Основные элементарные функции, их свойства и графики.
СОДЕРЖАНИЕ ПОНЯТИЯ “ФУНКЦИЯ БИБЛИОТЕКИ”
1.2. Понятие функции
Функция - это одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами. В различных науках и областях человеческой деятельности возникают количественные соотношения, и математика изучает их в виде свойств чисел. Математика рассматривает абстрактные переменные величины и в отвлеченном виде, изучает различные законы их взаимосвязи, которые на математическом языке называются функциональными зависимостями, или функциями. И где бы конкретно ни появилась эта зависимость, сделанное абстрактное математическое заключение можно применять в конкретной ситуации к любым конкретным объектам. Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым диалектика. Энгельс Понятие функции для математики и ее приложений, связанных с изучением переменных величин, столь же фундаментально, как понятие числа при изучении количественных соотношений реального мира. Математическое описание понятия функциональной зависимости или функции состоит в следующем. При изменении значений аргумента значения , вообще говоря, меняются в зависимости от значения. Совокупность всех значений, которые функция принимает на элементах множества , называют множеством значений функции и иногда обозначают через. В частности, если это множество состоит только из одного элемента , то функция называется постоянной на множестве. Например, авиапассажиры сидят в креслах салона пассажирского авиалайнера. Тогда возникает естественное соответствие: Если заполнены не все кресла , то множество значений функции будет подмножеством , не совпадающим со всем множеством. Отображение - наиболее распространенный из них. Для функции отображения приняты следующие обозначения: Рассмотрим еще несколько примеров, поясняющих понятие функции. В них употребляются названные синонимы и введенная терминология. Здесь и область определения и область значений функции являются числовыми множествами. Такие функции обычно называют числовыми. Числовые функции являются основным, но далеко не единственным видом функций. ВЛАДИМИР АНДРЕЕВИЧ СТЕКЛОВ В. Стеклов - русский советский математик, видный организатор советской науки. В трудные для нашей страны годы гражданской войны академик В. Стеклов был избран вице-президентом Академии наук Он взял на себя громадный труд по административно-хозяйственной и организационно-научной деятельности. Стеклова и других ученых. Они обсуждали состояние научно-исследовательской работы в РСФСР. После этой беседы В. При непосредственном участии Стеклова был разработан и проведен в жизнь ряд решений, способствовавших развитию науки в нашей стране. Стеклова Математическому институту АН СССР было присвоено его имя. Ученый принимал активное участие в многочисленных комиссиях и комитетах Академии наук, участвовал в работах по изучению Курской магнитной аномалии, входил в Международную комиссию по изданию трудов Л. Но главным делом жизни Стеклова были научные исследования, которые он начал в Харьковском университете под руководством русского математика А. Первоначально Стеклов изучал движение твердого тела в жидкости и некоторые вопросы теории упругости, а затем перешел к изучению общих проблем, связанных с решением уравнений математической физики. Он изучил разложения функций в ряды по многочленам специального вила этой темой много занимались П. Чебышев и его ученики , дал общее условие разложимости функций в ряд по заданной системе функций, которое, как выяснилось позднее, и является бесконечномерным обобщением теоремы Пифагора, применил полученные результаты к решению различных проблем, в том числе к решению важного для математической физики уравнения Лапласа этому уравнению удовлетворяет, например, установившееся распределение температуры в теле. Полученные ученым результаты сделали его одним из виднейших специалистов в области математической физики. Стеклов был представителем петербургской математической школы, которая объединяла замечательных русских ученых, профессоров высших учебных заведений: К научным работам по математике В. Стеклов предъявил требования, характерные для этой школы: В то же время он считал, что при оценке научных достижений не следует учитывать лишь их прикладную значимость, и подчеркивал, что кажущаяся с первого взгляда отвлеченной научная теория может получить в дальнейшем важные теоретические и практические приложения. Стеклов известен также как