Ссылка на файл: >>>>>> http://file-portal.ru/Метод розв язання гауса/
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Розв язання систем лінійних рівнянь методом Гауса
Метод Гаусса
Метод Гаусса прекрасно подходит для решения систем линейных алгебраических уравнений СЛАУ. Он обладает рядом преимуществ по сравнению с другими методами:. Далее опишем алгоритм метода Гаусса для простейшего случая, то есть, для систем линейных алгебраических уравнений, количество уравнений в которых совпадает с количеством неизвестных переменных и определитель основной матрицы системы не равен нулю. При решении таких систем уравнений наиболее отчетливо видна суть метода Гаусса, которая заключается в последовательном исключении неизвестных переменных. Поэтому метод Гаусса также называют методом последовательного исключения неизвестных. Покажем подробные решения нескольких примеров. В заключении рассмотрим решение методом Гаусса систем линейных алгебраических уравнений, основная матрица которых либо прямоугольная, либо вырожденная. Решение таких систем имеет некоторые особенности, которые мы подробно разберем на примерах. Рассмотрим систему из p линейных уравнений с n неизвестными p может быть равно n: Если , то система линейных алгебраических уравнений называется однородной , в противном случае — неоднородной. Совокупность значения неизвестных переменных , при которых все уравнения системы обращаются в тождества, называется решением СЛАУ. Если существует хотя бы одно решение системы линейных алгебраических уравнений, то она называется совместной , в противном случае — несовместной. Если СЛАУ имеет единственное решение, то она называется определенной. Если решений больше одного, то система называется неопределенной. Говорят, что система записана в координатной форме , если она имеет вид. Эта система в матричной форме записи имеет вид , где - основная матрица СЛАУ, - матрица столбец неизвестных переменных, - матрица свободных членов. Обычно расширенную матрицу обозначают буквой Т , а столбец свободных членов отделяют вертикальной линией от остальных столбцов, то есть,. Квадратная матрица А называется вырожденной , если ее определитель равен нулю. Если , то матрица А называется невырожденной. Если с системой линейных алгебраических уравнений произвести следующие действия. Для расширенной матрицы системы линейных алгебраических уравнений эти действия будут означать проведение элементарных преобразований со строками:. Как бы мы поступили в школе, если бы получили задание найти решение системы уравнений. Заметим, что прибавив к левой части второго уравнения левую часть первого, а к правой части - правую, можно избавиться от неизвестных переменных x 2 и x 3 и сразу найти x 1: Если умножить обе части третьего уравнения системы на -1 и прибавить их к соответствующим частям первого уравнения, то мы избавимся от неизвестной переменной x 3 и сможем найти x 2: Разрешим первое уравнение системы относительно неизвестной переменной x 1 и подставим полученное выражение во второе и третье уравнение системы, чтобы исключить из них эту переменную: Теперь разрешим второе уравнение системы относительно x 2 и подставим полученный результат в третье уравнение, чтобы исключить из него неизвестную переменную x 2: Из второго уравнения находим , а из первого уравнения получаем. Самое интересное здесь то, что второй способ решения по сути и есть метод последовательного исключения неизвестных, то есть, метод Гаусса. Когда мы выражали неизвестные переменные сначала x 1 , на следующем этапе x 2 и подставляли их в остальные уравнения системы, мы тем самым исключали их. Исключение мы проводили до того момента, пока в последнем уравнении не осталась одна единственная неизвестная переменная. Процесс последовательного исключения неизвестных называется прямым ходом метода Гаусса. После завершения прямого хода у нас появляется возможность вычислить неизвестную переменную, находящуюся в последнем уравнении. С ее помощью из предпоследнего уравнения находим следующую неизвестную переменную и так далее. Процесс последовательного нахождения неизвестных переменных при движении от последнего уравнения к первому называется обратным ходом метода Гаусса. Следует заметить, что когда мы выражаем x 1 через x 2 и x 3 в первом уравнении, а затем подставляем полученное выражение во второе и третье уравнения, то к такому же результату приводят следующие действия:. Действительно, такая процедура также позволяет исключить неизвестную переменную x 1 из второго и третьего уравнений системы: Нюансы с исключением неизвестных переменных по методу Гаусса возникают тогда, когда уравнения системы не содержат некоторых переменных. Например, в СЛАУ в первом уравнении отсутствует неизвестная переменная x 1 иными словами, коэффициент перед ней равен нулю. Поэтому мы не можем разрешить первое уравнение системы относительно x 1 , чтобы исключить эту