Равносильные системы уравнений, равносильные преобразования
Линейная система
Система линейных алгебраических уравнений
В этой статье мы поговорим про равносильные системы уравнений. Здесь мы дадим соответствующее определение, а также разберем, какие существуют преобразования, позволяющие переходить от исходной системы уравнений к равносильной ей системе. В учебниках [1, с. Две системы уравнений с двумя переменными называются равносильными , если они имеют одни и те же решения или если обе системы не имеют решений. В старших классах оно обобщается на системы с любым числом уравнений и переменных [3, с. Две системы уравнений называются равносильными , если они имеют одни и те же решения или если обе системы не имеют решений. Чтобы сделать вывод о равносильности или неравносильности данных систем уравнений на основе определения, надо наперед знать решения этих систем. Пусть нам известно, что системы уравнений и не имеют решений это достаточно очевидно: А по определению системы уравнений, которые не имеют решений, равносильны. Чтобы доказать неравносильность систем уравнений, достаточно привести одно частное решение, являющееся решением одной системы, но не являющееся решением другой. Например, легко обосновать, что системы уравнений и неравносильны. А по определению решения равносильных систем должны быть одинаковыми. А как доказать равносильность систем уравнений, если их решения неизвестны? Конечно, можно найти решения, после чего сделать вывод касательно равносильности на основе определения. Но иногда для этого решать системы необязательно, это касается тех случаев, когда видно, что одна система получена из другой при помощи некоторых так называемых равносильных преобразований. Их мы подробно изучим в следующем пункте, а пока приведем пример. Рассмотрим две системы уравнений и. При внимательном взгляде на их записи можно заметить следующие вещи: Описанные преобразования являются равносильными, и в результате их проведения получается система, равносильная исходной. Итак, указанные системы равносильны. А мы переходим к разбору основных равносильных преобразований. Существует ряд преобразований, позволяющих преобразовать данную систему уравнений в равносильную ей систему. Они получили название равносильных преобразований, и нашли основное применение при решении систем уравнений. Эти преобразования можно считать свойствами систем уравнений. Рассмотрим и обоснуем основные из них. Доказательство этого утверждения очевидно. В силу определения решения системы уравнений любое отдельно взятое решение системы уравнений является решением каждого уравнения этой системы. Понятно, что оно является и решением каждого уравнения системы с этими же уравнениями, но переставленными местами, значит, является решением и системы с переставленными местами уравнениями. К примеру, и - равносильные системы. Если любое уравнение в системе заменить равносильным уравнением , то полученная система будет равносильна исходной. Доказательство этого факта тоже лежит на поверхности. Любое решение системы уравнений является решением каждого уравнения системы. Мы также знаем, что равносильные уравнения имеют одинаковые решения. Поэтому, любое решение исходной системы уравнений будет решением всех уравнений системы, в которой какое-то уравнение заменено равносильным ему уравнением, а значит, и решением этой системы. Важность доказанного свойства огромна: С ними мы можем проводить всевозможные уже знакомые нам равносильные преобразования, например, перестановку местами слагаемых, перенос слагаемых из одной части в другую с противоположным знаком, умножение или деление обеих частей уравнения на отличное от нуля число и т. А во втором уравнении можно собрать все слагаемые в левой части, раскрыть скобки , после чего привести подобные слагаемые. В результате получится равносильная система более простого вида. Если к левой и правой части одного из уравнений системы прибавить соответственно левую и правую часть другого уравнения системы, то полученная система будет равносильна исходной. Для доказательства покажем, что любое решение изначальной системы уравнений является решением полученной, и обратно, что любое решение полученной системы является решением исходной. Это будет означать равносильность систем. Любое решение начальной системы является решением каждого ее уравнения, оно обращает все уравнения в верные числовые равенства. Нам известно свойство числовых равенств , которое утверждает, что при почленном сложении верных числовых равенств получается верное равенство. Отсюда следует, что взятое нами решение начальной системы является решением уравнения, полученного в результате почленного прибавления к нему другого уравнения. Поэтому, это решение является решением и полученной системы уравнений, так как является решением каждого ее уравнения. Возьмем любое решение полученной системы, оно является решением каждого ее уравнения, то есть, оно обращает их в верные числовые равенства. Существует свойство, позволяющее выполнять почленное вычитание верных числовых равенств. Вычтем из равенства, соответствующего уравнению, полученному в результате почленного сложения, равенство, соотетствующее прибавленному ранее уравнению. Это даст верное числовое равенство, отвечающее начальному уравнению системы до прибавления к нему другого уравнения. Отсюда следует, что взятое решение будет решением каждого уравнения исходной системы, а значит, и ее решением. Приведем пример выполнения этого равносильного преобразования. Возьмем систему двух уравнений с двумя переменными. Полученная система уравнений имеет более простой вид, но при этом равносильна исходной. Понятно, что если система содержит три или большее число уравнений, то можно не ограничиваться почленным прибавлением к левой и правой части выбранного уравнения левой и правой части одного уравнения, а прибавлять левые и правые части двух, трех, да хоть всех остальных уравнений системы. В результате этих действий все равно получится равносильная система уравнений. На доказанном равносильном преобразовании базируется один из методов решения систем уравнений — метод алгебраического сложения. Если одно из уравнений системы представляет собой переменную, выраженную через другие переменные, то в любое другое уравнение системы можно подставить вместо этой переменной ее выражение, система, полученная в результате такого преобразования, равносильна исходной. Приведем пример для пояснения. В ее первом уравнении переменная x выражена через y. В результате приходим к системе , которая равносильна исходной. Для этого составим их разность и покажем, что она равна нулю: Аналогично доказывается, что любое решение системы уравнений является решением исходной системы. В итоге можно сделать вывод, что системы равносильны. Суть доказательства рассматриваемого утверждения в общем виде та же. То есть, показывается, что любое решение исходной системы является решением системы, полученной после преобразования, и обратно. Это равносильное преобразование дает разрешение на решение систем уравнений методом подстановки. В заключение скажем, что обычно при решении систем уравнений разобранные равносильные преобразования используются сообща и иногда по нескольку раз. Дальше на практике Вы увидите это. Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www. Определение равносильных систем уравнений Равносильны ли данные системы уравнений? Равносильные преобразования систем уравнений. Алгебра и начала математического анализа.
Экономика сша на английском языке с переводом
Luxcase ru как правильно наклеить пленку
Сонник наливать кофе
Четвероногие друзья рассказ
Водяная бомбочка из бумаги своими руками
Построй ру проекты одноэтажных домов