Логарифмические уравнения!
Логарифмические уравнения. Начальный уровень.
Логарифмические уравнения на примерах
Этим видео я начинаю длинную серию уроков про логарифмические уравнения. Сейчас перед вами сразу три примера, на основе которых мы будем учиться решать самые простые задачи, которые так и называются — простейшие. При этом важно, чтобы переменная х присутствует только внутри аргумента, т. А числа а и b являются именно числами, а ни в коем случае не функциями, содержащими переменную х. Существует множество способов решения таких конструкций. Например, большинство учителей в школе предлагают такой способ: Да, безусловно, решение получится правильным. Однако проблема этой формулы состоит в том, что большинство учеников не понимают , откуда она берется и почему именно букву а мы возводим в букву b. В результате я часто наблюдаю очень обидные ошибки, когда, например, эти буквы меняются местами. Данную формулу нужно либо понять, либо зубрить, причем второй способ приводит к ошибкам в самые неподходящие и самые ответственные моменты: Именно поэтому всем своим ученикам я предлагаю отказаться от стандартной школьной формулы и использовать для решения логарифмических уравнений второй подход, который, как вы уже наверняка догадались из названия, называется канонической формой. Идея канонической формы проста. Давайте еще раз посмотрим на нашу задачу: Следовательно, на эту букву распространяются все ограничения, которые накладываются на основание логарифма. С другой стороны, из того же самого уравнения мы видим, что логарифм должен быть равен числу b , и вот на эту букву никаких ограничений не накладывается, потому что он может принимать любые значения — как положительные, так и отрицательные. Все зависит от того, какие значения принимает функция f x. И вот тут мы вспоминаем наше замечательное правило, что любое число b может быть представлено в виде логарифма по основанию а от а в степени b:. Разумеется, что при этом возникают все ограничения, которые мы записали вначале. А теперь давайте воспользуемся основным свойством логарифма, и внесем множитель b в качестве степени а. Новая функция уже не содержит логарифма и решается стандартными алгебраическими приемами. Конечно, кто-то сейчас возразит: Да уже хотя бы затем, что большинство учеников не понимают, откуда берется эта формула и, как следствие, регулярно допускают ошибки при ее применении. А вот такая последовательность действий, состоящая из трех шагов, позволяет вам решить исходное логарифмическое уравнение, даже если вы не понимаете, откуда берется та самая итоговая формула. Кстати, канонической формулой называется именно эта запись:. Удобство канонической формы состоит еще и в том, что ее можно применять для решения очень широкого класса логарифмических уравнений, а не только простейших, которые мы рассматриваем сегодня. Многие ученики торопятся и пытаются сразу возвести число 0,5 в степень, которая пришла к нам из исходной задачи. И действительно, когда вы уже хорошо натренируетесь в решении подобных задач, вы можете сразу выполнять этот шаг. Однако если сейчас вы только приступаете к изучению этой темы, лучше никуда не торопиться, чтобы не допускать обидных ошибок. Итак, перед нами каноническая форма. Это уже не логарифмическое уравнение, а линейное относительно переменной х. Как видим, это уравнение уже не является простейшим. Уже хотя бы потому, что слева стоит разность, а не один-единственный логарифм по одному основанию. Следовательно, нужно каким-то образом избавиться от этой разности. В данном случае все очень просто. Давайте внимательно посмотрим на основания: Вот давайте так и запишем:. Теперь вспоминаем замечательное свойство логарифма: В случае с основаниями происходит следующее:. Другими словами, число, которое стояло в степени основания, выносится вперед и при этом переворачивается, т. Вспомните математику 4—5 класса и порядок действий: В данном случае мы из 10 элементов вычитаем один такой же:. Теперь наше уравнение выглядит как надо. Это простейшая конструкция, и мы решаем его с помощью канонической формы:. Если вас по каким-либо причинам смущает запись lg b , то при выполнении всех вычислений вы можете записать просто log 10 b. С десятичными логарифмами можно работать так же, как и с другими: Вот именно этими свойствами мы сейчас и воспользуемся для решения задачи, поскольку она не является простейшей, которую мы записали в самом начале нашего урока. Для начала заметим, что множитель 2, стоящий перед lg 5, может