неизвестную переменную из остальных уравнений. Выходом из этой ситуации является перестановка местами уравнений системы. Так как мы рассматриваем системы линейных уравнений, определители основных матриц которых отличны от нуля, то всегда существует уравнение, в котором присутствует нужная нам переменная, и мы это уравнение можем переставить на нужную нам позицию. Для нашего примера достаточно поменять местами первое и второе уравнения системы , дальше можно разрешить первое уравнение относительно x 1 и исключить ее из остальных уравнений системы хотя во втором уравнении x 1 уже отсутствует. Пусть нам требуется решить систему из n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными переменными вида , и пусть определитель ее основной матрицы отличен от нуля. Будем считать, что , так как мы всегда можем этого добиться перестановкой местами уравнений системы. Исключим неизвестную переменную x 1 из всех уравнений системы, начиная со второго. Для этого ко второму уравнению системы прибавим первое, умноженное на , к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на , и так далее, к n-ому уравнению прибавим первое, умноженное на. Система уравнений после таких преобразований примет вид где , а. К такому же результату мы бы пришли, если бы выразили x 1 через другие неизвестные переменные в первом уравнении системы и полученное выражение подставили во все остальные уравнения. Таким образом, переменная x 1 исключена из всех уравнений, начиная со второго. Далее действуем аналогично, но лишь с частью полученной системы, которая отмечена на рисунке. Будем считать, что в противном случае мы переставим местами вторую строку с k-ой , где. Приступаем к исключению неизвестной переменной x 2 из всех уравнений, начиная с третьего. Для этого к третьему уравнению системы прибавим второе, умноженное на , к четвертому уравнению прибавим второе, умноженное на , и так далее, к n-ому уравнению прибавим второе, умноженное на. Таким образом, переменная x 2 исключена из всех уравнений, начиная с третьего. Далее приступаем к исключению неизвестной x 3 , при этом действуем аналогично с отмеченной на рисунке частью системы. Так продолжаем прямой ход метода Гаусса пока система не примет вид. С этого момента начинаем обратный ход метода Гаусса: Найдите решение системы уравнений методом Гаусса. Коэффициент a 11 отличен от нуля, так что приступим к прямому ходу метода Гаусса, то есть, к исключению неизвестной переменной x 1 из всех уравнений системы, кроме первого. Для этого к левой и правой частям второго, третьего и четвертого уравнения прибавим левую и правую части первого уравнения, умноженные соответственно на , и: Неизвестную переменную x 1 исключили, переходим к исключению x 2. К левым и правым частям третьего и четвертого уравнений системы прибавляем левую и правую части второго уравнения, умноженные соответственно на и: Для завершения прямого хода метода Гаусса нам осталось исключить неизвестную переменную x 3 из последнего уравнения системы. Прибавим к левой и правой частям четвертого уравнения соответственно левую и правую часть третьего уравнения, умноженную на: Можно начинать обратный ход метода Гаусса. Из последнего уравнения имеем , из третьего уравнения получаем , из второго , из первого. Для проверки можно подставить полученные значения неизвестных переменных в исходную систему уравнений. Все уравнения обращаются в тождества, что говорит о том, что решение по методу Гаусса найдено верно. Расширенная матрица системы имеет вид. Сверху над каждым столбцом записаны неизвестные переменные, которым соответствуют элементы матрицы. Прямой ход метода Гаусса здесь предполагает приведение расширенной матрицы системы к трапецеидальному виду с помощью элементарных преобразований. Этот процесс схож с исключением неизвестных переменных, которое мы проводили с системой в координатной форме. Сейчас Вы в этом убедитесь. Преобразуем матрицу так, чтобы все элементы в первом столбце, начиная со второго, стали нулевыми. Для этого к элементам второй, третьей и четвертой строк прибавим соответствующие элементы первой строки умноженные на , и на соответственно: Далее полученную матрицу преобразуем так, чтобы во втором столбце все элементы, начиная с третьего стали нулевыми. Это будет соответствовать исключению неизвестной переменной x 2. Для этого к элементам третьей и четвертой строк прибавим соответствующие элементы первой строки матрицы, умноженные соответственно на и: Осталось исключить неизвестную переменную x 3 из последнего уравнения системы. Для этого к элементам последней строки полученной матрицы прибавим соответствующие элементы предпоследней строки, умноженные на: Следует отметить, что эта матрица соответствует системе линейных уравнений которая была получена ранее после прямого хода. Пришло время обратного хода. В матричной форме записи обратный ход метода Гаусса предполагает такое преобразование