Ссылка на файл: >>>>>> http://file-portal.ru/Кривые второго порядка таблица/
Конев В.В. Кривые и поверхности второго порядка
Кривые второго порядка
§ 8.4. Кривые второго порядка
Установим на плоскости прямоугольную систему координат и рассмотрим общее уравнение второй степени. Множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению 8. Для всякой кривой второго порядка существует прямоугольная система координат, называемая канонической, в которой уравнение этой кривой имеет один из следующих видов: Уравнения 1 —9 называются каноническими уравнениями кривых второго порядка. Решение задачи приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду включает нахождение канонического уравнения кривой и канонической системы координат. Приведение к каноническому виду позволяет вычислить параметры кривой и определить ее расположение относительно исходной системы координат. Инвариантами кривой второго порядка 8. Для кривой второго порядка 8. При этом не исключается совпадение фокусов эллипса. Если фокусы совпадают, то эллипс представляет собой окружность. Полусумму расстояний от точки эллипса до его фокусов обозначают через а , половину расстояний между фокусами — с. Если прямоугольная система координат на плоскости выбрана так, что фокусы эллипса располагаются на оси О x симметрично относительно начала координат, то в этой системе координат эллипс задается уравнением. При указанном выборе прямоугольной системы координат эллипс симметричен относительно осей координат и начала координат. Оси симметрии эллипса называют его осями , а центр его симметрии — центром эллипса. Вместе с тем часто осями эллипса называют числа 2 a и 2 b , а числа a и b — большой и малой полуосью соответственно. Точки пересечения эллипса с его осями называются вершинами эллипса. Вершины эллипса имеют координаты а , 0 , — а , 0 , 0, b , 0, — b. Отсюда видно, что эксцентриситет характеризует форму эллипса: Пусть — произвольная точка эллипса, и — расстояния от точки М до фокусов F 1 и F 2 соответственно. Числа r 1 и r 2 называются фокальными радиусами точки М эллипса и вычисляются по формулам. Директрисами отличного от окружности эллипса с каноническим уравнением 8. Пусть расстояние между фокусами равно 2 с , а указанный модуль разности расстояний равен 2 а. Выберем прямоугольную систему координат так же, как и для эллипса. В этой системе координат гипербола задается уравнением. При данном выборе прямоугольной системы координат оси координат являются осями симметрии гиперболы, а начало координат — ее центром симметрии. Оси симметрии гиперболы называют ее осями , а центр симметрии — центром гиперболы. Прямоугольник со сторонами 2 a и 2 b , расположенный, как показано на рис. Числа 2 a и 2 b — оси гиперболы, а числа a и b — ее полуоси. Прямые, являющиеся продолжением диагоналей основного прямоугольника, образуют асимптоты гиперболы. Точки пересечения гиперболы с осью Ox называются вершинами гиперболы. Вершины гиперболы имеют координаты а , 0 , — а , 0. Отсюда видно, что эксцентриситет характеризует форму основного прямоугольника и, следовательно, форму самой гиперболы: Пусть — произвольная точка гиперболы, и — расстояния от точки М до фокусов F 1 и F 2 соответственно. Числа r 1 и r 2 называются фокальными радиусами точки М гиперболы и вычисляются по формулам. Директрисами гиперболы с каноническим уравнением 8. Директрисы гиперболы пересекают основной прямоугольник и проходят между центром и соответствующей вершиной гиперболы рис. Выберем начало О прямоугольной системы координат в середине отрезка [ FD ], представляющего собой перпендикуляр, опущенный из фокуса F на директрису предполагается, что фокус не принадлежит директрисе , а оси Ox и Oy направим так, как показано на рис. Пусть длина отрезка [ FD ] равна p. Тогда в выбранной системе координат и каноническое уравнение параболы имеет вид. Парабола имеет ось симметрии, которая называется осью параболы. Точка пересечения параболы с ее осью называется вершиной параболы. Если парабола задана своим каноническим уравнением 8. Очевидно, вершиной параболы является начало координат. Составьте уравнение этого эллипса. Будем считать систему координат прямоугольной. Тогда расстояние от точки А до директрисы в соответствии с соотношением 8. Расстояние от точки А до фокуса F равно. Тогда расстояние от точки М до директрисы по формуле 8. Поскольку для любой точки эллипса отношение есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса, отсюда имеем. Найдите каноническую систему координат и каноническое уравнение этой кривой. Квадратичная форма имеет матрицу. Следовательно, в ортонормированном базисе из собственных векторов матрицы А рассматриваемая квадратичная форма имеет канонический вид. Перейдем к построению матрицы ортогонального преобразования переменных, приводящего рассматриваемую квадратичную форму к указанному каноническому виду. Для этого будем строить фундаментальные системы решений однородных систем уравнений и ортонормировать их. При эта система имеет вид. Ее общим решением является. Здесь одна свободная переменная. Поэтому фундаментальная система решений состоит из одного вектора, например, из