Действия над вероятностями
Тема 3.1. Вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Теорема сложения вероятностей для несовместных событий.
К оглавлению К предыдущему разделу. Теорема сложения вероятностей и ее следствия. Вероятность суммы двух случайных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их пересечения: Верно следующее обобщение формулы для трех слагаемых: Верно следующее обобщение формулы для слагаемых: Событие А называется независимым от события В, вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет. Для учета таких случаев вводится понятие условной вероятности события. Если на первом кубике выпала 1, то возможными исходами опыта являются исходы. Вероятность произведения двух событий совместного появления этих событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило: Докажем теорему для случая, когда опыт имеет конечное число несовместных равновероятных исходов. Обобщим теорему на случай трех событий: В группе 20 студентов. Из них двое курят, 12 — в очках, 6 — курят и носят очки. Найти вероятность того, что студент курит, если он носит очки. События называются независимыми, если появление одного из них не влияет на вероятность появления другого: Если события независимые, то теорема умножения вероятностей принимает вид: Бросают три монетки и игральную кость. Пространством элементарных исходов опыта является множество. Независимость в совокупности и попарная независимость событий — понятия разные. На последней грани присутствуют все три цвета. Случайным образом выбирают грань. Желтый цвет имеется на двух гранях из четырех, т. Вероятность того, что на выпавшей грани есть два цвета - , то есть. Однако события не являются независимыми в совокупности: О появлении хотя бы одного из независимых событий. Поскольку по закону Д е Моргана. Из полной колоды карт 52 шт. Найти вероятность того, что среди этих четырех карт будет хотя бы одна бубновая карта. Вероятность хотя бы одного попадания в мишень стрелком при трех выстрелах равна 0, Найти вероятность попадания в мишень при одном выстреле. Если обозначить р — вероятность попадания стрелком в мишень при одном выстреле, то вероятность промаха при одном выстреле, очевидно, равна 1 — р. Вероятность трех промахов из трех выстрелов равна 1 — р 3. Чему равна вероятность того, что при бросании трех игральных костей 6 очков появится хотя бы на одной из костей? Вероятность выпадения 6 очков при одном броске кости событие равна. Вероятность того, что не выпадет 6 очков событие -. Вероятность того, что при броске трех костей не выпадет ни разу 6 очков равна. Тогда вероятность того, что хотя бы один раз выпадет 6 очков, равна. Один из трех стрелков производит два выстрела. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для первого стрелка равна 0,4, для второго — 0,6, для третьего — 0,8. Найти вероятность того, что в цель попадут два раза. Вероятность того, что выстрелы производит первый, второй или третий стрелок равна. Вероятности того, что один из стрелков, производящих выстрелы, два раза попадает в цель, равны: В барабане револьвера находятся 4 патрона из шести в произвольном порядке. Барабан раскручивают, после чего нажимают на спусковой крючок два раза. Найти вероятности следующих событий: Вероятность выстрела при первом нажатии на курок в условиях задачи -. Вероятность того, что при втором нажатии на курок будет выстрел, если первым был выстрел, - , поскольку неизрасходованных патронов осталось 3, и гнезд, которые могут оказаться напротив бойка 5. Таким образом, вероятность двух последовательных выстрелов. Вероятность осечки при первом нажатии на курок в условиях задачи равна. Таким образом, вероятность двух последовательных осечек. Найдем вероятность хотя бы одного выстрела при двух нажатиях на курок событие. Эти четыре случая образуют полную группу событий сумма их вероятностей равна единице. Теперь рассмотрим другой случай. Предположим, что после первого нажатия на курок барабан раскрутили и опять нажали на курок. Условные вероятности второго выстрела и осечки вычисляются из условия, что напротив бойка может оказаться то же гнездо, что и в первый раз. Вероятности первого выстрела и первой осечки не изменились - ,. В этом случае вероятность того, что произойдет хотя бы один выстрел, равна. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго — 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков. Обозначим попадание в цель первым стрелком — событие А , вторым — событие В, промах первого стрелка — событие , промах второго — событие. Вероятность того, что первый стрелок попадет в мишень, а второй — нет равна. Вероятность того, что второй стрелок попадет в цель, а первый — нет равна. Тот же результат можно получить другим способом — находим вероятности того, что оба стрелка попали в цель и оба промахнулись. Эти вероятности соответственно равны: Тогда вероятность того, что в цель попадет только один стрелок равна: Вероятности того, что нужная деталь находится в первом, втором, третьем или четвертом ящике, соответственно равны 0,6, 0,7, 0,8, 0,9. Найти вероятности того, что эта деталь находится: Вероятность того, что нужная деталь находиться не более, чем в трех ящиках равна вероятности того, что она не находится во всех четырех ящиках. Конечно, эти вероятности можно посчитать, а потом сложить, однако, проще поступить иначе. Та же вероятность равна вероятности того, что деталь не находится только в одном ящике и имеется вообще. Вероятность того, что нужной деталь нет ни в одном ящике, равна: Последовательно послано четыре радиосигнала. Вероятности приема каждого из них не зависят от того, приняты ли остальные сигналы, или нет. Вероятности приема сигналов равны соответственно 0,2, 0,3, 0,4, 0,5. Определить вероятность приема трех радиосигналов. Событие приема трех сигналов из четырех возможно в четырех случаях: Для приема трех сигналов необходимо совершение одного из событий А , В, С или D. Таким образом, находим искомую вероятность: К следующему разделу К оглавлению.
