральных углов, соответствующих этим дугам. Точка лежит вне круга на расстоянии диаметра от центра круга. Найдите угол между касательными, проведенными из данной точки к данному кругу. В пересечение двух равных кругов вписан ромб с диагоналями 12 и 6 см. В равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона равна 10 см, а основание 6 см, вписана окружность. Определите расстояние между точками касания, находящимися на боковых сторонах треугольника. Дано круговое кольцо, площадь которого Q. Определите длину хорды большего круга, касательной к меньшему. Определите площадь меньшего из этих сегментов. Хорды АВ и АС имеют одинаковую длину. Величина образованного ими вписанного в окружность угла равна? Найти отношение площади той части круга, которая заключена в этом угле, к площади всего круга. Если в предыдущем параграфе мы рассматривали задачи, в которых центральное место принадлежит формулам планиметрии и тригонометрии, то теперь перейдем к задачам, где главную роль будут играть не формулы, а теоремы о свойствах и признаках геометрических фигур. Задачи в параграфе разбиты уже не по объекту исследования треугольник, трапеция, круг и т. Если в условии задачи говорится об описанной около треугольника окружности, то в большинстве случаев строить её не нужно. И наоборот, когда речь идёт о вписанной в треугольник окружности. Здесь не только нужно строить саму окружность, но и проводить радиусы к точкам касания перпендикуляры к сторонам , а также соединять центр окружности с вершинами треугольника. При этом образуются равные треугольники. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 и 12 см. Найдите катеты треугольника рис. Впишем в треугольник ABC окружность и соединим её центр О с вершинами В, С. Проведём также перпендикуляры ОК, ON, ОМ см. Они являются радиусами вписанной в треугольник окружности. По теореме Пифагора получаем: В треугольник вписана окружность с радиусом 4. Одна из сторон треугольника разделена точкой касания на отрезки, длины которых 6 и 8. Найдите длины сторон треугольника рис. Как и в предыдущей задаче, изобразим вписанную в треугольник окружность и соединим центр окружности О с вершинами треугольника. Проведем также перпендикуляры ОМ, ОТ, ОК, являющиеся радиусами окружности. Получены три пары равных треугольников: OAK и ОАТ, ОВМ и ОВТ, ОСМ и ОСК. По условию одна из сторон треугольника разделена точкой касания на отрезки, длины которых 6 и 8. Длины отрезков АК и AT обозначим через х. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит боковую сторону на отрезки в 3 и 4 см, считая от основания. Около окружности описана равнобокая трапеция, у которой боковая сторона точкой касания делится на отрезки 4 и 9 см. В прямоугольный треугольник, периметр которого равен 36 см, вписана окружность. Гипотенуза делится точкой касания в отношении 2: Найти длины сторон треугольника. В ряде задач используют свойства параллельных прямых: В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла А, которая пересекает сторону ВС в точке F. Из рисунка видно, что? FAD внутренние накрест лежащие при параллельных прямых , но? FAD по условию, и поэтому? В параллелограмме ABCD сторона АВ равна 6 см, а высота, проведенная к основанию AD, равна 3 см. N — точка пересечения биссектрисы AM и диагонали BD. Вычислить площадь треугольника BNM рис. Пусть АВСD — данный в условии задачи параллелограмм. Проведем через точку N высоту параллелограмма QR. ВС AD и AM — секущая. BDA, как накрест лежащие углы при параллельных ВС и AD, то треугольники BMN и AND подобны по двум углам. Так как в подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны сходственным высотам, то из подобия треугольников AND и BNM имеем:. Биссектриса угла BCD пересекает сторону AD в точке N. Найдите площадь треугольника NCD. Диагональ параллелограмма делит его тупой угол в отношении 1: В параллелограмме ABCD биссектриса тупого угла В пересекает сторону AD в точке F. Теорема Фалеса а также теоремы Чевы и Менелая применяются в первую очередь тогда, когда в задаче даны соотношения между отрезками. Очень часто при этом приходится проводить дополнительный отрезок. Идеи использования теоремы Фалеса хорошо видны на следующих примерах. Докажите, что медианы в треугольнике делятся в отношении 2: Проведем медианы AM и ВК, а также отрезок МТ, параллельный ВК. Отрезки ВК и АМ пересекаются в точке О. По теореме о пропорциональных отрезках имеем:. В треугольнике ABC на стороне АВ взята точка К так, что АК: Пусть Q — точка пересечения прямых AL и СК. Найти площадь треугольника ABC, если дано, что площадь треугольника BQC равна 1 рис. Проведём через точку L прямую LM параллельно прямой СК. Из подобия треугольников MBL и КВС следует, что. Биссектриса треугольника обладает одним замечательным свойством: В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Дан треугольник ABC, в котором? Биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке D. Определите площадь треугольника ABD рис. Определите стороны треугольника, если медиана и высота, проведённые из вершины одного угла, делят этот угол на три равные части, а сама медиана равна 10 см. Очень важно в задаче увидеть подобные треугольники