историк математики, философ и писатель. Его перу принадлежат книги о русских и зарубежных ученых, путевые очерки и т. Таким образом, последовательность - это функция , заданная на множестве натуральных чисел. Геометрические преобразования , а также в физике в связи с разнообразными преобразованиями координат. Для удобства функции, определенные на функциях и принимающие числовые значения, обычно называют функционалами. Так что мы построили функционал. Оператор, таким образом, это функция, преобразующая одни функции в другие, так. Операторы мы встречаем на каждом шагу: Функционалы и операторы изучаются в другом тесно связанном с первым разделе современного математического анализа, называемом функциональным анализом. В теории вероятностей и математической статистике появляются и изучаются еще так называемые случайные функции. Например, если бросать игральную кость кубик и номеру бросания сопоставлять выпавшее при этом бросании число очков, то получится числовая последовательность с целыми значениями в пределах от 1 до 6. Если эту процедуру повторить заново, то получится, вообще говоря, другая последовательность. Распределение значений и другие свойства так возникающих функций изучают науки вероятностного цикла. В обращении с функциями наиболее развитым является математический аппарат анализа числовых функций, поэтому большинство реально возникающих функций стремятся задать в числовом виде. Лаврентьев - советский ученый и организатор науки, Герой Социалистического Труда , лауреат Ленинской и Государственных , премий, академик , вице-президент Академии наук СССР Лаврентьев родился в Казани, в семье учителя математики Казанского технического училища. Баумана и в МГУ. Лаврентьев сформировался в научной школе русского математика Н. Лузина, из которой вышли такие известные советские ученые, как П. Лаврентьеву принадлежат основополагающие работы по математическому анализу, теории дифференциальных уравнений и современной теории функций, он создал несколько новых теорий в механике непрерывных сред и газовой динамике. Когда в конце х гг. Коммунистическая партия и Советское правительство поставили задачу скорейшего развития Сибири и Дальнего Востока, М. Лаврентьев возглавил уникальный эксперимент по созданию крупнейшего комплексного научного центра - Сибирского отделения Академии наук СССР. Когда он приехал в Новосибирск, на месте будущего Академгородка на берегу Новосибирского водохранилища стояло лишь несколько бараков. Его талант организатора, огромная зажигающая энергия и научный авторитет в значительной степени обеспечили успех этого эксперимента. Ныне в Академгородке около 50 научно-исследовательских учреждений. Кузницей молодых научных кадров Сибирского отделения АН СССР стал созданный М. Лаврентьевым в г. Новосибирский государственный университет, в котором преподают ведущие ученые Сибирского отделения и обучение проводится так, что уже студенты II-III курсов начинают заниматься научной работой. Лаврентьева в Академгородке организована физико-математическая школа-интернат, куда принимают наиболее талантливых ребят, победителей всесибирских олимпиад школьников. При своей огромной занятости Михаил Алексеевич всегда находил время для учеников школы-интерната, вникал в их дела и заботы, беседовал с ними. Он неоднократно говорил, что ученому необходимы трудолюбие, энтузиазм, оптимизм, но главное - это требовательность к себе и абсолютная честность. Он считал, что ребятам для развития творческого мышления полезно задавать нестандартные задачи, особенно практического содержания. Многие теоретические исследования ученого были направлены на решение проблем народного хозяйства. Лаврентьев - создатель теории направленного взрыва. И на основе математических расчетов ученого направленным взрывом была создана плотина, которая спасла столицу Казахстана Алма-Ату от разрушительных грязевых потоков-селей. Такие функции встречаются очень часто. Задание функции, как правило, предполагает указание алгоритма или, по крайней мере, точное описание того, как по фиксированному значению аргумента находить значение функции. Алгоритмическое задание функции является основным для расчетов, выполняемых на электронных вычислительных машинах. В случае числовых функций весьма распространено аналитическое задание функций в виде некоторых математических формул типа , заменяющих словесные описания. В экспериментальных исследованиях, когда какая-то величина измеряется