Дата последнего обновления информации на сайте: Обыкновенные дифференциальные уравнения 1 порядка. Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка 3. Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными 4. Дифференциальные уравнения первого порядка в полных дифференциалах 5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод вариации произвольных постоянных 6. Дифференциальные уравнения высших порядков 7. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 8. Линейные дифференциальные уравнения 9. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Метод вариации произвольных постоянных решения задачи Коши для линейного неоднородные дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами Автономные системы на плоскости. Точки покоя автономной линейной системы Жесткие системы дифференциальных уравнений Решение задачи Коши операционным методом Научно-практический журнал "Exponenta Pro. Приглашаем преподавателей к участию в конкурсе ИТ-Прорыв! Приложения обыкновенных дифференциальных уравнений к задачам биологии и экономики Список курсов ВМ. Содержание Преобразование Лапласа Основные свойства преобразования Лапласа Решение задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Решение задачи Коши для систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Задачи для самостоятельного решения. На первую страницу О проекте Сотрудничество Обратная связь e-mail.
Применение операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений и систем уравнений с постоянными коэффициентами. Пусть требуется найти частное решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Будем считать, что искомая функция вместе с ее производными до — го порядка и функция являются оригиналами. Пользуясь свойством дифференцирования оригинала и свойством линейности, перейдем в дифференциальном уравнении от оригиналов к изображениям:. Полученное алгебраическое уравнение, линейное относительно изображения, называют операторным или уравнением в изображениях. По найденному из него изображению , можно найти оригинал , используя таблицу и свойства преобразования Лапласа. Разрешим его относительно , получим. Дробь нужно представить в виде суммы простейших дробей. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена меньше степени многочлена ,т. Если дробь неправильная, то можно разделить числитель на знаменатель и выделить многочлен и правильную дробь. Простейшими дробями называются правильные рациональные дроби вида. Условие означает, что многочлен имеет комплексные корни. Любую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей. Коэффициенты разложения находят методом частных значений или методом неопределенных коэффициентов. Дробь представим в виде суммы простейших дробей. Умножив обе части последнего равенства на , получим. Чтобы найти неопределенный коэффициент , подставим в это уравнение. Приравнивая коэффициенты при , и в обеих частях тождества, получим систему линейных уравнений. Из первого уравнения этой системы , из второго уравнения. Операционным методом решить систему дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями. Так как , то система операторных уравнений примет вид. Получили систему линейных алгебраических уравнений относительно изображений и:. Найдем решение системы по формулам Крамера. Вычислим определитель системы и вспомогательные определители ,. Частные решения и являются оригиналами для вычисленных изображений. Чтобы найти , разложим дробь на сумму простейших: В последнем равенстве положим. Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и нулевыми начальными условиями с помощью интегралов Дюамеля. Если - решение уравнения. Уравнению 6 при нулевых начальных условиях 7 соответствует операторное уравнение. Уравнению 8 при нулевых начальных условиях 7 соответствует операторное уравнение. Положим в формуле 13 , и учтем, что. Тогда получим решение дифференциального уравнения 8 при нулевых начальных условиях в виде. Формула 14 позволяет находить решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами при нулевых начальных условиях, не находя изображения правой части этого уравнения. Найдем аналитическое выражение для функции, график которой представлен на рисунке. Прежде всего запишем уравнение прямой, проходящей через точки и , и уравнение прямой, проходящей через точки и. Как известно, уравнение прямой, проходящей через точки с координатами и имеет вид. В данном случае независимая переменная , поэтому уравнение прямой примет вид. Подставляя в это уравнение координаты точек А и В получим после упрощения уравнение в виде , подставляя в уравнение координаты точек В и С, получим после упрощения уравнение в виде. Тогда функция имеет вид. Построим график функции и убедимся, что он совпадает с исходным заданным графиком. Нужно преобразовать функцию к такому виду, чтобы аргументы отдельных слагаемых, за исключением постоянных, совпадали с аргументами функций Хевисайда, содержащихся в этих слагаемых. Здесь нужно подвергнуть преобразованию только последнее слагаемое. Изображение этой функции построим с помощью таблицы, используя теорему запаздывания. Решим теперь эту задачу с помощью Mathcad. Функция Хевисайда в этом пакете обозначается греческой буквой , комплексный аргумент изображения обозначается буквой то есть. Для решения этой задачи необходимо представить дробь в виде суммы простейших дробей. Разложение дроби на простейшие имеет вид. Приведем сумму дробей в правой части 20 к общему знаменателю, который совпадает со знаменателем дроби в левой части Тогда получим равенство числителей. Для определения коэффициентов разложения в 20 , воспользуемся вначале методом частных значений. Положим в 21 , тогда получим. Для того, чтобы определить коэффициенты и , используем метод неопределенных коэффициентов: Выделим полный квадрат в знаменателе: Для изображения с учетом теоремы запаздывания получим из таблицы оригинал. Приведем решение данной задачи с помощью Mathcad. Для каждого из слагаемых изображения получим оригиналы. Для решения данной задачи используем интеграл Дюамеля. Найдем вначале решение дифференциального уравнения. Соответствующее операторное уравнение для изображения имеет вид. Представим полученную дробь в виде суммы простейших дробей. Для этого приведем дроби в правой части к общему знаменателю и получим равенство числителей. Для нахождения коэффициентов вначале воспользуемся методом частных значений. Для определения значения приравняем коэффициенты при степени слева и справа в Следовательно, изображение имеет вид. По таблице найдем соответствующий оригинал.. В соответствии с формулой 13 решение исходного дифференциального уравнения представляет собой интеграл. Отметим, что в 26 использовано свойство симметрии свертки двух функций. Обозначим через напомним, что вMathcad комплексная переменная обозначается через. Найдем оригинал , затем положим и найдем производную по от функции. Вычислим , где - правая часть исходного уравнения. Учитывая, что свертка двух функций не зависит от порядка их следования, можно также провести расчет по формуле 26 в виде. В результате получилось довольно громоздкое выражение. Приведем подобные члены в этом выражении и упростим результат. Учитывая, что , ,. Многочлен имеет корни , , поэтому и выражение для после упрощения суммы первой и последней дробей преобразуется к виду. Для того чтобы получить оригинал для изображения , нужно дроби, входящие в 32 , разложить на простейшие. Найдем это разложение с помощьюMathcad. FAQ Обратная связь Вопросы и предложения. Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Санкт-Петербургский государственный морской технический университет.
https://gist.github.com/5c617cfc286f6dbb22dbe49b032a2d23
https://gist.github.com/41c4584221ae50748a165008f93a8008
https://gist.github.com/53584272d5ec92834a3cd821e0aaf484