Неоднородные уравнения со специальной правой частью - Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Уравнения с правой частью специального вида
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Дифференциальные уравнения. Учебно-практическое пособие. Авторы: Голодная Н.Ю., Одияко Н.Н., Шуман Г.И., редактор: Александрова Л.И.
Высшая математика — просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: Наш форум и библиотека: Не нашлось нужной задачи? Задайте вопрос на форуме! Высшая математика для чайников, или с чего начать? Векторы для чайников Скалярное произведение векторов Линейная не зависимость векторов. Базис векторов Переход к новому базису Векторное и смешанное произведение векторов Формулы деления отрезка в данном отношении Прямая на плоскости Простейшие задачи с прямой на плоскости Линейные неравенства Как научиться решать задачи по аналитической геометрии? Эллипс Гипербола и парабола Задачи с линиями 2-го порядка Как привести уравнение л. Полярные координаты Как построить линию в полярной системе координат? Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида. Множества и действия над ними Основы математической логики Формулы и законы логики Уравнения высшей математики Комплексные числа Выражения, уравнения и с-мы с комплексными числами Действия с матрицами Как вычислить определитель? Свойства определителя и понижение его порядка Как найти обратную матрицу? Матричные выражения Матричные уравнения Как решить систему линейных уравнений? Матричный метод решения системы Метод Гаусса для чайников Несовместные системы и системы с общим решением Как найти ранг матрицы? Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы. Примеры решений Замечательные пределы Методы решения пределов Бесконечно малые функции. Эквивалентности Правила Лопиталя Сложные пределы Пределы последовательностей Пределы по Коши. Примеры решений Логарифмическая производная Производные неявной, параметрической функций Простейшие задачи с производной Производные высших порядков Что такое производная? Производная по определению Как найти уравнение нормали? Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных. Графики и свойства элементарных функций Как построить график функции с помощью преобразований? Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи. Область определения функции двух переменных. Линии уровня Основные поверхности Предел функции 2 переменных Повторные пределы Непрерывность функции 2п Частные производные Частные производные функции трёх переменных Производные сложных функций нескольких переменных Как проверить, удовлетворяет ли функция уравнению? Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов. Примеры решений Метод замены переменной в неопределенном интеграле Интегрирование по частям Интегралы от тригонометрических функций Интегрирование дробей Интегралы от дробно-рациональных функций Интегрирование иррациональных функций Сложные интегралы Определенный интеграл Как вычислить площадь с помощью определенного интеграла? Теория для чайников Объем тела вращения Несобственные интегралы Эффективные методы решения определенных и несобственных интегралов S в полярных координатах S и V, если линия задана в параметрическом виде Длина дуги кривой S поверхности вращения Приближенные вычисления определенных интегралов Метод прямоугольников. Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты. Ряды для чайников Как найти сумму ряда? Признаки Коши Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница Ряды повышенной сложности. Степенные ряды Разложение функций в степенные ряды Сумма степенного ряда Равномерная сходимость Другие функциональные ряды Приближенные вычисления с помощью рядов Вычисление интеграла разложением функции в ряд Как найти частное решение ДУ приближённо с помощью ряда? Вычисление пределов Ряды Фурье. Двойные интегралы Как вычислить двойной интеграл? Примеры решений Двойные интегралы в полярных координатах Как найти центр тяжести плоской фигуры? Тройные интегралы Как вычислить произвольный тройной интеграл? Криволинейные интегралы Интеграл по замкнутому контуру Формула Грина. Работа силы Поверхностные интегралы. Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса. Примеры решений типовых задач комплексного анализа Как найти функцию комплексной переменной? Решение ДУ методом операционного исчисления Как решить систему ДУ операционным методом? Основы теории вероятностей Задачи по комбинаторике Задачи на классическое определение вероятности Геометрическая вероятность Задачи на теоремы сложения и умножения вероятностей Зависимые события Формула полной вероятности и формулы Байеса Независимые испытания и формула Бернулли Локальная и интегральная теоремы Лапласа Статистическая вероятность Случайные величины. Математическое ожидание Дисперсия дискретной случайной величины Функция распределения Геометрическое распределение Биномиальное распределение Распределение Пуассона Гипергеометрическое распределение вероятностей Непрерывная случайная величина, функции F x и f x Как вычислить математическое ожидание и дисперсию НСВ? Равномерное распределение Показательное распределение Нормальное распределение. Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом. Заказать контрольную Часто задаваемые вопросы Гостевая книга. Авторские работы на заказ. По высшей математике и физике. Данная статья является логическим продолжением урока Однородные уравнения второго и высших порядков. Как я уже отмечал, для того чтобы научиться решать неоднородные уравнения вида , необходимо уверенно щёлкать более простые однородные диффуры вида. Предполагаю, что вы уверенно расправляетесь с однородными уравнениями, если это не так, пожалуйста, посетите предыдущий урок. Неоднородные уравнения — это просто! А самых прилежных читателей в конце урока ждёт морковка подарок от Дедушки Мороза! Как решить линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами вида? Да-да, взять уравнение , откинуть правую часть: Данная задача подробно разобрана на уроке Однородные уравнения второго и высших порядков. Общее решение однородного уравнения я привык обозначать буквой. Сделать это можно так называемым способом подбора частного решения с применением метода неопределенных коэффициентов. Для освоения метода подбора будет жизненно необходим методический материал Как подобрать частное решение неоднородного уравнения? Данную справку лучше по возможности распечатать, очень удобно, если она будет перед глазами. Но не спешите вникать в эти таблицы, если являетесь чайником! Совершенно верно — следует просто приплюсовать завоёванные трофеи. Если изначально в условии сформулирована задача Коши найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям , то добавляется четвёртый этап:. Порядок нахождения частного решение для уравнения второго порядка уже немного рассмотрен на уроке Однородные уравнения второго и высших порядков. В случае с неоднородным диффуром принципы нахождения частного решения сохраняются. Составим и решим характеристическое уравнение: И вопрос, который вызывает затруднения чаще всего: В каком виде нужно искать частное решение? Прежде всего, смотрим на нашу правую часть: Тут у нас многочлен третьей степени. По идее, частное решение тоже следует искать в виде многочлена третьей степени: После предварительного анализа смотрим на корни характеристического уравнения , найденные на предыдущем этапе: В методическом материале Как подобрать частное решение неоднородного уравнения? После правильно выбранного подбора алгоритм пойдёт по накатанной колее. Используем метод неопределенных коэффициентов. Кто не знаком — узнает. Далее работаем с последним равенством — необходимо приравнять коэффициенты при соответствующих степенях и составить систему линейных уравнений. В картинках процесс выглядит так: Чтобы было еще проще, новичкам рекомендую предварительно сгруппировать подобные слагаемые: В данном случае система получилась очень простой, и многие из читателей справятся с ней даже устно. Таким образом, подобранное частное решение неоднородного уравнения: Сначала я проверяю, правильно ли решил квадратное уравнение. Осталось проверить, верно ли найдена вторая часть ответа подобранное частное решение: Это тоже довольно просто. Найдем первую и вторую производную: Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока. А поэтому повторим, по какой схеме подбирать частное решение: Сначала смотрим на правую часть и выдвигаем первую гипотезу: Далее смотрим на корни характеристического уравнения , , найденные в предыдущем пункте. Это два действительных корня, среди которых нет нуля. Данному случаю соответствует Раздел I справочного материала. То есть, частное решение дифференциального уравнения следует искать в виде: В ходе вычислений я не буду подробно расписывать производные. Подстановка, упрощение, сокращение, и в конце — приравнивание к исходной правой части. Таким образом, частное решение: Думаю, что после трёх разобранных примеров вы уже понимаете, как и на каком этапе надо использовать справочный материал