Высшая математика — просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: Наш форум и библиотека: Не нашлось нужной задачи? Задайте вопрос на форуме! Высшая математика для чайников, или с чего начать? Векторы для чайников Скалярное произведение векторов Линейная не зависимость векторов. Базис векторов Переход к новому базису Векторное и смешанное произведение векторов Формулы деления отрезка в данном отношении Прямая на плоскости Простейшие задачи с прямой на плоскости Линейные неравенства Как научиться решать задачи по аналитической геометрии? Эллипс Гипербола и парабола Задачи с линиями 2-го порядка Как привести уравнение л. Полярные координаты Как построить линию в полярной системе координат? Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида. Множества и действия над ними Основы математической логики Формулы и законы логики Уравнения высшей математики Комплексные числа Выражения, уравнения и с-мы с комплексными числами Действия с матрицами Как вычислить определитель? Свойства определителя и понижение его порядка Как найти обратную матрицу? Матричные выражения Матричные уравнения Как решить систему линейных уравнений? Матричный метод решения системы Метод Гаусса для чайников Несовместные системы и системы с общим решением Как найти ранг матрицы? Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы. Примеры решений Замечательные пределы Методы решения пределов Бесконечно малые функции. Эквивалентности Правила Лопиталя Сложные пределы Пределы последовательностей Пределы по Коши. Примеры решений Логарифмическая производная Производные неявной, параметрической функций Простейшие задачи с производной Производные высших порядков Что такое производная? Производная по определению Как найти уравнение нормали? Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных. Графики и свойства элементарных функций Как построить график функции с помощью преобразований? Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи. Область определения функции двух переменных. Линии уровня Основные поверхности Предел функции 2 переменных Повторные пределы Непрерывность функции 2п Частные производные Частные производные функции трёх переменных Производные сложных функций нескольких переменных Как проверить, удовлетворяет ли функция уравнению? Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов. Примеры решений Метод замены переменной в неопределенном интеграле Интегрирование по частям Интегралы от тригонометрических функций Интегрирование дробей Интегралы от дробно-рациональных функций Интегрирование иррациональных функций Сложные интегралы Определенный интеграл Как вычислить площадь с помощью определенного интеграла? Теория для чайников Объем тела вращения Несобственные интегралы Эффективные методы решения определенных и несобственных интегралов S в полярных координатах S и V, если линия задана в параметрическом виде Длина дуги кривой S поверхности вращения Приближенные вычисления определенных интегралов Метод прямоугольников. Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты. Ряды для чайников Как найти сумму ряда? Признаки Коши Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница Ряды повышенной сложности. Степенные ряды Разложение функций в степенные ряды Сумма степенного ряда Равномерная сходимость Другие функциональные ряды Приближенные вычисления с помощью рядов Вычисление интеграла разложением функции в ряд Как найти частное решение ДУ приближённо с помощью ряда? Вычисление пределов Ряды Фурье. Двойные интегралы Как вычислить двойной интеграл? Примеры решений Двойные интегралы в полярных координатах Как найти центр тяжести плоской фигуры? Тройные интегралы Как вычислить произвольный тройной интеграл? Криволинейные интегралы Интеграл по замкнутому контуру Формула Грина. Работа силы Поверхностные интегралы. Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса. Примеры решений типовых задач комплексного анализа Как найти функцию комплексной переменной? Решение ДУ методом операционного исчисления Как решить систему ДУ операционным методом? Основы теории вероятностей Задачи по комбинаторике Задачи на классическое определение вероятности Геометрическая вероятность Задачи на теоремы сложения и умножения вероятностей Зависимые события Формула полной вероятности и формулы Байеса Независимые испытания и формула Бернулли Локальная и интегральная теоремы Лапласа Статистическая вероятность Случайные величины. Математическое ожидание Дисперсия дискретной случайной величины Функция распределения Геометрическое распределение Биномиальное распределение Распределение Пуассона Гипергеометрическое распределение вероятностей Непрерывная случайная величина, функции F x и f x Как вычислить математическое ожидание и дисперсию НСВ? Равномерное распределение Показательное распределение Нормальное распределение. Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом. Заказать контрольную Часто задаваемые вопросы Гостевая книга. Авторские работы на заказ. По высшей математике и физике. До сих пор мы раскладывали различные функции в степенные ряды , которые уже порядком поднадоели. И я чувствую, что настал момент, когда из стратегических запасов теории пора извлечь новые консервы. Нельзя ли разложить функцию в ряд как-нибудь по-другому? Например, выразить отрезок прямой линии через синусы и косинусы? Помимо примелькавшихся степеней в теории и практике существуют и другие подходы к разложению функции в ряд. На данном уроке мы познакомимся с тригонометрическим рядом Фурье, коснёмся вопроса его сходимости и суммы и, конечно же, разберём многочисленные примеры на разложение функций в ряд Фурье. Во-первых, к изучению материалов страницы следует подойти в отличной форме. Выспавшимися, отдохнувшими и трезвыми. Без сильных эмоций по поводу сломанной лапы хомячка и навязчивых мыслей о тяготах жизни аквариумных рыбок. Ряд Фурье не сложен с точки зрения понимания, однако практические задания требуют просто повышенной концентрации внимания — в идеале следует полностью отрешиться от внешних раздражителей. Ситуация усугубляется тем, что не существует лёгкого способа проверки решения и ответа. Таким образом, если ваше самочувствие ниже среднего, то лучше заняться чем-нибудь попроще. Во-вторых, перед полётом в космос необходимо изучить приборную панель космического корабля. Начнём со значений функций, которые должны щёлкаться на автомате: При любом натуральном значении:. В случае отрицательных значений аргумента результат, само собой, будет таким же: А вот это знали не все. Отрицательный аргумент дела не меняет: И, в-третьих, уважаемый отряд космонавтов, необходимо уметь… интегрировать. В частности, уверенно подводить функцию под знак дифференциала , интегрировать по частям и быть в ладах с формулой Ньютона-Лейбница. Начнём важные предполётные упражнения. Категорически не рекомендую пропускать, чтобы потом не плющило в невесомости:. Во всех интегралах подводим функцию под знак дифференциала:. Перед применением формулы Ньютона-Лейбница полезно мысленно либо на черновике выполнить проверку. Кстати, результат тут виден сразу — интеграл от нечётной функции по симметричному относительно нуля отрезку равен нулю. Не забываем о промежуточной проверке первообразной: И на завершающем этапе даже лучше не проводить замены , а воспользоваться чётностью косинуса: Крайне желательно научиться выполнять некоторые действия в уме и записывать решение сокращённо: Также обратите внимание, что в результате применения формулы Ньютона-Лейбница, получено не число, а числовая последовательность. Короткая версия решения, к которой хорошо бы пристреляться, выглядит так: Четыре оставшихся пункта самостоятельно. Постарайтесь добросовестно отнестись к заданию и оформить интегралы коротким способом. Образцы решений в конце урока. Если данная функция интегрируема на отрезке , то её можно разложить в тригонометрический ряд Фурье: Очевидно, что в общем случае ряд Фурье состоит из синусов и косинусов: Нулевой член ряда принято записывать в виде. Коэффициенты Фурье рассчитываются по следующим формулам: Прекрасно понимаю, что начинающим изучать тему пока малопонятны новые термины: Без паники, это не сравнимо с волнением перед выходом в открытый космос. Во всём разберёмся в ближайшем примере, перед выполнением которого логично задаться насущными практическими вопросами:. Дополнительно нередко требуется изобразить график функции , график суммы ряда , частичной суммы и в случае изощрённых профессорский фантазий — сделать что-нибудь ещё. По существу, нужно найти коэффициенты Фурье , то есть, составить и вычислить три определённых интеграла. Пожалуйста, перепишите общий вид ряда Фурье и три рабочие формулы к себе в тетрадь. В данной задаче период разложения , полупериод. Используя соответствующие формулы, найдём коэффициенты Фурье. Теперь нужно составить и вычислить три определённых интеграла. Для удобства я буду нумеровать пункты:. Данный интеграл хорошо знаком и берётся он по частям: В рассматриваемом задании сподручнее сразу использовать формулу интегрирования по частям в определённом интеграле:. Во-первых, после применения формулы всё выражение нужно заключить в большие скобки , так как перед исходным интегралом находится константа. Скобки можно раскрыть на любом дальнейшем шаге, я это сделал в самую последнюю очередь. Данное действие выделено квадратными скобками. Получен родственник предыдущего интеграла, который тоже интегрируется по частям: Этот экземпляр чуть сложнее, закомментирую дальнейшие