полученной матрицы, чтобы матрица, отмеченная на рисунке стала диагональной, то есть, приняла вид где - некоторые числа. Эти преобразования аналогичны преобразованиям прямого хода метода Гаусса, но выполняются не от первой строки к последней, а от последней к первой. Прибавим к элементам третьей, второй и первой строк соответствующие элементы последней строки, умноженные на , на и на соответственно: Теперь прибавим к элементам второй и первой строк соответствующие элементы третьей строки, умноженные на и на соответственно: На последнем шаге обратного хода метода Гаусса к элементам первой строки прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженные на: Полученная матрица соответствует системе уравнений , откуда находим неизвестные переменные. При использовании метода Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений следует избегать приближенных вычислений, так как это может привести к абсолютно неверным результатам. Рекомендуем не округлять десятичные дроби. Лучше от десятичных дробей переходить к обыкновенным дробям. Решите систему из трех уравнений методом Гаусса. Отметим, что в этом примере неизвестные переменные имеют другое обозначение не x 1 , x 2 , x 3 , а x, y, z. Перейдем к обыкновенным дробям: Исключим неизвестную x из второго и третьего уравнений системы: В полученной системе во втором уравнении отсутствует неизвестная переменная y , а в третьем уравнении y присутствует, поэтому, переставим местами второе и третье уравнения: На этом прямой ход метода Гаусса закончен из третьего уравнения не нужно исключать y , так как этой неизвестной переменной уже нет. Из последнего уравнения находим , из предпоследнего из первого уравнения имеем. Системы уравнений, основная матрица которых прямоугольная или квадратная вырожденная, могут не иметь решений, могут иметь единственное решение, а могут иметь бесконечное множество решений. Сейчас мы разберемся, как метод Гаусса позволяет установить совместность или несовместность системы линейных уравнений, а в случае ее совместности определить все решения или одно единственное решение. В принципе процесс исключения неизвестных переменных в случае таких СЛАУ остается таким же. Однако следует подробно остановиться на некоторых ситуациях, которые могут возникнуть. На определенном этапе исключения неизвестных переменных некоторые уравнения системы могут обратиться в тождества. Это говорит о том, что такие уравнения излишни, то есть, их можно смело убрать из системы уравнений и продолжить прямой ход метода Гаусса. К примеру, при исключении x 1 из второго и третьего уравнений системы мы имеем такую ситуацию: Следовательно, второе уравнение можно удалить из системы и продолжить решение. При проведении прямого хода метода Гаусса одно или несколько уравнений системы могут принять вид , где - некоторое число, отличное от нуля. Это говорит о том, что уравнение, которое обратилось в равенство , не может обратиться в тождество ни при каких значениях неизвестных переменных. Другими словами, система линейных алгебраических уравнений в этом случае несовместна не имеет решения. Наиболее часто такие ситуации встречаются, когда число уравнений в системе больше числа неизвестных переменных. Найдите решение системы линейных уравнений методом Гаусса. Для этого прибавим к левой и правой частям второго, третьего и четвертого уравнения левую и правую части первого уравнения, умноженные на -1 , -2 и -3 соответственно: Предположим, что мы выполняем прямой ход метода Гаусса, и мы подошли к моменту исключения неизвестной переменной x k , а на каком-то предыдущем i-ом шаге i эта переменная уже исключилась вместе с x i. Как поступать в данном случае? К примеру, после исключения неизвестной переменной x 1 система уравнений принимает вид. Вместе с x 1 исключились x 2 и x 3. Так что прямой ход метода Гаусса продолжаем исключением переменной x 4 из всех уравнений, начиная с третьего: Далее останется исключить x 5 из последнего уравнения для завершения прямого хода метода Гаусса. Итак, допустим, что система линейных алгебраических уравнений после завершения прямого хода метода Гаусса приняла вид и ни одно уравнение не свелось к в этом случае мы бы сделали вывод о несовместности системы. Выпишем неизвестные переменные, которые стоят на первом месте всех уравнений полученной системы: В левых частях уравнений системы оставляем только те слагаемые, которые содержат выписанные неизвестные переменные x 1 , x 4 и x 5 , остальные слагаемые переносим в правую часть уравнений с противоположным знаком: Придадим неизвестным переменным, которые находятся в правых частях уравнений, произвольные значения , где - произвольные числа: После этого в правых частях всех уравнений нашей СЛАУ находятся числа и можно преступать к обратному ходу метода Гаусса. Из последнего уравнений системы имеем , из предпоследнего уравнения находим , из первого уравнения получаем. Решением