Как подобрать частное решение неоднородного уравнения? Теперь всем читателям, в том числе чайникам, рекомендую прочитать справку полностью. Что произойдет, если мы неправильно подберём вид частного решения? Поначалу всё будет хорошо: Но далее перед глазами возникнет грустный факт: Совершенно понятно, что в конце нельзя приписать правую часть: Найти частное решение неоднородного уравнения, соответствующее заданным начальным условиям. Смотрим на правую часть неоднородного уравнения , и сразу появляется первая версия подбора: Далее смотрим на корни характеристического уравнения: В самом конце после упрощений приписываем исходную правую часть. Как уже отмечалось, порядок нахождения частного решения немного рассматривался на уроке Однородные уравнения второго и высших порядков. Далее находим производную от общего решения: Согласно второму начальному условию: Составим и решим систему: Сначала проверяем, выполняется ли начальное условие: Находим производную от ответа: Проверяем, выполняется ли второе начальное условие: Аналогично можно выполнить полную проверку любого общего решения с той лишь разницей, что не нужно проверять выполнение начальных условий. Найти общее решение неоднородного уравнения. Выясним, чему равны коэффициенты. Здесь первое уравнение умножено на 4, а затем проведено почленное вычитание: Если метод не знаком или позабылся, смотрите урок Как решить систему линейных уравнений? Таким образом, подобранное частное решение: Это пример для самостоятельного решения. Будьте внимательны при подборе частного решения! Полное решение и ответ в конце урока. В конце урока обещанные новогодние подарки. Что в новогодние праздники приносит Дедушка Мороз студентам? На этот вопрос ответ знаю только я. В Новый год Дедушка Мороз принесёт вам большой мешок неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. У меня их много. На самом деле очень хотелось рассмотреть и другие диффуры, но таки статья должна укладываться в разумные размеры, чтобы Коши действительно не зашептал не обиделись поисковики, Яшенька, бедный, и так у нас очень глючный. Для следующих примеров полного решения не будет, будут только готовые ответы в конце урока. Среди предлагаемых ДУ есть как несложные диффуры, так и уравнения повышенной сложности. Придерживайтесь алгоритма, будьте внимательны и успешного вам дифференцирования! Но, как оптимист, предполагаю, что данные уравнения сможет решить не такой уж маленький процент студентов! Однако и это ещё не все! По многочисленным просьбам я написал статью о линейных неоднородных ДУ высших порядков , где раскрыл дополнительные и очень полезные приёмы решения. В частности, за какую-то пару минут вы научитесь… вообще обходиться без справочной таблицы!! К слову, о таблице. Наверное, многие, ознакомившись этим справочным материалом, заметили, что в правой части рассматривается ограниченный класс функций: И в таких случаях существует метод решения! Подбор не прокатывает, и приходится использовать очень мощный и универсальный метод вариации произвольных постоянных. Подставим найденные производные в левую часть неоднородного уравнения: Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях, составим и решим систему. Проверим, правильно ли найдено частное решение. Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях, составим и решим систему: В ходе решения данной системы использован метод почленного сложения уравнений системы, освежить материал можно на странице Как решить систему линейных уравнений? Смотрим Раздел V справочного материала. Потому что в правой части отсутствует синус, формально правую часть можно было записать так: Как можно отблагодарить автора? Качественные работы без плагиата — Zaochnik. Копирование материалов сайта запрещено. Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида Элементы высшей алгебры: Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы Пределы: Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных Функции и графики: Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи ФНП: Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов Интегралы: Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты Числовые ряды: Признак Лейбница Ряды повышенной сложности Функциональные ряды: Примеры решений Кратные интегралы: Работа силы Поверхностные интегралы Элементы векторного анализа: Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса Комплексный анализ: Подготовка к ЕГЭ По высшей математике и физике Помогут разобраться в теме, подготовиться к экзамену.