действия пошагово: Не хотел показаться занудой, слишком уж часто теряют константу. Ввиду загромождённости записи это действие снова целесообразно выделить квадратными скобками. Наконец-то найдены все три коэффициента Фурье: Подставим их в формулу:. Изучим вопрос сходимости ряда Фурье. Разбираемся с суммой ряда. Как вы знаете, функциональные ряды сходятся к функциям. Данная функция терпит разрывы 1-го рода в точках , но определена и в них красные точки на чертеже. Теперь немного порассуждаем о природе рассматриваемого тригонометрического разложения. Что это значит в нашем конкретном примере? На практике обычно достаточно изобразить три периода разложения, как это сделано на чертеже. Особый интерес представляют точки разрыва 1-го рода. Как узнать ординату этих точек? Приятным является тот факт, что при построении чертежа вы сразу увидите, правильно или неправильно вычислена середина. Мотив известен ещё из урока о сумме числового ряда. Распишем наше богатство подробно: Таким образом, ряд Фурье сходится к своей сумме. На практике не так уж редко требуется построить и график частичной суммы. Во многих задачах функция терпит разрыв 1-го рода прямо на периоде разложения:. Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на отрезке. Начертить график функции и полной суммы ряда. Предложенная функция задана кусочным образом причём, заметьте, только на отрезке и терпит разрыв 1-го рода в точке. Можно ли вычислить коэффициенты Фурье? Посмотрим, например, как это делается у нулевого коэффициента: Второй интеграл оказался равным нулю, что убавило работы, но так бывает далеко не всегда. Как изобразить сумму ряда? Его нетрудно увидеть и устно: Примерный образец чистового оформления и чертёж в конце урока. Далее возникает закономерный вопрос: Если , то получаются формулы промежутка , с которых мы начинали. Алгоритм и принципы решения задачи полностью сохраняются, но возрастает техническая сложность вычислений:. Функция определена только на полуинтервале , но это не меняет дела — важно, что оба куска функции интегрируемы. Разложим функцию в ряд Фурье: Поскольку функция разрывна в начале координат, то каждый коэффициент Фурье очевидным образом следует записать в виде суммы двух интегралов:. Второй интеграл берём по частям: Во-первых, не теряем первый интеграл , где сразу же выполняем подведение под знак дифференциала. Большие скобки, всё-таки удобнее раскрывать сразу же на следующем шаге. Остальное дело техники, затруднения может вызвать только недостаточный опыт решения интегралов. Да, не зря именитые коллеги французского математика Фурье возмущались — как это тот посмел раскладывать функции в тригонометрические ряды?! Сам Фурье работал над математической моделью теплопроводности, а впоследствии ряд, названный его именем стал применяться для исследования многих периодических процессов, коих в окружающем мире видимо-невидимо. Сейчас, кстати, поймал себя на мысли, что не случайно сравнил график второго примера с периодическим ритмом сердца. Желающие могут ознакомиться с практическим применением преобразования Фурье в сторонних источниках. Построим график суммы ряда. Кратко повторим порядок действий: Иногда кусочно-заданная функция бывает и непрерывна на периоде разложения. Если функция интегрируема на каждой части, то она также разложима в ряд Фурье. Но из практического опыта такую жесть что-то не припоминаю. Тем не менее, встречаются более трудные задания, чем только что рассмотренное, и в конце статьи для всех желающих есть ссылки на ряды Фурье повышенной сложности. В данной задаче функция непрерывна на полуинтервале разложения, что упрощает решение. С чётными и нечётными функциями процесс решения задачи заметно упрощается. Общий же член ряда, как вы видите, содержит чётные косинусы и нечётные синусы. А если мы раскладываем ЧЁТНУЮ функцию, то зачем нам нечётные синусы?! Давайте обнулим ненужный коэффициент: Таким образом, чётная функция раскладывается в ряд Фурье только по косинусам: Поскольку интегралы от чётных функций по симметричному относительно нуля отрезку интегрирования можно удваивать, то упрощаются и остальные коэффициенты Фурье. К хрестоматийным примерам, которые есть практически в любом учебнике по матанализу, относятся разложения чётных функций. Кроме того, они неоднократно встречались и в моей личной практике:. Появится надобность — просто подставьте своё значение. Коэффициенты Фурье ищем по формулам. Обратите внимание на их безусловные преимущества. И, во-вторых, заметно упрощается интегрирование. В данном случае сумма ряда непрерывна , и, разумеется, чётна. И, чтобы никому не было обидно, я прикреплю этот пример к дополнительным материалам. Таким образом, нечётная функция раскладывается в ряд Фурье только