быть внесен и станет степенью основания 5. Кроме того, свободное слагаемое 3 также представимо в виде логарифма — это очень легко наблюдать из нашей записи. Перед нами снова каноническая форма, причем мы получили ее, минуя стадию преобразований, т. Именно об этом я и говорил в самом начале урока. Каноническая форма позволяет решать более широкий класс задач, нежели стандартная школьная формула, которую дают большинство школьных учителей. Тут бы хотелось привести важное замечание по поводу области определения. Наверняка сейчас найдутся ученики и учителя, которые скажут: Никаких лишних корней в этих случаях не возникнет. И это еще одна замечательная хитрость, которая позволяет ускорить решение. Просто знайте, что если в задаче переменная х встречается лишь в одном месте а точнее — в одном-единственном аргументе одного-единственного логарифма , и больше нигде в нашем случае нет переменной х, то записывать область определения не нужно , потому что она будет выполняться автоматически. С тем же успехом мы можем записать, что во втором случае х должен быть равен 5 2 , т. Другими словами, область определения выполняется автоматически, но только при условии, что х встречается лишь в аргументе лишь одного логарифма. Вот и все, что нужно знать для решения простейших задач. Уже одно это правило вместе с правилами преобразования позволит вам решать очень широкий класс задач. Но давайте будем честными: Поэтому прямо сейчас скачайте варианты для самостоятельного решения, которые прилагаются к данному видеоуроку и начните решать хотя бы одну из этих двух самостоятельных работ. Времени у вас уйдет буквально несколько минут. А вот эффект от такого обучения будет намного выше по сравнению с тем, если бы вы просто просмотрели данный видеоурок. Надеюсь, этот урок поможет разобраться вам с логарифмическими уравнениями. Применяйте каноническую форму, упрощайте выражения с помощью правил работы с логарифмами — и никакие задачи вам будут не страшны. А у меня на сегодня все. Теперь поговорим об области определения логарифмической функции, а также о том, как это влияет на решение логарифмических уравнений. Такое выражение называется простейшим — в нем лишь одна функция, а числа а и b — это именно числа, а ни в коем случае не функция, зависящая от переменной х. Решается оно очень просто. Достаточно лишь использовать формулу:. Данная формула является одним из ключевых свойств логарифма, и при подстановке в наше исходное выражение мы получим следующее:. Далее, поскольку и слева, и справа стоит логарифмы по одному и тому же основанию, мы избавляемся от них:. Это уже знакомая формула из школьных учебников. У многих учеников наверняка возникнет вопрос: Это ограничение действует потому, что логарифм от отрицательных чисел не существует. Так, может быть, вследствие этого ограничения следует ввести проверку на ответы? Быть может, их нужно подставлять в исходник? Нет, в простейших логарифмических уравнениях дополнительная проверка излишня. Взгляните на нашу итоговую формулу:. Дело в том, что число а в любом случае больше 0 — это требование тоже накладывается логарифмом. Число а является основанием. При этом на число b никаких ограничений не накладывается. Но это и неважно, потому что в какую бы степень мы бы не возводили положительное число, на выходе мы все равно получим положительное число. Что действительно стоит проверять, так это область определения функции, стоящей под знаком log. Там могут встречаться довольно непростые конструкции, и в процессе решения за ними обязательно нужно следить. Из полученных корней нас устраивает только первый, так как второй корень меньше нуля. Единственным ответом будет число 9. Никаких дополнительных проверок того, что выражение под знаком логарифма больше 0, не требуется, потому что оно не просто больше 0, а по условию уравнения оно равно 2. В нашем же случае требуется, чтобы было больше, чем 0 или в крайнем случае равно. Вот и все решение. Давайте вернемся в самое начало наших вычислений. Основной вывод из этого урока: Потому что в процессе решения все ограничения выполняются автоматически. Однако это ни в коем случае не означает, что о проверке можно вообще забыть. В процессе работы над логарифмическим уравнением вполне может перейти в иррациональное, в котором будут свои ограничения и требования к правой части, в чем мы сегодня и убедились на двух различных примерах. Продолжаем изучать логарифмические уравнения и разберем еще два довольно интересных приема, с помощью которых