Событие А называется частным случаем события В , если при наступлении А наступает и В. То, что А является частным случаем В , записываем. События А и В называются равными, если каждое из них является частным случаем другого. Теорема о сложении вероятностей. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Если случайные события образуют полную группу несовместных событий, то имеет место равенство. Произведением событий А и В называется событие АВ , которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Случайные события А и B называются совместными , если при данном испытании могут произойти оба эти события. Теорема о сложении вероятностей 2. Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле. События событий А и В называются независимыми , если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В , если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет. Теорема об умножении вероятностей. Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:. Вероятность произведения зависимых событий вычисляется по формуле условной вероятности см. В первом ящике 1 белый и 5 черных шаров, во втором 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой — черный. А — вынули белый шар из первого ящика, ;. Нам нужно, чтобы произошло одно из событий или. По теореме об умножении вероятностей ,. Тогда искомая вероятность по теореме сложения будет. Вероятность попадания в цель у первого стрелка 0,8, у второго — 0,9. Стрелки делают по выстрелу. Тогда - промах первого, ;. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках равны 0,6; 0,7 и 0,8. Найти вероятности того, что формула содержится 1 только в одном справочнике; 2 только в двух справочниках; 3 во всех трех справочниках. Пусть в результате испытания могут появиться n событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них в частности, только одно или ни одного , причем вероятности появления каждого из событий известны. Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий? Например, если в результате испытания могут появиться три события, то появление хотя бы одного из этих событий означает наступление либо одного, либо двух, либо трех событий. Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий. Если события имеют одинаковую вероятность , то формула принимает простой вид:. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: Найти вероятность хотя бы одного попадания событие А при одном залпе из всех орудий. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события попадание первого орудия , попадание второго орудия и попадание третьего орудия независимы в совокупности. Вероятности событий, противоположных событиям , и т. В типографии имеется 4 плоскопечатных машины. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одна машина событие А. События "машина работает" и "машина не работает" в данный момент — противоположные, поэтому сумма их вероятностей равна единице: Отсюда вероятность того, что машина в данный момент не работает, равна. Так как полученная вероятность весьма близка к единице, то на основании следствия из принципа практической невозможности маловероятных событий мы вправе заключить, что в данный момент работает хотя бы одна из машин. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадает в цель, равна 0,4. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 он попал в цель хотя бы один раз? Обозначим через А событие "при n выстрелах стрелок попадает в цель хотя бы один раз". События, состоящие в попадании в цель при первом, втором выстрелах и т. Приняв во внимание, что, по условию, следовательно, , получим. Итак, , то есть стрелок должен произвести не менее 5 выстрелов. МатБюро работает на рынке решения математических задач уже 11 лет. Грамотное и подробное решение за разумную стоимость. Учебник по теории вероятностей Сложение и умножение вероятностей. МатБюро Теория вероятностей Учебник по теории вероятностей Сложение и умножение вероятностей. Учебник по теории вероятностей 1. А — вынули белый шар из первого ящика, ; - вынули черный шар из первого ящика, ; В — белый шар из второго ящика, ; - черный шар из второго ящика,. Пусть А — попадание первого стрелка, ; В — попадание второго стрелка,. Тогда - промах первого, ; - промах второго,. А — формула содержится в первом справочнике; В — формула содержится во втором справочнике; С — формула содержится в третьем справочнике. Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей. Отсюда вероятность того, что машина в данный момент не работает, равна Искомая вероятность Так как полученная вероятность весьма близка к единице, то на основании следствия из принципа практической невозможности маловероятных событий мы вправе заключить, что в данный момент работает хотя бы одна из машин. Приняв во внимание, что, по условию, следовательно, , получим Прологарифмируем это неравенство по основанию Вы можете заказать контрольную работу по теории вероятности Форма экспресс-заказа. Количество Более выполненных заказов Цены Разумные и обоснованные цены Опыт Помогаем студентам в решении задач уже 11 лет Кредо Качество, ответственность и уважение И еще Мы рады выполнить ваш заказ. Контакты Поиск по сайту Карта сайта Вакансии.
Детство там где
История научной библиотеки
Сколько детского пюре в чайной ложке
Статья 134 часть 3 ук рф
Кто выиграл в матче португалия