Система линейных алгебраических уравнений
Решение систем линейных уравнений методом подстановки и методом сложения
Системы линейных уравнений. Основные определения
Числа , , называются коэффициентами системы. Числа , называются свободными членами системы , — переменными системы. Тогда в матричной форме систему уравнений можно записать в виде. Решением системы называется значений переменных , при подстановке которых, все уравнения системы обращаются в верные числовые равенства. Всякое решение системы можно представить в виде матрицы - столбца. Тогда справедливо матричное равенство. Система уравнений называется совместной если она имеет хотя бы одно решение и несовместной если не имеет ни одного решения. Решить систему линейных уравнений это значит выяснить совместна ли она и в случае совместности найти её общее решение. Система называется однородной если все её свободные члены равны нулю. Однородная система всегда совместна, так как имеет решение. Ответ на вопрос существования решений линейных систем и их единственности позволяет получить следующий результат, который можно сформулировать в виде следующих утверждений относительно системы линейных уравнений с неизвестными. Система линейных уравнений 1 совместна тогда и только тогда когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной. Если ранг основной матрицы совместной системы линейных уравнений равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение. Если ранг основной матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений. Находят ранги основной и расширенной матрицы и если то система не совместна. Если , то система совместна, в этом случае находят какой-нибудь базисный минор - того порядка и берут соответствующие ему - уравнений системы, отбрасывая остальные. Те переменные, коэффициенты которых входят в базисный минор, называются главными, остальные переменных называют свободными. Выражения со свободными переменными переносят в правую часть. Находят выражение главных переменных через свободные и получают общее решение системы. Придавая свободным переменным произвольные значения получают все значения главных переменных. Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными. Запишем систему в матричном виде. Умножим обе части матричного уравнения слева на матрицу. Так как , то получаем , откуда получаем равенство для нахождения неизвестных. Методом обратной матрицы решить систему линейных уравнений. Обозначим через основную матрицу системы. Пусть , тогда решение найдем по формуле. Так как , то и система имеет единственное решение. Найдем все алгебраические дополнения. Обратная матрица найдена верно. Отсюда по формуле , найдем матрицу переменных. Сравнивая значения матриц, получим ответ: Запишем решение системы в матричном виде или. Таким образом, получаем формулы для нахождения значений неизвестных, которые называются формулами Крамера. Решить методом Крамера следующую систему линейных уравнений. Так как , то , система имеет единственное решение. На первом этапе расширенная матрица системы приводится с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду. После этого переменные считаются свободными и в каждом уравнении переносятся в правую часть. На втором этапе из последнего уравнения выражается переменная , полученное значение подставляется в уравнение. Этот процесс продолжается до первого уравнения. В результате получается выражение главных переменных через свободные переменные. Выпишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду. Так как больше числа неизвестных, то система совместна и имеет бесконечное множество решений. Запишем систему для ступенчатой матрицы. Определитель расширенной матрицы этой системы, составленный из трех первых столбцов не равен нулю, поэтому его считаем базисным. Перенесем ее во всех уравнениях в левую часть. Из последнего уравнения выражаем. Подставив значения переменных и в первое уравнение, найдем. Ответ запишем в следующем виде. FAQ Обратная связь Вопросы и предложения. Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Гомельский государственный университет им. Система видa называется системой - линейных уравнений с неизвестными. Матрица называется основной матрицей системы , а матрица — расширенной матрицей системы. Матрицы - столбцы и - соответственно матрицами свободных членов и неизвестных системы. Теорема Кронекера — Копелли. Ответ на вопрос существования решений линейных систем и их единственности позволяет получить следующий результат, который можно сформулировать в виде следующих утверждений относительно системы линейных уравнений с неизвестными 1 Теорема 2. Методы решения систем линейных уравнений. Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными причем , т. Запишем систему в матричном виде , где , ,. Методом обратной матрицы решить систему линейных уравнений Решение. Найдем все алгебраические дополнения , , , , , , , , Таким образом. Запишем решение системы в матричном виде или Отсюда Обозначим. Найдем определитель основной матрицы системы. Найдем остальные определители для формул Крамера , ,. По формулам Крамера находим значения переменных Ответ: Метод заключается в последовательном исключении переменных. Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов: На первом этапе расширенная матрица системы приводится с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду , где , которой соответствует система После этого переменные считаются свободными и в каждом уравнении переносятся в правую часть. Из этого уравнения выражается переменная. Решить методом Гаусса следующую систему Решение. Запишем систему для ступенчатой матрицы Определитель расширенной матрицы этой системы, составленный из трех первых столбцов не равен нулю, поэтому его считаем базисным. Переменные , будут базисными а переменная — свободной. Перенесем ее во всех уравнениях в левую часть Из последнего уравнения выражаем Подставив это значение в предпоследнее второе уравнение, получим откуда. Ответ запишем в следующем виде Ответ: Соседние файлы в папке Математика курс лекций 1 курс Точки перегиба и общее исследование функций. Собственные значения и векторы лин.
Едят ли пираний
Рецепты булочек из готового дрожжевого теста
Где ласкать девушке
Как настроить электронку
Установить windows 2003
Икеа волгоград адрес
Как изменить голос на видео в айфоне
Инструкция maunfeild mghe 64.62 w
Капремонт мкд водоснабжение и теплоснабжение кому делали
Новости рамонского района воронежской
Штрафы за негабаритный груз 2017
Где находится номер двигателя скания
Дом обоев нижний новгород пр кирова каталог
Приемы без правил торрент
Чтоб худели руки