модно решать более сложные конструкции. Но для начала вспомним, как решаются простейшие задачи:. В этой записи а и b являются именно числами, а в функции f x должна присутствовать переменная х, и только там, т. Преобразовывать такие логарифмические уравнения мы будем с помощью канонической формы. Для этого заметим, что. Причем a b — это именно аргумент. Давайте перепишем это выражение следующим образом:. Мы именно этого и добиваемся, чтобы и слева, и справа стоял логарифм по основанию а. В этом случае мы можем, образно говоря, зачеркнуть знаки log, а с точки зрения математики мы можем сказать, что мы просто приравниваем аргументы:. В результате мы получим новое выражение, которое будет решаться намного проще. Давайте применим это правило к нашим сегодняшним задачам. Прежде всего, отмечу, что справа стоит дробь, в знаменателе которой находится log. Когда вы видите такое выражение, не лишним будет вспомнить замечательное свойство логарифмов:. Переводя на русский язык, это означает, что любой логарифм может быть представлен в виде частного двух логарифмов с любым основанием с. В этом случае мы получим конструкцию вида: Именно такую конструкцию мы наблюдаем от знака справа в нашем уравнении. Давайте заменим эту конструкцию на log a b , получим:. Другими словами, в сравнении с исходным заданием, мы поменяли местами аргумент и основание логарифма. Взамен нам пришлось перевернуть дробь. Далее осталось привести логарифмы к общему основанию. В этом случае давайте перепишем все наше логарифмическое уравнение:. Другими словами, коэффициент k , который является степенью основания, выносится как перевернутая дробь. Давайте вынесем ее как перевернутую дробь:. Дробный множитель нельзя оставлять спереди, потому что в этом случае мы не сможем представить данную запись как каноническую форму ведь в канонической форме перед вторым логарифмом никакой дополнительный множитель не стоит. Теперь мы приравниваем аргументы, основания которых одинаковые а основания у нас действительно одинаковые , и записываем:. Мы получили ответ к первому логарифмическому уравнению. Здесь помимо обычных логарифмов, нам придется работать с lg f x. Как решать такое уравнение? Неподготовленному ученику может показаться, что это какая-то жесть, но на самом деле все решается элементарно. Внимательно посмотрите на слагаемое lg 2 log 2 7. Что мы можем о нем сказать? Основания и аргументы log и lg совпадают, и это должно наводить на некоторые мысли. Давайте еще раз вспомним, как выносятся степени из-под знака логарифма:. Другими словами, то, что являлось степенью при числе b в аргументе, становится множителем перед самим log. Давайте применим эту формулу для выражения lg 2 log 2 7. Пусть вас не пугает lg 2 — это самое обычное выражение. Можно переписать его следующим образом:. Для него справедливы все правила, которые действуют для любого другого логарифма. В частности, множитель, стоящий спереди, можно внести в степень аргумента. Очень часто ученики в упор не видят это действие, потому что нехорошо вносить один log под знак другого. На самом деле ничего криминального в этом нет. Более того, мы получаем формулу, которая легко считается, если помнить важное правило:. Эту формулу можно рассматривать и как определение, и как одно из его свойств. В любом случае, если вы преобразуете логарифмическое уравнение, эту формулу вы должны знать точно так же, как и представление любого числа в виде log. Возвращаемся к нашей задаче. Переписываем его с учетом того факта, что первое слагаемое справа от знака равенства будет равно просто lg 7. Теперь давайте внимательно посмотрим на уравнение, которое мы получили. Давайте внесем его в аргумент правого lg:. Перед нами каноническая форма логарифмического уравнения, поэтому мы вычеркиваем знаки lg и приравниваем аргументы:. Мы решили второе логарифмическое уравнение. При этом никаких дополнительных проверок не требуется, потому что в исходной задаче х присутствовал лишь в одном аргументе. Главная формула, которая изучается во всех уроках на этой странице, посвященной решению логарифмических уравнений — это каноническая форма. И пусть вас не пугает то, что в большинстве школьных учебников вас учат решать подобные задачи по-другому. Данный инструмент работает очень эффективно и позволяет решать гораздо более широкий класс задач, нежели простейшие, которые мы изучали в самом начале нашего урока. Кроме того, для решения логарифмических уравнений полезно будет знать основные свойства. В заключении хотел