по синусам: При этом необходимо вычислить единственный коэффициент Фурье: Про чётность можно скромно умолчать ;-. Но если дополнительно требуется построить график суммы, то необходимо понимать следующее: В ряде случаев симметричное продолжение функции надо записать аналитически. Начинающим рекомендую графический метод: Находим уравнение прямой , которая содержит зелёный отрезок устно, или, например, по двум точкам. Таким образом, эта же задача может быть сформулирована по-другому: Кстати, эта интерпретация вообще коварно умалчивает о чётности функции и может наказать двойным объёмом работы по общим формулам ;- Поэтому в случае подозрительной похожести кусков функции а чайникам — в любом случае! И внимательный читатель статьи без труда изобразит график суммы ряда: Выглядит опять провокационно, и если вам встретилось похожее условие, то сначала постройте график функции и изучите его на предмет симметрии — чтобы не пришлось использовать общие формулы разложения. Вот, пожалуй, и все основные сведения о рядах Фурье, которых должно хватить для решения многих практических примеров. Надо сказать, что материал был непростой, причём изложить его доступно тоже было далеко не просто. Но вроде получилось неплохо. Кроме того, я создал дополнительную pdf-ку, в которую включил примеры, не вошедшие в статью всё-таки нужно соблюдать разумные рамки , а также ряды Фурье повышенной сложности , в своё время решённые на заказ студентам солидного технического ВУЗа. Используя соответствующие формулы, вычислим коэффициенты Фурье: Искомое разложение имеет вид: Изобразим на чертеже сумму ряда: Функция является нечётной, а значит, раскладывается в ряд Фурье только по синусам: Построим график суммы ряда: Как можно отблагодарить автора? Качественные работы без плагиата — Zaochnik. Копирование материалов сайта запрещено. Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида Элементы высшей алгебры: Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы Пределы: Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных Функции и графики: Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи ФНП: Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов Интегралы: Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты Числовые ряды: Признак Лейбница Ряды повышенной сложности Функциональные ряды: Примеры решений Кратные интегралы: Работа силы Поверхностные интегралы Элементы векторного анализа: Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса Комплексный анализ: Данная функция терпит разрывы 1-го рода в точках , но определена и в них красные точки на чертеже Таким образом: Изучим алгоритм, по которому удобно строить сумму ряда. Подготовка к ЕГЭ По высшей математике и физике Помогут разобраться в теме, подготовиться к экзамену.
Какие собаки живут дольше всего
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Интеграл Фурье Комплексная форма интеграла Преобразование Фурье Косинус и синус преобразования Амплитудный и фазовый спектры Свойства Приложения
Контурная карта 6 5 класс история
Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразования Фурье: Методические указания по решению задач математического анализа
Как делают операцию на аппендицит
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Интеграл Фурье Комплексная форма интеграла Преобразование Фурье Косинус и синус преобразования Амплитудный и фазовый спектры Свойства Приложения
Как отремонтировать паркет своими руками
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Интеграл Фурье Комплексная форма интеграла Преобразование Фурье Косинус и синус преобразования Амплитудный и фазовый спектры Свойства Приложения
Каталоги стекольных заводов
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Интеграл Фурье Комплексная форма интеграла Преобразование Фурье Косинус и синус преобразования Амплитудный и фазовый спектры Свойства Приложения
Что делать со сломанными наушниками
Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразования Фурье: Методические указания по решению задач математического анализа
Кредитная карта почта банк условия проценты
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Интеграл Фурье Комплексная форма интеграла Преобразование Фурье Косинус и синус преобразования Амплитудный и фазовый спектры Свойства Приложения
Белки жиры углеводы это вещества
Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразования Фурье: Методические указания по решению задач математического анализа
Белая техника тольятти каталог товаров холодильники
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Интеграл Фурье Комплексная форма интеграла Преобразование Фурье Косинус и синус преобразования Амплитудный и фазовый спектры Свойства Приложения
Чешутся уши чем лечить у человека