С помощью метода множителей Лагранжа по существу устанавливаются необходимые условия, позволяющие идентифицировать точки оптимума в задачах оптимизации с ограничениями в виде равенств. При этом задача с ограничениями преобразуется в эквивалентную задачу безусловной оптимизации, в которой фигурируют некоторые неизвестные параметры, называемые Множителями Лагранжа. Рассмотрим задачу минимизации функции N переменных с учетом одного ограничения в виде равенства:. Минимизировать F X 1 , X 2 , …, XN. В соответствии с методом множителей Лагранжа эта задача преобразуется в следующую задачу безусловной оптимизации:. Функция L X ; V называется функцией Лагранжа, V — неизвестная постоянная, которая носит название Множителя Лагранжа. Для того чтобы проверить, соответствует ли стационарная точка X 0 Минимуму, вычислим элементы матрицы Гессе функции L X ; V , рассматриваемой как функция Х ,. Которая оказывается положительно определенной. Это означает, что L X ; V — выпуклая функция Х. Таким образом, условный минимум достигается при. При решении задачи из Примера 66 мы рассматривали L X ; V как функцию двух переменных Х1 и Х2 и, кроме того, предполагали, что значение параметра V выбрано так, чтобы выполнялось ограничение. Если же решение системы. Для нахождения всех возможных решений данной системы можно использовать численные методы поиска. Для каждого из решений X 0 ; V 0 следует вычислить элементы матрицы Гессе функции L , рассматриваемой как функция Х , и выяснить, является ли эта Матрица положительно определенной локальный минимум или отрицательно определенной локальный максимум. Матрица Гессе функции L X ; V , рассматриваемой как функция Х , равна. Следовательно, X 2 ; V 2 соответствует максимуму функции L , рассматриваемой как функция Х ; оптимальное решение. Заметим, что X 1 ; V 1 соответствует минимуму L. Здесь необходимо подчеркнуть, что если мы рассмотрим L как функцию трех переменных, а именно переменных х1, х2 и V , то точки X 1 ; V 1 и X 2 ; V 2 не окажутся точками минимума или максимума L как функции X и V. На самом деле они являются Седловыми точками функции L X ; V. Метод множителей Лагранжа можно распространить на случай, когда задача имеет несколько ограничений в виде равенств. Рассмотрим общую задачу, в которой требуется. Здесь V 1 , V 2 , …, Vk — множители Лагранжа, т. Приравнивая частные производные L по Х к нулю, получаем следующую систему N уравнений с N неизвестными:. Если найти решение приведенной выше системы в виде функций вектора V оказывается затруднительным, то можно расширить систему путем включения в нее ограничений в виде равенств. Затем реализуется процедура проверки на минимум или максимум, которая проводится на основе вычисления элементов матрицы Гессе функции L , рассматриваемой как функция Х , подобно тому, как это было проделано в случае задачи с одним ограничением. Следует, однако, отметить, что на практике такие задачи встречаются достаточно редко. Так же решение контрольных, написание курсовых и рефератов по другим предметам. Решение контрольных по математике!!! Связаться с нами E-mail: Главное меню Главная Заказать контрольную Цены Оплата FAQ Отзывы клиентов Ссылки Примеры решений Методички по математике Помощь по другим предметам. Home Методички по математике Методы оптимизации. Множители Лагранжа С помощью метода множителей Лагранжа по существу устанавливаются необходимые условия, позволяющие идентифицировать точки оптимума в задачах оптимизации с ограничениями в виде равенств. Для начала рассмотрим случай для функции двух переменных. Рассмотрим задачу минимизации функции N переменных с учетом одного ограничения в виде равенства: Соответствующая задача безусловной оптимизации записывается в следующем виде: Минимизировать Приравняв две компоненты градиента L к нулю, получим Для того чтобы проверить, соответствует ли стационарная точка X 0 Минимуму, вычислим элементы матрицы Гессе функции L X ; V , рассматриваемой как функция Х , Которая оказывается положительно определенной. Таким образом, условный минимум достигается при При решении задачи из Примера 66 мы рассматривали L X ; V как функцию двух переменных Х1 и Х2 и, кроме того, предполагали, что значение параметра V выбрано так, чтобы выполнялось ограничение. Минимизировать При ограничении Решение. Эта система трех уравнений с тремя неизвестными имеет два решения: Следовательно, X 2 ; V 2 соответствует максимуму функции L , рассматриваемой как функция Х ; оптимальное решение Заметим, что X 1 ; V 1 соответствует минимуму L. Функция Лагранжа принимает следующий вид: Приравнивая частные производные L по Х к нулю, получаем следующую систему N уравнений с N неизвестными:
Классическая задача оптимизации подразумевает в качестве ограничений использовать только уравнения и не предусматривает условие неотрицательности переменных:. Следовательно, решив систему уравнений, получают все точки, в которых функция может иметь экстремальные значения. Далее, чтобы выбрать оптимальное решение необходимо проанализировать все полученные решения, опираясь на интерпретацию поставленной задачи, т. Решая систему уравнений, находим точки, в которых целевая функция задачи может иметь экстремум. Среди точек, в которых ожидается возможность экстремума, находят такие, в которых достигается экстремум и вычисляют значение функции в них. Предприятию необходимо изготовить изделий. Это можно сделать двумя технологическими способами. При производстве х1 изделий I способом затраты равны у. Определить сколько изделий следует изготовить каждым из способов, чтобы общие затраты на производство были минимальны. Найдем минимальное значение целевой функции, не учитывая требования неотрицательности переменных. Это точка возможного экстремума. Вычислив значение целевой функции для найденных значений переменных, получим Используя вторые производные функции, можно показать, что найденная точка есть точка минимума целевой функции, следовательно, задача решена. Изучить теоретический материал по решению задач нелинейного программирования. Разработать программу, реализующую метод решения задач нелинейного программирования. Язык программирования выбрать по своему усмотрению. Программа должна иметь удобный и простой в понимании пользовательский интерфейс. Предусмотреть вывод на экран промежуточных результатов. В качестве входных данных использовать математическую модель, перечисление переменных. В качестве выходных данных значения найденных переменных и значение целевой функции. С помощью разработанной программы решить задачу, выбранную по варианту задания. Вариант задания выбирается по последней цифре зачетной книжки если последняя цифра—0, то выбирается 10 вариант. FAQ Обратная связь Вопросы и предложения. Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Методы определения параметров модели. Нелинейное программирование Теоретические основы 1. Постановка задачи Классическая задача оптимизации подразумевает в качестве ограничений использовать только уравнения и не предусматривает условие неотрицательности переменных: Пример решения задачи нп методом множителей Лагранжа Условие задачи: По результатам лабораторной работы оформить и защитить отчет.
https://gist.github.com/6128ff7d0b718790248669e2504f2e14
https://gist.github.com/ef8c42491f62acf1babb94470a51330a
https://gist.github.com/7d242e851c488dc1b67eefb66a261aa6