бы добавить, что проверять область определения в каждом из этих случае не требуется, потому что везде переменная х присутствует только в одном знаке log, и при этом находится в его аргументе. Как следствие, все требования области определения выполняются автоматически. Сегодня мы рассмотрим логарифмические уравнения, которые для многих учеников кажутся нестандартными, а то и вовсе нерешаемыми. Речь идет об выражениях, в основании которых стоят не числа, а переменные и даже функции. Решать такие конструкции мы будем с помощью нашего стандартного приема, а именно через каноническую форму. Для начала вспомним, как решаются простейшие задачи, в основании которых стоят обычные числа. Итак, простейшей называется конструкция вида. Таким образом мы избавляемся от знака log и решаем уже обычную задачу. При этом полученные при решении корни и будут корнями исходного логарифмического уравнения. Кроме того, запись, когда и слева, и справа стоит по одному и тому же логарифму с одним и тем же основанием, как раз и называется канонической формой. Именно к такой записи мы будем пытаться свести сегодняшние конструкции. Та степень, которую мы наблюдаем у аргумента, это, на самом деле то число b , которое стояло справа от знака равенства. Таким образом, перепишем наше выражение. Перед нами каноническая форма логарифмического уравнения, поэтому мы смело можем приравнять аргументы. Но на этом решение не заканчивается, потому что данное уравнение не равносильно исходному. Ведь полученная конструкция состоит из функций, которые определены на всей числовой прямой, а наши исходные логарифмы определены не везде и не всегда. Поэтому мы должны отдельно записать область определения. Давайте не будем мудрить и для начала запишем все требования:. Но вы не пугайтесь: Поэтому мы можем смело зачеркнуть неравенство, содержащее квадратичную функцию. Таким образом, количество выражений, которое содержится в нашей системе, уменьшится до трех. Разумеется, с тем же успехом мы могли бы зачеркнуть и линейное неравенство, т. Но согласитесь, что решить простейшее линейное неравенство гораздо быстрее и проще, чем квадратичное, пусть даже при условии, что в результате решения всей этой системы мы получим одни и те же корни. В общем, по возможности старайтесь оптимизировать вычисления. И в случае с логарифмическими уравнениями вычеркивайте самые сложные неравенства. Вот такая система из трех выражений, с двумя из которых мы, по сути, уже разобрались. Давайте отдельно выпишем квадратное уравнение и решим его:. Перед нами приведенный квадратный трехчлен и, следовательно, мы можем воспользоваться формулами Виета. Все, задача решена, в т. Переходим ко второму уравнению. Здесь нас ждут более интересные и содержательные выкладки:. Для этого число 9 мы можем записать следующим образом:. Основание с корнем можно не трогать, а вот аргумент лучше преобразовать. Давайте перейдем от корня в степень с рациональным показателем. Давайте я не буду переписывать все наше большое логарифмическое уравнение, а просто сразу приравняю аргументы:. Итак, мы получили корни, но никто нам не гарантировал, что они подойдут к исходному логарифмическому уравнению. Ведь знаки log накладывают дополнительные ограничения здесь мы должны были бы записать систему, но из-за громоздкости всей конструкции я решил посчитать область определения отдельно. Сразу заметим, что поскольку мы приравниваем первые два выражения системы друг к другу, то любое из них мы можем вычеркнуть. Давайте вычеркнем первую, потому что она выглядит более угрожающе, нежели вторая. Кроме того, заметим, что решением второго и третьего неравенства будут одни и те множества куб какого-то числа больше нуля, если само это число больше нуля; аналогично и с корнем третьей степени — эти неравенства полностью аналогичны, поэтому одно из них мы можем вычеркнуть. А вот с третьим неравенством такое не пройдет. Избавимся от знака радикала, стоящего слева, для чего возведем обе части в куб. Какой из наших корней: Итого возвращаясь к нашей задаче, мы получаем один корень: Вот и все, задача решена. Накладывать последние требования на итоговые ответы можно по-разному. Например, можно решать целую систему, содержащую все требования к области определения. С другой стороны, можно сначала решить саму задачу, а затем вспомнить про область определения, отдельно проработать ее в виде системы и наложить на полученные корни. Какой способ выбирать при решении конкретного логарифмического уравнения, решать только вам. В