системы уравнений является совокупность значений неизвестных переменных. Придавая числам различные значения, мы будем получать различные решения системы уравнений. То есть, наша система уравнений имеет бесконечно много решений. Решите однородную систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Исключим неизвестную переменную x из второго и третьего уравнений системы. Для этого к левой и правой части второго уравнения прибавим соответственно левую и правую части первого уравнения, умноженные на , а к левой и правой части третьего уравнения - левую и правую части первого уравнения, умноженные на: Теперь исключим y из третьего уравнения полученной системы уравнений: Полученная СЛАУ равносильна системе. Оставляем в левой части уравнений системы только слагаемые, содержащие неизвестные переменные x и y , а слагаемые с неизвестной переменной z переносим в правую часть: Примем , где - произвольное число, тогда система линейных уравнений примет вид и можно находить неизвестные переменные x и y , выполняя обратный ход метода Гаусса. Из последнего уравнения системы имеем , тогда из первого уравнения находим. Найдите решение системы линейных алгебраических уравнений, в которой число уравнений больше числа неизвестных переменных. Системы линейных уравнений такого вида мы можем решать методом Гаусса. Исключим неизвестную переменную x 1 из всех уравнений системы, начиная со второго: Исключаем x 2 из всех уравнений системы, начиная с третьего: Третье, четвертое и пятое уравнения полученной системы можно отбросить, при этом получим. В левых частях уравнений оставляем слагаемые, содержащие неизвестные переменные x 1 и x 2 , а остальные слагаемые переносим в правые части соответствующих уравнений: Принимаем , где - произвольные числа, при этом СЛАУ принимает вид. Из последнего уравнения системы имеем , а из первого уравнения получаем. Так методом Гаусса мы нашли бесконечное множество решений исходной системы уравнений. Решите систему линейных уравнений, если она совместна. Проведем решение методом Гаусса, так как этот метод нам позволит выяснить, совместна система или нет и в случае ее совместности определить решение. Исключим неизвестную переменную x 1 из второго и третьего уравнений системы, прибавив к левой и правой части второго и третьего уравнения левую и правую части первого уравнения, умноженные на и соответственно: Исключим x 2 из третьего уравнения: Решите методом Гаусса систему линейных уравнений. Первое уравнение системы не содержит неизвестной переменной x 1 , поэтому, прежде чем начать прямой ход метода Гаусса, переставим местами первое и второе уравнения: На этом прямой ход метода Гаусса закончен, и вид системы позволяет сразу переходить к обратному ходу. Из второго уравнения находим , из первого уравнения системы имеем. Таким образом, исходная система определена, то есть, имеет единственное решение. Решите систему уравнений методом Гаусса. Исключим неизвестную переменную x 1 из второго и третьего уравнений: Вместе с x 1 исключилась неизвестная x 2 , поэтому переходим к исключению x 3 из третьего уравнения системы: Оставляем в левой части уравнений системы слагаемые, содержащие x 1 , x 3 и x 4 , остальные переносим в правые части: Примем , где - произвольные числа, тогда система примет вид и при обратном ходе метода Гаусса находим. Мы рассмотрели решение различных систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Можно сделать следующие выводы:. Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www. Системы, решение систем уравнений и неравенств Метод Гаусса: Он обладает рядом преимуществ по сравнению с другими методами: Сначала дадим необходимые определения и введем обозначения. Основные определения и обозначения. Решение систем линейных алгебраических уравнений, в которых число уравнений равно числу неизвестных и основная матрица системы невырожденная, методом Гаусса. Решение систем линейных алгебраических уравнений, в которых число уравнений не совпадает с числом неизвестных или основная матрица системы вырожденная, методом Гаусса. Приступаем к обратному ходу. Из последнего уравнения системы имеем , а из первого уравнения получаем Так методом Гаусса мы нашли бесконечное множество решений исходной системы уравнений. Из второго уравнения находим , из первого уравнения системы имеем Таким образом, исходная система определена, то есть, имеет единственное решение.
Стихи про женские руки
Влияние питания на здоровье
Червей король что означает в гадальных картах
Метод исключения Гаусса
Способы укрепления мышц
Как оформить портфолио медицинской сестры доу
Евросеть старый оскол каталог товаров
Каталог статей
Новости россии оон
Освобождение от налогов санкционные списки
Система лінійних рівнянь. Метод Гауса
Лексин 500 инструкция к применению
Проблемы стоящие перед обществом
Львов туристический маршрут
Рішення задач он-лайн
Карта новодевичьего кладбища