или другие подобные фигуры. Для этого нужна хорошая практика решения задач. При решении задач на прямоугольный треугольник полезно знать, что высота, проведённая из прямого угла, делит его на два подобных треугольника рис. Через точки М и К, принадлежащие сторонам АВ и ВС треугольника ABC соответственно, проведена прямая МК, параллельная стороне АС. Обозначим КС через х. Из подобия треугольников ABC и МВК следует: В прямоугольный равнобедренный треугольник вписан прямоугольник так, что угол прямоугольника совпадает с углом при вершине треугольника, а вершина противолежащего угла лежит на гипотенузе. Докажите, что периметр прямоугольника есть величина постоянная для данного треугольника рис. В прямоугольном треугольнике ABC угол А — прямой. Опущена высота AD, равная? Треугольники ADB и ADC подобны? В треугольнике ABC проведены высоты AD и СЕ. Докажите, что треугольники ABC и DBE подобны. Чему равен коэффициент подобия рис. Из прямоугольного треугольника ВСЕ: Значит, две стороны BD и BE треугольника BDE пропорциональны сторонам АВ и ВС треугольника ABC, а угол В угол между пропорциональными сторонами у треугольников общий. ABC по двум сторонам и углу между ними. В равносторонний треугольник вписана окружность. Этой окружности и сторон треугольника касаются три малые окружности. Найдите сторону треугольника, если радиус малой окружности равен 1 рис. Из центров О и О1 проведем перпендикуляры ОМ и О1Т к стороне ВС. По условию О1Т и О1К равны 1. Длины отрезков ОМ и ОК обозначим через R. Треугольники ВТО1 и ВМО подобны по двум углам? Теперь мы знаем радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности. Осталось найти длину его стороны. Из одной точки к окружности проведены две касательные. Длина каждой касательной равна 12 см, а расстояние между точками касания 14,4 см. Определите радиус окружности рис. Пусть ОА и ОВ — касательные к окружности с центром С; А и В — точки касания. АВ и делит эту сторону пополам. Центр О окружности радиуса длиной 3 лежит на гипотенузе АС прямоугольного треугольника ABC. Катеты треугольника касаются окружности. Найти площадь треугольника ABC, если известно, что длина отрезка ОС равна 5 рис. Обозначим через М и N точки касания окружности соответственно со сторонами АВ и ВС. Теперь находим S — площадь прямоугольного треугольника ABC:. В равнобедренный треугольник вписан параллелограмм так, что угол параллелограмма совпадает с углом при вершине треугольника, а вершина противолежащего угла лежит на основании. Докажите, что периметр параллелограмма есть величина постоянная для данного треугольника. Из точки D, лежащей на катете АС прямоугольного треугольника ABC, на гипотенузу СВ опущен перпендикуляр DE. Точка на гипотенузе, равноудаленная от обоих катетов, делит гипотенузу на отрезки длиной 30 и 40 см. В параллелограмме ABCD проведена диагональ BD и отрезок AF F? ВС , пересекающий BD в точке О. Определите сторону параллелограмма AD. Радиус меньшей окружности равен 1. Найдите радиус большей окружности. Найдите длину стороны квадрата, вписанного в равнобедренный треугольник с основанием а и боковой стороной в так, что две его вершины лежат на основании, а две другие вершины — на боковых сторонах. В параллелограмме ABCD точка М— середина стороны СВ, N — середина стороны CD. Докажите, что прямые AM и AN делят диагональ BD на три равные части. В трапеции, основания которой равны а и в, через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. Найдите длину отрезка этой прямой, отсекаемого боковыми сторонами трапеции. В остроугольном треугольнике ABC из вершин А и С на стороны ВС и АВ опущены высоты АР и CQ. Известно, что площадь треугольника ABC равна 18, площадь треугольника BPQ равна 2, а длина отрезка PQ равна 2? Вычислите радиус окружности, описанной около треугольника ABC. Известно, что в трапецию ABCD с основаниями AD и ВС можно вписать окружность и около неё можно описать окружность, EF — её средняя линия. Найдите периметр трапеции рис. Около окружности с диаметром 15 см описана равнобедренная трапеция с боковой стороной, равной 17 см. Найдите основания трапеции рис. Очевидно, что высота трапеции равна диаметру окружности. Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром О. Найдите сумму углов АОВ и COD. Длины боковых сторон трапеции равны 3 и 5. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Найдите длины оснований трапеции. Так как вписанный угол ТЕК равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, то. Дан правильный угольник А1А АЗО с центром О. Найдите угол между прямыми ОАЗ и А1АЧ рис. Так как многоугольник А1А A30 — правильный, то? Требуемый нам угол х является внешним углом к треугольнику АЗА1В. В окружность вписан четырёхугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке Е. Прямая, проходящая через точку Е и перпендикулярная к АВ, пересекает сторону CD в точке М. Обозначим через К точку пересечения прямых АВ и ЕМ. Поскольку углы CDB и CAB опираются на одну и ту же дугу ВС, то? Но это означает, что треугольник СЕМ равнобедренный, т. Точка находится внутри круга радиуса 6 и делит проходящую через неё хорду на отрезки длиной 5 и 4. Найдите расстояние от точки до окружности. Диагональ BD четырёхугольника ABCD является диаметром окружности, описанной около этого четырёхугольника. Стороны прямоугольника равны а и в. На стороне а, как на диаметре, построена окружность. На какие отрезки окружность делит диагональ прямоугольника рис. Из точки С проведена секущая СА и касательная CD к окружности. По известному свойству имеем: Задачи с использованием геометрических преобразований, дополнительных построений и вспомогательных фигур достаточно редки в современных школьных учебниках, но именно в этих задачах, на наш взгляд, проявляется красота геометрии. За примерами далеко ходить не надо. Найдите длину окружности, описанной около трапеции, стороны которой равны а, а, а и 2а рис. Легко видеть, что трапецию ABCD можно достроить до правильного шестиугольника см. Основания трапеции равны 4 см и 9 см, а диагонали равны 5 см и 12 см. Найти площадь трапеции и угол между её диагоналями рис. Площадь трапеции, как и всякого четырёхугольника, равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними. Основание АВ трапеции ABCD вдвое длиннее основания CD и вдвое длиннее боковой стороны AD. Длина диагонали АС равна а, а длина боковой стороны ВС равна в. Найти площадь трапеции рис. Продолжим боковые стороны ВС и AD до пересечения их в точке Е. Следовательно, треугольник ВАЕ равнобедренный и АС — его медиана. Но в равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой, поэтому площадь треугольника ВАЕ можно вычислить так:. Найти длину АВ рис. Тогда точка А перейдёт в точку В, точка М — в некоторую точку D, треугольник АСМ — в треугольник BCD. С помощью поворота получен вспомогательный треугольник BDM. Далее вычислим угол ВМС. Применив теорему Пифагора к треугольнику ВСМ, найдём, что. Каков будет их кратчайший маршрут рис. Вообще говоря, в данном случае речь идет не о частных идеях решения определенного класса задач, а об универсальных методах решения самых разнообразных геометрических проблем. Суть метода состоит в том, что для решения задач вводится система координат прямоугольная или аффинная , пишутся необходимые уравнения прямых, других фигур, по известным формулам находятся длины и углы. Является ли четырёхугольник ABCD параллелограммом? Противоположные стороны четырёхугольника, таким образом, равны и параллельны. Значит, ABCD — параллелограмм. В треугольнике ABC точка М — точка пересечения медиан. Выразите вектор AM через вектора АВ и АС рис. В прямоугольнике ABCD точки М и N — середины сторон АВ и ВС. Точка О — точка пересечения AN и DM. Решим задачу аналитическим путём. Напишем уравнения прямых AN и MD. Тогда мы решили её, применив теорему о пропорциональных отрезках. Здесь мы применим векторный подход и метод неопределенных коэффициентов. Приравнивая к нулю коэффициенты при векторах а и в, стоящих в левой и правой частях уравнения, получим систему:. В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали АС и BD пересекаются в точке F. Пользуясь свойствами скалярного произведения векторов и условиями задачи, вычислим АВ, DC и АВ? Продолжения сторон AD и ВС четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Р. Точки М и N — середины сторон АВ и CD. Доказать, что если прямая MN проходит через точку Р, то ABCD — трапеция. Дан равнобедренный треугольник ABC, в котором проведены высота CD и перпендикуляр DE к боковой стороне ВС. Точка М — середина отрезка DE. Доказать, что отрезки АЕ и СМ перпендикулярны. Можно ли утверждать, что треугольники равны по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из этих сторон? Рассмотрим треугольники ABC и А1В1С1. A1B1M1 по трём сторонам , значит,? A1B1C1 по двум сторонам и углу между ними. Определите острые углы прямоугольного треугольника, если медиана, проведённая к его гипотенузе, делит прямой угол в отношении 2: Нарисуем треугольник ABC, где? Медиана AD равна длинам BD и CD, так как D — середина гипотенузы, а, значит, является центром описанной около треугольника окружности. Учитывая, что треугольники BDA и DAC — равнобедренные, получаем:? Дан произвольный четырёхугольник ABCD. Точки М, N, Р, Q — середины его сторон. Докажите, что MNPQ — параллелограмм рис. Из условия задачи и чертежа видно, что MN — средняя средняя линия? ABC и QP средняя линия? Поэтому, по признаку параллелограмма четырёхугольник MNPQ — параллелограмм. Диагонали АС и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что треугольник АОВ и COD имеют одинаковые площади рис. Стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию. Пусть стороны а, в, с треугольника ABC образуют арифметическую прогрессию с разностью d. Будем считать, что а? Диагонали трапеции делят её среднюю линию на три равные части. Как относятся основания этой трапеции? В параллелограмме, смежные стороны которого не равны, проведены биссектрисы четырех углов. Докажите, что при их пересечении образуется прямоугольник. Площадь четырёхугольника равна S. Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны и параллельны диагоналям четырёхугольника. Докажите, что в параллелограмме ABCD расстояния от любой точки диагонали АС до прямых ВС и CD обратно пропорциональны длинам этих сторон. В выпуклом четырёхугольнике длины диагоналей равны одному и двум метрам. Найти площадь четырёхугольника, зная, что длины отрезков, соединяющих середины его противоположных сторон, равны. Свойство углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой формулировки и примеры. В треугольнике ABC отмечены точки D и Е, которые являются серединами сторон АВ и ВС соответственно. Расстояние от точки А до точек В и С равны 3 см и 14 см соответственно, а расстояния от точки D до точек В и С равны 5 см и 6 см соответственно. Докажите, что точки А, В, С и D лежат на одной прямой. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям трапеции и равен полуразности оснований. Чему равны отрезки МК и KL? Из одной точки к двум касающимися внешним образом окружностям проведены три касательные, причем одна из них проходит через точку касания окружностей. Докажите, что касательные равны. Определение синуса острого угла прямоугольного треугольника. Пример его применения для решения прямоугольных треугольников. Из точки D, лежащей на катете АС прямоугольного треугольника ABC, опущен на гипотенузу СВ перпендикуляр DE. Точки К и L — середины сторон AD и ВС параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые AL и СК делят диагональ BD на три равные части. Определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника. Прямая, параллельная основанию равнобедренного треугольника ABC, пересекает боковые стороны АВ и АС в точках М и N. Докажите, что треугольник MAN — равнобедренный. Докажите, что периметр прямоугольника есть величина постоянная для данного треугольника. Определение тангенса острого угла прямоугольного треугольника. Окружность, описанная около треугольника. Теорема о центре окружности, описанной около треугольника. Найдите боковые стороны трапеции. Сумма углов выпуклого многоугольника равна сумме его внешних углов, взятых по одному при каждой вершине. Найдите число сторон этого многоугольника. В прямоугольном треугольнике ABC? С — прямой проведена высота CD. Радиус окружности равен 7 см. Найдите периметр описанного около нее правильного четырёхугольника. Докажите, что в равностороннем треугольнике расстояние от точки пересечения двух биссектрис до стороны в два раза меньше расстояния от этой же точки до вершины. Найдите градусную меру каждого из этих углов. На диаметре окружности построен равносторонний треугольник. Определите градусную меру дуг, на которые стороны треугольника делят полуокружность. Одна из его сторон равна 8 см. Найдите другие стороны прямоугольника. Угол DFG вписан в окружность с центром в точке О. Периметр равностороннего треугольника равен 36 см, а периметр равнобедренного — 40 см. Найдите стороны данных треугольников, если они имеют общее основание. В треугольнике AEF проведена биссектриса AD угла А, на сторонах угла от его вершины отложены равные отрезки АВ и АС. Докажите равенство треугольников BAD и CAD. Около окружности описана равнобокая трапеция, у которой боковая сторона точкой касания делится на отрезки 4 см и 9 см. Даны две концентрические окружности с центром в точке О. АС и BD — диаметры этих окружностей. Найдите отношение сторон этого треугольника. Формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей правильного n-угольника формулы и примеры. Найдите ее длину, если периметр треугольника ABC равен 50 см, а периметр? ABD равен 30 см. Точки М, N и Р лежат соответственно на сторонах АВ, ВС и АС треугольника ABC, причем MN AC, NP АВ. Формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей правильного треугольника, правильного четырёхугольника, правильного шестиугольника формулы и примеры. На сторонах угла Q отложены равные отрезки QR и QP. Через точки R и Р проведена прямая. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна его основанию. Даны точки А 1, -3 и В 2, 0. Найдите такую точку С х, у , чтобы векторы АВ и СА были равны. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит боковую сторону на отрезки, равные 3 см и 4 см, считая от основания. Докажите, что центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника, лежит на медиане, проведенной к основанию. Найдите ВС, если площадь треугольника равна 36 см2. Сумма углов треугольника с доказательством. Вывод формулы суммы углов выпуклого n-угольника. Основания трапеции относятся как 2: Точка М принадлежит отрезку РК, причем РМ: Найдите координаты точки К, если координаты точек Р и М равны 6; 3 и 14; 9 соответственно. Геометрическое место центров описанной около треугольника и вписанной в треугольник окружностей с доказательством. В ромбе ABCD, где угол А острый, BE и BF — высоты. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный. Геометрическое введение синуса, косинуса, тангенса котангенса. Найдите градусные меры этих углов. Высота BD равна 15 см. Уравнение прямой без вывода. Периметр треугольника равен 35 см. Найдите отрезки, на которые биссектриса треугольника делит противоположную сторону, если две другие стороны треугольника равны 12 и 16 см. Теорема о разложении вектора по базису без доказательства. Постройте фигуру, на которую отображается данная трапеция при центральной симметрии с центром А. В треугольнике ABC CD — медиана. Докажите, что угол АОЕ равен углу BOD рис. Через середину высоты проведена прямая, пересекающая стороны АВ и ВС в точках Е и F соответственно. В прямоугольнике ABCD сторона AD равна 10 см. Расстояние от точки пересечения диагоналей до этой стороны равно 3 см. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС серединный перпендикуляр стороны АВ пересекает сторону ВС в точке Р. Найдите периметр треугольника, образованного средними линиями. АВ и АС — касательные к окружности с центром О С и В — точки касания. Найдите градусную меру меньшей из дуг ВС, если расстояние от центра окружности до точки А равно 8 см, а до хорды ВС — 6 см. Найдите длину меньшей диагонали параллелограмма. Найдите высоту н, опущенную на третью сторону треугольника. В остроугольном треугольнике ABC высоты АА1 и ВВ1 пересекаются в точке О. Длина стороны многоугольника равна 3 м, а длина сходственной стороны подобного ему многоугольника равна 48 дм. Найдите периметры этих многоугольников, если их разность составляет 9 м. В треугольнике ABC проведена биссектриса AK. Точка М лежит на диагонали АС параллелограмма ABCD, а точка Н — на его стороне AD, причем AM: Выразите вектор MN через векторы а и р где вектор а равен вектору АВ и вектор р равен вектору AD. Длина одного отрезка на 1 см больше второго и на 4 см больше третьего. Могут ли эти отрезки быть сторонами треугольника, периметр которого равен 10 см? Найдите радиус окружности, описанной около нее. Сторона описанного правильного четырёхугольника на? Окружность с центром О касается сторон МК, КТ и ТМ треугольника МКТ в точках А, В и С соответственно. Основные формулы для правильных n-угольников с выводом. Через вершину А треугольника ABC с прямым углом С проведена прямая AD, параллельная стороне ВС. Каким должен быть радиус окружности, чтобы ее длина была равна разности длин двух окружностей с радиусами 37 и 15 см? Через вершину С параллелограмма ABCD проведена прямая HP так, что точка С лежит между точками Н и Р, которые принадлежат прямым АВ и AD соответственно:. Через центр квадрата ABCD проведены две взаимно перпендикулярные прямые, каждая из которых пересекает противоположные стороны квадрата. Докажите, что отрезки этих прямых, заключенные внутри квадрата, равны между собой. Прямая, обратная, противоположная и обратная к противоположной теоремы. Сущность метода доказательства от противного. Из вершины М тупого угла параллелограмма MNKP проведены перпендикуляры МН1 и МН2 к прямым NK и КР. Найдите углы DВС, ABC и основание АС. Вычислите скалярное произведение векторов. Докажите, что если через произвольную точку S провести две прямые, пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно, то AS? На какие отрезки окружность делит диагональ прямоугольника? Отрезки ВК и AM пересекаются в точке О. Найдите расстояния от точки касания окружностей до их общих касательных. Докажите, что если параллельные прямые пересечены третьей прямой, то образовавшиеся внутренние накрест лежащие углы равны. Основание равнобедренного треугольника равно 4? Найдите длину боковой стороны. Вычислите площадь той части треугольника, которая лежит вне данного круга. Докажите, что отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов равно диаметру описанной окружности. Найдите длину отрезка прямой, параллельной основанию и делящей площадь треугольника пополам. Найдите длину описанной окружности. Геометрическое введение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла. Найдите длины сторон треугольника. Уравнение прямой и окружности. Взаимное расположение прямой и окружности. Из одной точки проведены к окружности две касательные, каждая длиной 12 см. Расстояние между точками касания 14,4 см. На основании равнобедренного треугольника, равном 8 см, как на хорде, построена окружность, касающаяся боковых сторон треугольника. Найдите радиус окружности, если длина высоты, опущенной на основание треугольника, равна 3 см. При каком радиусе сектора площадь круга равна?? Выразите вектор AM через вектора АВ и АС. Чему равен коэффициент подобия? Найдите сторону треугольника, если радиус малой окружности равен 1. Найдите площадь описанного круга. Формулы радиусов вписанной и описанной окружностей для правильного n-угольника. В остроугольном треугольнике ABC из вершине и С на стороны ВС и АВ опущены высоты АР и CQ. В треугольнике, один из углов которого равен разности двух других, длина меньшей стороны равна 1, а сумма площадей квадратов, построенных на двух других сторонах, в два раза больше площади описанного около треугольника круга. Найти длину большей стороны треугольника. Найти косинус угла между векторами АВ и DC. Метод доказательства от противного. В треугольнике ABC величина угла ВАС равна? Найти длины сторон треугольника ABC. Основные геометрические места точек на плоскости. Найти площадь треугольника СКВ, если длина катета АС равна в и величина угла ABC равна?. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. Найти длины оснований трапеции. В треугольнике ABC длина высоты BD равна 6 см, длина медианы СЕ равна 5 см, расстояние от точки пересечения отрезков BD и СЕ до стороны АС равно 1 см. Найти длину стороны АВ. Найти площадь треугольника ABC, если дано, что площадь треугольника BQC равна 1. Докажите, что точка пересечения боковых сторон трапеции, точка пересечения диагоналей и середины оснований трапеции лежат на одной прямой. Найти длину диагонали NQ, если известно, что длина стороны LQ вдвое меньше длины стороны MN и на 2 м больше длины стороны LN. В треугольнике ABC высота BD равна 11,2, а высота АЕ равна Точка Е лежит на стороне ВС и BE: Найти длину стороны АС. Центр О окружности радиуса 3 лежит на гипотенузе АС прямоугольного треугольника ABC. Найти площадь треугольника ABC, если известно, что длина отрезка ОС равна 5. Геометрическое место центров вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей. Формулы R и r для правильного n-угольника со стороной а. На плоскости лежит равнобедренный прямоугольный треугольник, у которого катеты имеют длину а. Найти площадь четырёхугольника, являющегося общей частью этих двух треугольников. Вычислить площадь треугольника BNM. На плоскости даны две окружности радиусов 12 см и 7 см с центрами в точках О1 и O2, касающиеся некоторой прямой в точках М1 и М2 и лежащие по одну сторону от этой прямой. Отношение длины отрезка M1M2 к длине отрезка О1О2 равно. Формула Эйлера о расстоянии между центрами вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей. Геометрическое введение синуса, косинуса, тангенса, котангенса. Известно, что отношение длины В1С1 к длине ВС равно? Найти отношение длины АВ к длине АС. При каких значениях n задача имеет хотя бы одно решение? Вписанные в окружность углы. Соотношение между вписанным и центральным углами, опирающимися на одну дугу. Доказать, что для треугольника ABC и любой точки Р выполняется неравенство: Найти длину стороны квадрата и выяснить, где расположена точка О — вне или внутри квадрата. Докажите, что если треугольники подобны, то с тем же коэффициентом пропорциональны произвольные соответствующие линейные элементы этих треугольников. В треугольнике ABC длина стороны АС равна 3,? Доказать, что площадь треугольника ABC меньше 3. Найти расстояние от точки О до наиболее удалённой от нее вершины прямоугольника. В треугольнике ABC медианы, проведенные к сторонам АС и ВС, пересекаются под прямым углом. Длина стороны АС равна в, длина стороны ВС равна а. Отрезки BN и СМ пересекаются в точке К. Найти расстояние от вершины С до точки касания этой окружности с катетом АВ. Найти площадь трапеции и угол между её диагоналями. По условию площадь равна Проведем отрезок DE так, что площадь треугольника DBE равна площади трапеции ADEC. Так как нам нужно найти длину отрезка DE, обозначим ее через х. Первое уравнение фиксирует равенство площадей треугольника DBE и трапеции ADEC. Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон треугольника на синус угла между ними. Обозначим через Р точку пересечения прямых BD и СЕ. Так как PD перпендикулярна АС, то расстояние от точки Р до стороны АС равно длине отрезка PD, т. Проведём через точку Е прямую, параллельную основанию АС треугольника ABC. Пусть эта прямая пересекает высоту BD в точке К, а сторону ВС в точке F. Так как СЕ — медиана и прямая EF параллельна АС, то EF — средняя линяя треугольника ABC. Поэтому, в частности, прямая EF делит пополам высоту BD, т. Треугольники ЕРК и DPC подобны, так как у них? DPC, как величины вертикальных углов,? Из прямоугольного треугольника ЕКР находим, что. Из прямоугольного треугольника ADB находим. Обозначим длину отрезка АС через х. Из прямоугольного треугольника АЕС по теореме Пифагора находим. ВС, так что BD? Следовательно, длина стороны АС равна Так как АВ — хорда, то её длина не больше диаметра, т. Но оно не выполняется, так как 42? Пусть ВК и AD — медианы, проведенные соответственно к сторонам АС и ВС. Обозначим через Е точку их пересечения. Так как точка К — середина стороны АС и точка D — середина стороны ВС, то отрезок KD — средняя линия треугольника ABC. Так как по условию задачи ВК и AD перпендикулярны, то треугольники АЕК, KED, BED, АЕВ прямоугольные. Применяя теорему Пифагора к этим треугольникам, имеем:. Учитывая, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, получаем: Рассмотрим треугольник ВНА, где ВН — высота треугольника. Тогда по теореме Пифагора имеем:. Длины сторон треугольника равны 4, 2? Так как BD — высота в равнобедренном треугольнике ABC, то она является и медианой, т. Длину стороны треугольника найдём по теореме синусов:. Пусть К — произвольная точка внутри равностороннего треугольника ABC со стороной а. Опустим перпендикуляры KM, KN, КР на стороны треугольника. Обозначим эти перпендикуляры следующим образом: Так как AD — высота в равнобедренном треугольнике ABC, то она является и медианой. Можно было увидеть и другую закономерность. Так как D — середина гипотенузы, то D — центр описанной около треугольника ABC окружности. Обозначим катеты прямоугольного треугольника ABC с гипотенузой ВС через а и в см. Пусть ABC — заданный треугольник, AD — высота, опущенная на гипотенузу. Обозначим АВ через х, АС через у, высоту AD через н. ABC — угол прямоугольного треугольника, находим, что? Так как BL — биссектриса угла ABC, то? Из прямоугольного треугольника ABL находим. Пусть М — середина отрезка АС. Из прямоугольного треугольника