вектора. Нормируя его, получим вектор. При также построим вектор. Векторы и уже ортогональны, так как относятся к различным собственным значениям симметричной матрицы А. Они составляют канонический ортонормированный базис данной квадратичной формы. Из столбцов их координат строится искомая ортогональная матрица матрица поворота. Проверим правильность нахождения матрицы Р по формуле , где — матрица квадратичной формы в базисе:. Применяя теорию инвариантов, определите тип и составьте каноническое уравнение кривой. Его корни и позволяют записать каноническое уравнение кривой. В задачах этого параграфа координаты x , y предполагаются прямоугольными. Для эллипсов и найдите:. Найдите второй фокус и вторую директрису эллипса. Составьте уравнение эллипса, фокусы которого имеют координаты 1, 0 и 0, 1 , а большая ось равна двум. Точка принадлежит гиперболе, фокус которой , а соответствующая директриса задана уравнением. Составьте уравнение этой гиперболы. Составьте уравнение параболы, если даны ее фокус и директриса. Даны вершина параболы и уравнение директрисы. Составьте уравнение этой параболы. Составьте уравнение кривой второго порядка, зная ее эксцентриситет , фокус и соответствующую директрису. Определите тип кривой второго порядка, составьте ее каноническое уравнение и найдите каноническую систему координат:. Найдите длины полуосей и эксцентриситет этого эллипса, координаты центра и фокусов, составьте уравнения осей и директрис. Найдите длины полуосей и эксцентриситет этой гиперболы, координаты центра и фокусов, составьте уравнения осей, директрис и асимптот. Найдите параметр этой параболы, координаты вершин и фокуса, составьте уравнения оси и директрисы. Каждое из следующих уравнений приведите к каноническому виду. Изобразите на чертеже соответствующую кривую второго порядка относительно исходной прямоугольной системы координат:. Применяя теорию инвариантов, определите тип и составьте каноническое уравнение кривой:. FAQ Обратная связь Вопросы и предложения. Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Кривые второго порядка Установим на плоскости прямоугольную систему координат и рассмотрим общее уравнение второй степени , 8. Если прямоугольная система координат на плоскости выбрана так, что фокусы эллипса располагаются на оси О x симметрично относительно начала координат, то в этой системе координат эллипс задается уравнением , 8. Эксцентриситетом эллипса называется число. Директрисы эллипса расположены вне эллипса рис. В этой системе координат гипербола задается уравнением , 8. Эксцентриситетом гиперболы называется число. Числа r 1 и r 2 называются фокальными радиусами точки М гиперболы и вычисляются по формулам Директрисами гиперболы с каноническим уравнением 8. Расстояние от точки А до фокуса F равно , что позволяет определить эксцентриситет эллипса. Поскольку для любой точки эллипса отношение есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса, отсюда имеем , или , или. Кривая задана уравнением в прямоугольной системе координат. При эта система имеет вид Ее общим решением является. Проверим правильность нахождения матрицы Р по формуле , где — матрица квадратичной формы в базисе: Матрица Р найдена верно. Выполним преобразование переменных и запишем уравнение данной кривой в новой прямоугольной системе координат со старым центром и направляющими векторами: Получили каноническое уравнение эллипса. В силу того, что результирующее преобразование прямоугольных координат определяется формулами , , каноническая система координат имеет начало и направляющие векторы. Поскольку и , в соответствии с табл. Его корни и позволяют записать каноническое уравнение кривой , где С находится из условия , или. Искомое каноническое уравнение кривой. Для эллипсов и найдите: Составьте уравнение параболы, фокус которой находится в точке и директриса задана уравнением. Определите тип кривой второго порядка, составьте ее каноническое уравнение и найдите каноническую систему координат: Докажите, что кривая второго порядка, заданная уравнением , является эллипсом. Докажите, что кривая второго порядка, заданная уравнением , является гиперболой. Докажите, что кривая второго порядка, заданная уравнением , является параболой. Изобразите на чертеже соответствующую кривую второго порядка относительно исходной прямоугольной системы координат: Применяя теорию инвариантов, определите тип и составьте каноническое уравнение кривой: Соседние файлы в папке сборник Пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке. Пара параллельных прямых различных, мнимых или совпадающих.
Дом 15 значение
Нана сколько участников группе
Образец разбора предложения 3 класс
Классификация кривых второго порядка графики формулы (Таблица)
Причины поражения русских войск в восточной пруссии
Право на охрану здоровья вид права
Монополия сколько денег в начале
Кривая второго порядка
Схемы джемперов связанныхна спицах
Каталог джинсов гесс в спб 2017
Кривые второго порядка
Ручные роликовые листогибысвоими руками
Контурная карта африки 7 класс распечатать
Как сделать описание предмета в майнкрафт
Классификация кривых второго порядка графики формулы (Таблица)
Макароны с баклажанами