Различные способы приближенной замены одномерных дифференциальных уравнений разностными изучались ранее. Напомним примеры разностных аппроксимаций и введем необходимые обозначения. Будем рассматривать равномерную сетку с шагом h , то есть множество точек. Проводя разложение по формуле Тейлора, получим. Нетрудно показать, что вторая разностная производная. Подставляя в 2 разложения. Условия 3 называются достаточными условиями второго порядка аппроксимации. При их выводе предполагалось, что функция u x имеет непрерывную четвертую производную и k x — дифференцируемая функция. Нетрудно показать, что условиям 3 удовлетворяют, например, следующие функции:. Введем на плоскости x 1 , x 2 прямоугольную сетку с шагом h 1 по направлению x 1 и с шагом h 2 по направлению x 2 , то есть множество точек. Более того, для функций u x 1 , x 2 , обладающих непрерывными шестыми производными, справедливо разложение. Указанное множество точек называется шаблоном разностного оператора. Возможны разностные аппроксимации оператора Лапласа и на шаблонах, содержащих большее число точек. Обозначим через Lu x левую часть уравнения 1 и через L h y i — левую часть уравнения 3 , то есть Пусть u x — достаточно гладкая функция и u x i — ее значение в точке x i сетки. В этом случае говорят также, что разностное уравнение 3 аппроксимирует дифференциальное уравнение 1. Большая часть этой работы проделана в предыдущей главе, где показано, что при условиях. Итак, доказательство второго порядка аппроксимации сводится к проверке сводится к проверке условий 8 , 9 для коэффициентов 5 , 6. Проверим сначала выполнение условий 8. Условия 9 выполнены в силу того, что замена интегралов 6 значениями q i , f i соответствует приближенному вычислению этих интегралов по формуле прямоугольников с узлом в середине отрезка интегрирования. Исследуем погрешность аппроксимации разностного граничного условия 4. Если u x — произвольная достаточно гладкая функция, то очевидно. Таким образом, при достаточной гладкости коэффициентов k x , q x , f x и решения u x разностная схема 10 аппроксимирует исходную задачу 2 со вторым порядком по h. При практическом использовании разностной схемы для нахождения ее коэффициентов не обязательно вычислять интегралы 4 , 6 точно. Можно воспользоваться коэффициентами, полученными путем замены этих интегралов квадратурными формулами, имеющими точность O h 2 и выше. Например, в результате применения формулы прямоугольников получим следующие коэффициенты: Представление коэффициентов разностной схемы в виде интегралов 4 , 6 оказывается полезным при исследовании сходимости в случае разрывных функций k x , q x , f x. В настоящем параграфе в качестве такой нормы будем брать норму в сеточном пространстве C w h , то есть положим. Говорят, что разностная схема имеет m-й порядок точности или сходится с порядком m , если. Выше было установлено, что схема 3 , 4 имеет второй порядок аппроксимации. Докажем теперь, что эта схема имеет и второй порядок точности. Функция y i , входящая в правую часть уравнения 11 , называется погрешностью аппроксимации дифференциального уравнения 1 разностным уравнением 3 на решении задачи 1 , 2. Таким образом, структура уравнений для погрешности 11 , 12 та же, что и у разностной схемы 3 , 4 , отличаются только правые части. Чтобы доказать сходимость разностной схемы, оценим решение задачи 11 , 12 через правые части y i , n 1 , то есть получим неравенство вида. Из этого неравенства и будет следовать, что. Отметим, что неравенства вида 13 , называемые априорными оценками, нашли широкое применение в теории разностных схем. Поскольку структура для погрешности 11 , 12 та же, что и у разностной схемы 3 , 4 , а отличаются только правые части, то оценка 13 выполняется одновременно с аналогичной оценкой. Последняя оценка выражает устойчивость решения разностной задачи по правым частям j и m 1. Разностные тождества и неравенства. Для того, чтобы доказать неравенство 13 , нам потребуются некоторые разностные тождества и неравенства. Будем рассматривать сеточные функции, заданные на сетке 7. Подставляя в 14 вместо u выражение az x и вместо y функцию z, получаем первую разностную формулу Грина. Для этого умножим уравнение 11 на hz i и просуммируем по i от 1 до N—1. Воспользовавшись 19 , оценим слагаемые, входящие в левую часть тождества 18 , следующим образом:. Итак, справедливо следующее утверждение. Пусть коэффициенты разностной схемы 3 , 4 удовлетворяют условиям 8 , 9 , Будем рассматривать следующую первую краевую задачу для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами. Здесь u0 x , m 1 t , m 2 t — заданные функции. Известно, что при определенных предположениях гладкости решение задачи 1 — 3 существует и единственно. В дальнейшем при исследовании аппроксимации разностных схем будем предполагать, что решение u x, t обладает необходимым по ходу изложения числом производных по x и по t. Решение задачи 1 — 3 удовлетворяет принципу максимума и тем самым непрерывно зависит от начальных и граничных данных. Как всегда, для построения разностной схемы надо прежде всего ввести сетку в области изменения независимых переменных и задать шаблон, то есть множество точек сетки, участвующих в аппроксимации дифференциального выражения. На рисунке граничные узлы обозначены крестиками, а внутренние — кружочками. Слоем называется