ВАМ находим, что. Прямые АВ и А1С1 параллельны, т. Но тогда, поскольку треугольник ABC прямоугольный и, значит, АВ? ВС, получаем, что прямая С1А1 перпендикулярна прямой ВС. Обозначим через N точку пересечения прямых С1А1 и СВ. Пусть L — точка пересечения прямых АС и ВА1. Аналогично показывается, что точка L лежит на отрезке АС. Пусть М — точка пересечения прямых АС и С1А1. Ясно, что точка М лежит на отрезке CL. Треугольник BLC равнобедренный и прямоугольный, т. Проведём высоты трапеции ВК и СМ. Так как треугольник АВК — равнобедренный? Мы получили два прямоугольных треугольника АВК и CMD, в которых? Несложно подсчитать, что если оба угла при нижнем основании не острые, то задача решений не имеет. Проведем высоту трапеции СК см. По содержанию задача идентична задаче Однако, если мы начертим аналогичную трапецию и введем 25 соответствующие обозначения, то из чертежа получится система:. Это лишь означает, что трапеция выглядит как на рис. Проведём высоту BK см. Пусть ABCD — данная в условиях задачи трапеция. Обозначим через точку М точку касания окружности со стороной CD трапеции ABCD. Соединив точки С и D с центром окружности, получим треугольник COD. Так как точка О равноудалена от прямых ВС и CD, то СО — биссектриса угла BCD и? Поскольку BC AD, то? Так как М — точка касания окружности и стороны CD, то CD? Проведём через точку О прямую, перпендикулярную ВС. Тогда она будет перпендикулярна и прямой AD. Поскольку такой перпендикуляр к прямым ВС и AD единственен, то точки пересечения его L, К с прямыми AD и ВС соответственно будут точками касания сторон трапеции с окружностью. Из прямоугольного треугольника АВО по теореме Пифагора. С целью упрощения арифметических вычислений уменьшим все линейные размеры в 9 раз. Линии f и g делят площадь трапеции на три равные по площади части см. По теореме косинусов из треугольника ABC. Так как диагонали ромба перпендикулярны друг другу, то? Осталось найти высоту ОН в? AOD, которая и является радиусом вписанного круга. Пусть она находится по ту же сторону от диагонали BD, что и точка А. Тогда требуется найти ОС. Как видно из рисунка, диаметр окружности d совпадает с диагональю квадрата АВ. Очевидно, что MNKL — квадрат. Так как NE — высота в равностороннем треугольнике BNC, то. Можно, конечно, пуститься в достаточно длинные арифметические вычисления, но мы покажем самое простое и красивое решение. Раз площадь большого треугольника равна площади шестиугольника, то площадь этого треугольника в 6 раз больше площади треугольника ОАВ. А поскольку площадь правильного треугольника пропорциональна квадрату стороны, то его сторона в? Пусть ABCD — данный четырёхугольник. Обозначим К, L, М, N — точки касания окружности соответственно со сторонами АВ, ВС, CD, AD четырёхугольника ABCD. Соединим эти точки с центром О. Треугольники АОК, AON, CLO, СМО — равны, как имеющие равные гипотенузы и катеты: Аналогично доказывается, что равны треугольники КОВ, BOL, DON и DOM. Из равенства треугольников имеем, что? По теореме Пифагора из треугольника АОВ находим, что. Пусть О — центр вписанной в треугольник окружности; ОМ, ОТ, ОР — радиусы, проведённые к точкам касания. Пусть точка О — центр окружности и r — её радиус. Соединим точки В и С с центром О и проведём диаметр АК. Так как вписанный угол ВАС опирается на дугу ВКС и его величина равна? Так как хорды АВ и АС имеют одинаковые длины, то? Теперь подсчитаем площадь SABKC той части круга, которая заключена в угле ВАС. Решение задачи непосредственно видно из чертежа. Соединив центр окружности с вершинами треугольника и с точками касания, получим три пары равных треугольников. Опять соединим центр окружности с вершинами трапеции и с точками касания; получим четыре пары равных треугольников. Теперь мы знаем все стороны трапеции. Осталось найти её высоту. Для этого исходный рисунок представим ниже в следующем виде. Проведём высоты ВК и СМ. Пусть М, N и Р— точки касания этой окружности соответственно со сторонами АС, АВ, ВС. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому ОМ? Периметр треугольника равен 36 см, поэтому:. Из чертежа видно, что? FBC, как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых. ABF по условию, значит,? Проведём MP СК, тогда по теореме о пропорциональных отрезках ВР: Пусть ВМ — медиана, а ВН — высота в треугольнике. Обозначим ВН через н, МС через 2х. Так как ВМ — биссектриса? Заметим, что ADEF — квадрат, т. Обозначим радиус большей окружности через х. Обозначим сторону квадрата GDEF через х и проведем высоту ВН. Из этих равенств следует, что треугольники BPQ и ABC подобны по двум сторонам и углу между ними , причём коэффициент подобия равен cos В. Так как отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия, то. Из подобия треугольников ABC и BPQ вытекает равенство. Соединим центр окружности О с вершинами четырёхугольника и точками касания. Перед нами четыре пары равных треугольников: Из рисунка видно, что 2? Обозначим величины отрезков ВС и AD через х и у соответственно. Для площадей этих трапеций имеем. По теореме о величине вписанного в окружность угла? МОN опирается на диаметр MN окружности с центром О1. Пусть точка А делит хорду ВС на