любом случае ответ получится один и тот же. ЕГЭ ОГЭ Мои курсы Вебинары Школьникам Студентам Блог Обо мне Логарифмическое уравнение: Основные методы решения Существует множество способов решения таких конструкций. И вот тут мы вспоминаем наше замечательное правило, что любое число b может быть представлено в виде логарифма по основанию а от а в степени b: Давайте запишем следующую конструкцию: Кстати, канонической формулой называется именно эта запись: Примеры решения А теперь давайте рассмотрим реальные примеры. Вторая задача Переходим ко второй задаче: Вот давайте так и запишем: В случае с основаниями происходит следующее: В данном случае мы из 10 элементов вычитаем один такой же: Это простейшая конструкция, и мы решаем его с помощью канонической формы: Третий пример Переходим к третьей задаче: Ну и все, избавляемся от знака десятичного логарифма, и получаем простую линейную конструкцию: Замечание по поводу области определения Тут бы хотелось привести важное замечание по поводу области определения. Учет области определения Теперь поговорим об области определения логарифмической функции, а также о том, как это влияет на решение логарифмических уравнений. Достаточно лишь использовать формулу: Взгляните на нашу итоговую формулу: Избавляемся от знака логарифма и получаем обычное иррациональное уравнение: Переходим ко второй задаче: Здесь все то же самое. Переписываем конструкцию, заменяя тройку: Избавляемся от знаков логарифма и получаем иррациональное уравнение: Возводим обе части в квадрат с учетом ограничений и получаем: Смело решайте такие задачи и будьте особо внимательные, если в аргументе стоит корень. Логарифмические уравнения с разными основаниями Продолжаем изучать логарифмические уравнения и разберем еще два довольно интересных приема, с помощью которых модно решать более сложные конструкции. Но для начала вспомним, как решаются простейшие задачи: Давайте перепишем это выражение следующим образом: В этом случае мы можем, образно говоря, зачеркнуть знаки log, а с точки зрения математики мы можем сказать, что мы просто приравниваем аргументы: Когда вы видите такое выражение, не лишним будет вспомнить замечательное свойство логарифмов: Давайте заменим эту конструкцию на log a b , получим: В этом случае давайте перепишем все наше логарифмическое уравнение: Вспоминаем, что любую степень можно выносить из основания по следующему правилу: Давайте вынесем ее как перевернутую дробь: Теперь мы приравниваем аргументы, основания которых одинаковые а основания у нас действительно одинаковые , и записываем: Теперь переходим ко второму выражению: Давайте еще раз вспомним, как выносятся степени из-под знака логарифма: Можно переписать его следующим образом: Более того, мы получаем формулу, которая легко считается, если помнить важное правило: Давайте внесем его в аргумент правого lg: Перечислю еще раз ключевые моменты этого урока. Формулу перехода к одному основанию и частный случай, когда мы переворачиваем log это очень пригодилось нам в первой задаче ; Формулу внесения и вынесения степеней из-под знака логарифма. Здесь многие ученики зависают и в упор не видят, что выносимая и вносимая степень сама может содержать log f x. Ничего страшного в этом нет. Мы можем вносить один log по знак другого и при этом существенно упрощать решение задачи, что мы и наблюдаем во втором случае. Задачи с переменным основанием Сегодня мы рассмотрим логарифмические уравнения, которые для многих учеников кажутся нестандартными, а то и вовсе нерешаемыми. Давайте не будем мудрить и для начала запишем все требования: Во-первых, аргумент каждого из логарифмов должен быть больше 0: Давайте перепишем нашу систему: Давайте отдельно выпишем квадратное уравнение и решим его: Здесь нас ждут более интересные и содержательные выкладки: Для этого число 9 мы можем записать следующим образом: Давайте я не буду переписывать все наше большое логарифмическое уравнение, а просто сразу приравняю аргументы: В первую очередь, вспоминаем, что аргументы должны быть больше 0, а именно: Это и есть требования, накладываемые областью определения. Еще раз ключевые моменты данной задачи: Не стесняйтесь применять и решать логарифмические уравнения с помощью канонической формы. Следовательно, при его решении необходимо учитывать область определения:
Перейти к выполнению теста:
Характеристика на выпускницу среднюю
Маршрут поезда барнаул москва
Буфер обмена на андроиде где находится
Что нужно делать после первого
Русский кино 2017 скачать