множество всех узлов сетки w h, t , имеющих одну и ту же временную координату. Так, n-м слоем называется множество узлов. Правую часть f x, t заменим приближенно сеточной функцией j n i , в качестве j n i можно взять одно из следующих выражений:. Под разностной схемой понимается совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих основное дифференциальное уравнение во всех внутренних узлах сетки и дополнительные начальные и граничные условия — в граничных узлах сетки. Разностную схему по аналогии с дифференциальной задачей будем называть также разностной задачей. В данном случае разностная схема имеет вид. Эта схема представляет собой систему линейных алгебраических уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных. Находить решение такой системы следует по слоям. По этой причине схема 6 называется явной разностной схемой. Можно оценить решение z i n уравнения 8 через правую часть y i n и доказать тем самым сходимость разностной схемы 6 с первым порядком по t и вторым — по h. Однако это исследование мы отложим, а сейчас на примере схемы 6 продемонстрируем один распространенный прием исследования разностных схем с постоянными коэффициентами, называемый методом гармоник. Хотя данный метод не является достаточно обоснованным, в частности не учитывает влияния граничных условий и правых частей, он позволяет легко найти необходимые условия устойчивости и сходимости разностных схем. Подставляя 10 в уравнение 9 и сокращая на e ijh j , получим. Начальные условия соответствующие решениям вида 10 их называют гармониками , ограничены. В этом случае разностное уравнение 9 называется неустойчивым, поскольку нарушается непрерывная зависимость его решения от начальных условий. В случае неустойчивости найти решение разностной задачи 6 по формулам 7 практически невозможно, так как погрешности например погрешности округления , внесенные в начальный момент времени, будут неограниченно возрастать при увеличении n. Такие разностные схемы называются неустойчивыми. Разностные схемы, устойчивые лишь при некотором ограничении на отношение шагов по пространству и по времени, называются условно устойчивыми. Условно устойчивые схемы для уравнений параболического типа используются редко, так как они накладывают слишком сильное ограничение на шаг по времени. Схема имеет первый порядок аппроксимации по t и второй — по h. Эту систему можно решать методом прогонки, так как условия устойчивости прогонки выполнены. Таким образом, схема 12 абсолютно устойчива, то есть устойчива при любых шагах t и h. Абсолютная устойчивость является основным условием неявных схем. Величина шагов сетки t , h определяются теперь необходимой точностью расчета, а не соображениями устойчивости. Шеститочечной симметричной схемой называется разностная схема. Эта схема использует шеститочечный шаблон, изображенный на рисунке. Обобщением трех рассмотренных схем является однопараметрическое семейство схем с весами. Зададим произвольный действительный параметр s и определим разностную схему. Исследуем погрешность аппроксимации схемы 15 на решении исходной задачи 1 — 3. Тогда для погрешности получим систему уравнений. Получим первые члены разложения функции y i n по степеням h и t. Из формулы 18 можно сделать следующие выводы. Такая схема называется схемой повышенного порядка аппроксимации. Система 20 решается методом прогонки. Последнее неравенство следует из условия устойчивости 19 разностной схемы. Уравнения с переменными коэффициентами и линейные уравнения. Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами. При остальных значениях s и t выполняется первый порядок аппроксимации по t и второй — по h. При исследовании устойчивости разностных схем с переменными коэффициентами иногда применяется принцип замороженных коэффициентов, сводящий задачу к уравнению с постоянными коэффициентами. Тогда уравнение 25 можно записать в виде. Принцип замороженных коэффициентов утверждает, что схема 25 устойчива, если условие 26 выполнено при всех допустимых значениях a x i , t , r x i , t , то есть если при всех x, t выполнены неравенства. В случае нелинейных уравнений, когда заранее неизвестны пределы изменения функции k u , избегают пользоваться явными схемами. Эта схема абсолютно устойчива, имеет первый порядок аппроксимации по t и второй — по h. Заметим, что схему 29 можно записать в виде. Здесь s — номер итерации. Это начальное приближение тем лучше, чем меньше шаг t. Число итераций M задается из соображений точности. Для приближенного решения нелинейного уравнения 28 применяются также схемы предиктор — корректор второго порядка точности, аналогичные методу Рунге — Кутта для обыкновенных дифференциальных уравнений. Приведем пример такой схемы. На первом этапе решается неявная линейная система уравнений. Все материалы в разделе "Математика". Исследование аппроксимации и сходимости. Разностные схемы для уравнения теплопроводности. Разностные схемы для уравнений параболического типа. Аппроксимация непрерывных функций многочленами. Краевые задачи и разностные схемы. Линейное программирование 2 4. Изучение методов интерполяции и аппроксимации. Аппроксимация функции с использованием нейронных сетей. Тема разностные фильтры и фильтры интегрирования.
Карта гатчины и гатчинского района
Гранта технические характеристики
Где слушать музыку на айфоне 5s