отрезки 5 и 4. АЕВ опираются на одну и ту же дугу BD ,? Обозначим точки пересечения окружности лучами р и q соответственно через С, А и Е, В. ACD является вписанным в окружность и по определению равен половине дуги AD. Обозначим точки пересечения окружности прямыми р и q соответственно через А, Е и D, С. Угол AEF будет равен х как внутренние накрест лежащие углы при параллельных CD, FE и секушей АЕ. AEF является вписанным в окружность и равен половине дуги AF. Так как BD — диаметр окружности, то? Вписанные углы ACD и ABD опираются на одну и ту же дугу AED, значит,? Из треугольника ADC по теореме синусов получаем, что. Заметим, что AM является медианой? Так как средняя линия трапеции ABCD равна 4, то сумма оснований равна 8. Воспользуемся тем, что середины оснований и точка пересечения боковых сторон трапеции лежат на одной прямой КМ. AKD — прямоугольный, причем AD — гипотенуза и точкой М делится пополам. Пусть D — проекция точки F на прямую d. Середину О отрезка DF примем за начало прямоугольной системы координат, а прямую OF — за ось ординат. Точке F отнесём координаты 0; 1. Пусть М х; у — произвольная точка плоскости. Переведём условие задачи на векторный язык. Точки М и N — середины отрезков АВ и CD. Учитывая приведённые выше равенства, получаем: Согласно условию задачи, векторы РМ и PN коллинеарны. Следовательно, найдётся такое число? Значит, стороны CD и АВ параллельны, т. Высота равнобедренного треугольника является его осью симметрии. Поэтому середину D основания АВ треугольника ABC удобно принять за начало прямоугольной системы координат, а направленные прямые АВ и DC — за оси координат. Тогда вершинам треугольника можно отнести координаты: Вычислим угловые коэффициенты прямых АЕ и СМ. Для этого сначала найдём координаты точек Е и М. Запишем уравнение прямой ВС: ЕК — средняя линия в? ЕМ — средняя линия в? NK и MP — средние линии в? Параллелограмм MNKP — ромб. Очевидно, что MNPQ — параллелограмм. Так как AM и ВМ — биссектрисы, то? Таким образом, MNPQ — прямоугольник. Обозначим точку на диагонали, о которой идет речь в условии задачи, через О. ACD, то равны и высоты ВР и DM этих треугольников. Пусть ABCD — данный в условии задачи четырёхугольник. Обозначим через Е, К, F, N середины сторон АВ, ВС, CD и AD соответственно. Тогда EN — средняя линия треугольника ABD, и, значит, EN BD. Аналогично доказывается, что KF BD, ЕК АС и NF АС. Это означает, что EN KF и ЕК NF, т. Отсюда следует, что четырёхугольник NEFK — прямоугольник. Ранее доказано, что EN BD и ЕК АС, поэтому BD? АКО2, а затем, что? Периметр равен сумме катетов. О1ВО2 по трем сторонам , значит, углы АО2О1 и O1O2B равны, а биссектриса в равнобедренном треугольнике является и высотой. Планиметрия в тезисах и решениях. Задачи на прямоугольный треугольник Для прямоугольного треугольника с катетами а, в и гипотенузой с, помимо общих формул см. Пусть а, в — длины катетов треугольников. Тогда длина гипотенузы равна. Задачи для самостоятельного решения. Задачи на трапецию При решении задач на трапецию нужно помнить следующие положения: При нижнем основании оба угла — острые, но она может выглядеть и как на рис. Построим трапецию ABCD и проведём высоты ВК и СМ. Из свойства средней линии трапеции: Таким образом, получаем систему уравнений: АВК по теореме Пифагора получаем: Так как окружность, описанная около трапеции, совпадает с окружностью, описанной около треугольника ABD, то по теореме синусов имеем: Из прямоугольного треугольника NLQ, наконец, по теореме Пифагора находим: Так как этот отрезок одновременно является и высотой в треугольнике ВСЕ, то имеем: Из полученных равенств находим: Теперь из 1 и 2 находим, что. Задачи на параллелограмм Площадь параллелограмма со сторонами а, в и углом? BCD — равносторонние, то углы? По теореме косинусов из треугольника ABC получаем: По теореме косинусов из треугольников ABD и АСВ имеем: Тогда площадь будет равна: Делим первое уравнение на второе: Тогда по теореме Пифагора находим: Воспользуемся формулой синуса двойного аргумента и будем иметь: Площадь заштрихованного сегмента, как видно из рисунка, можно вычислить по формуле: Выразим R через а. Таким образом, С учётом условия получаем уравнение: Сторона квадрата равна 7 см. Определите диаметр окружности, описанной около квадрата. R и r — радиусы описанной и вписанной окружностей, а — длина стороны правильного n-угольника. Тогда из прямоугольного треугольника ОРВ имеем: Задачи на окружность и круг При решении задач на окружность и круг применяются следующие формулы: Вписанный в окружность угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Основание пирамиды - равнобедренный прямоугольный треугольник. Боковая грань пирамиды, проходящая через его гипотенузу, перпендикулярна плоскости основания и является равнобедренным треугольником с боковой стороной 9√2. Каждая из двух других боковых граней составляет с плоскостью основания угол, который равен 4/√17. найдите объём пирамиды.(пожалуйста помогите решить с полным разъеснением )
https://gist.github.com/d9bccd64925117f6657f5bdfb1475e24
https://gist.github.com/5c4e910febcda24b885526ab1da899fa
https://gist.github.com/8e3edf93dfbc5786bb427ea72e5ae7e6