Сначала кратко остановимся на необходимой теории, далее подробно опишем решения типовых примеров и задач. Если Вам будут встречаться незнакомые термины, то обращайтесь к статье основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид , где p и q — произвольные действительные числа, а функция f x — непрерывна на интервале интегрирования X. Общее решение на интервале X линейного неоднородного дифференциального уравнения с непрерывными на интервале интегрирования X коэффициентами и непрерывной функцией f x равно сумме общего решения соответствующего ЛОДУ и какого-нибудь частного решения исходного неоднородного уравнения, то есть,. Таким образом, общим решением линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами является сумма общего решения соответствующего ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и частного решения исходного ЛНДУ: Нахождение описано в статье линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и нам осталось научиться определять. Существует несколько методов нахождения частного решения ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Методы выбираются в зависимости от вида функции f x , стоящей в правой части уравнения. Перечислим их и разберем решения соответствующих линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Так как - частное решение уравнения , то коэффициенты, определяющие многочлен Q n x , находятся методом неопределенных коэффициентов из равенства. Решите задачу Коши ,. Другими словами, нам требуется найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами , удовлетворяющее начальным условиям. Мы знаем, что общее решение линейного неоднородного уравнения представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения , то есть,. Сначала найдем общее решение ЛНДУ, далее займемся частным решением. Для этого записываем характеристическое уравнение и находим его корни. Корни действительные и различные, поэтому,. Так как правая часть исходного уравнения есть многочлен второй степени и один корень характеристического уравнения равен нулю, то частное решение ищем в виде , где А , В и С — неопределенные коэффициенты. Эти коэффициенты определим из равенства. Приравнивая коэффициенты при одинаковых показателях степени x , приходим к системе линейных уравнений. Решая ее любым способом при необходимости обращайтесь к статье решение систем линейных алгебраических уравнений , получаем искомые неопределенные коэффициенты. Это есть общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям. То есть, требуется определить такие C 1 и C 2 в равенстве , чтобы выполнялись условия. Таким образом, получаем систему уравнений. Следовательно, решением задачи Коши является функция. Если функция f x представлена произведением многочлена степени n и экспоненты , то частное решение ЛНДУ второго порядка ищется в виде , где Q n x — многочлен n-ой степени, r — число корней характеристического уравнения, равных. Коэффициенты многочлена Q n x определяются из равенства. Найти общее решение дифференциального уравнения. Общее решение имеет вид. Нашему уравнению соответствует ЛОДУ. Поэтому , где А , В и С — неизвестные коэффициенты. Эти коэффициенты находим из равенства. Приравнивая коэффициенты при одинаковых показателях степени x , получаем систему линейных уравнений, откуда определяем неизвестные коэффициенты А , В и С. Следовательно, - частное решение исходного ЛНДУ и - общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Если функция f x имеет вид , где А 1 и В 1 — числа, то частное решение ЛНДУ представляется как , где А и В — неопределенные коэффициенты, r — число комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения равных. Коэффициенты многочлена А и В находятся из равенства. Находим сначала , для этого записываем характеристическое уравнение и решаем его: Получили пару комплексно сопряженных корней, поэтому,. Так как корни характеристического уравнения есть комплексно сопряженная пара , а , то будем искать в виде , где А и В — неизвестные коэффициенты. Эти коэффициенты найдем из равенства. Приравниваем коэффициенты при синусах и при косинусах: Следовательно, и общее решение исходного ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид. Коэффициенты многочленов L m x и N m x находятся из равенства. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Коэффициенты А , В , С и D найдем из равенства. После нахождения производных и приведения подобных слагаемых имеем. Приравниваем соответствующие коэффициенты в предыдущем равенстве мы их расположили по строкам и решаем полученную систему линейных уравнений любым методом: Для любого другого вида функции f x применяется следующий алгоритм действий:. Найдите общее решение дифференциального уравнения. Находим сначала , для этого записываем характеристическое уравнение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения и решаем его: Варьируем произвольные постоянные, то есть, общее решение исходного уравнения ищем в виде. Определим производные функций C 1 x и C 2 x из системы уравнений: Решаем систему относительно неизвестных и любым способом. Проинтегрировав каждое уравнение при необходимости обратитесь к разделу методы интегрирования , получаем. Следовательно, общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид. Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www. Дифференциальные уравнения, примеры, решения Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Имеем С другой стороны. Так как то Приравнивая коэффициенты при одинаковых показателях степени x , получаем систему линейных уравнений, откуда определяем неизвестные коэффициенты А , В и С. Имеем Поэтому Приравниваем коэффициенты при синусах и при косинусах: После нахождения производных и приведения подобных слагаемых имеем Приравниваем соответствующие коэффициенты в предыдущем равенстве мы их расположили по строкам и решаем полученную систему линейных уравнений любым методом: Таким образом, и Это есть общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Ее решениями являются Проинтегрировав каждое уравнение при необходимости обратитесь к разделу методы интегрирования , получаем Следовательно, общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Переработка при суммированном учете рабочего времени год
Схемы односкатных стропильных крыш
Full перевод на русский язык
Кинотеатр спектр теплом стане расписание сеансов
3d карта мира на стену
Красивые пожелания с добрым утром