при некотором фиксированном наборе значений параметров, от которых она зависит, возникают таблицы значений функции, которые по найденным значениям функции в отдельных точках позволяют с должной точностью находить ее значения в промежуточных точках. Табличным заданием функций часто пользуются и в математике: С другой стороны, функции появляются также в графическом задании: Лейбница, правда, в некотором более узком смысле. В смысле, близком к современному, этот термин употребил в письме к Г. Лейбницу от г. В формировании современного понимания функциональной зависимости приняли участие многие крупные математики. Описание функции, почти совпадающее с современным, встречается уже в учебниках математики начала XIX в. Активным сторонником такого понимания функции был Н. Мы обсудили понятие функции. Остановимся в заключение на одном общем и важном принципе синтеза и анализа функций. Хорошо известно, что сколько-нибудь сложная система, например современная технологическая линия, состоит из целого ряда технологических участков, на каждом из которых выполняется какая-то одна сравнительно простая операция. Исходным объектом обработки для следующего участка является продукция предшествующего участка. Такой принцип создания сложных систем из элементов, выполняющих сравнительно простые функции, вы можете увидеть и в радиоприемнике, и в административно-хозяйственном аппарате учреждения. Отражением этого принципа в математике является операция композиции функций. Композиция функций является, с одной стороны, богатым источником новых функций синтез , а с другой стороны, способом расчленения сложных функций на более простые анализ. Операцию композиции часто приходится проводить несколько раз подряд, и в связи с этим полезно отметить, что она ассоциативна, то есть. Это обстоятельство, как и в случае сложения или умножения нескольких чисел, позволяет опускать скобки, предписывающие порядок действий. Например, пусть , , ,. Это не что иное, как последовательное вычисление , где. Такая процедура, когда вычисленное на предыдущем шаге значение функции на следующем шаге становится ее же аргументом, называется итерационным процессом. Итерационные процессы очень широко применяются в вычислительной математике. Тогда , в то время как. О наиболее часто встречающихся функциях вы прочитаете в статьях Элементарные функции, Линейная функция, Квадратный трехчлен, Степенная функция, Дробно-линейная функция, Показательная функция, Логарифмическая функция, Тригонометрические функции, Гиперболические функции. ФУНКЦИЯ Функция - это одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами.
Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Аналогично, задуманный заранее алгоритм по значению входного данного выдаёт значение выходного данного. Эти функции удобно представлять в виде графиков. В свою очередь, Иоганн Бернулли в письме к тому же Лейбницу употребил этот термин в смысле, более близком к современному [1]. Первоначально понятие функции было неотличимо от понятия аналитического представления. Впоследствии появилось определение функции, данное Эйлером год , затем — у Лакруа год , — уже практически в современном виде. Наконец, общее определение функции в современной форме, но для числовых функций было дано Лобачевским год и Дирихле год [2]. К концу XIX века понятие функции переросло рамки числовых систем. Сначала понятие функции было распространено на векторные функции , вскоре Фреге ввёл логические функции , а после появления теории множеств Дедекинд и Пеано сформулировали современное универсальное определение. Наиболее строгим является теоретико-множественное определение функции на основе понятия бинарного отношения. Но в любом случае, функция, по смыслу этого понятия, считается заданной, хотя и косвенно. Поэтому понятие функции можно сформулировать без понятия правило и необходимости его обозначать:. Для числовых функций, часто задаваемых формулами, понятие функции формулируется как соответствие между элементами множеств посредством правила. Правило не обозначается, чтобы избежать совпадения обозначений правила и функции:. Таким образом, для функции можно сформулировать определение, использующее только начальные математические понятия:. Более общим, включающим в себя не только однозначные функции, является следующее определение функции:. Функцию можно задать с помощью аналитического выражения например, формулой. Это соглашение является удобным и оправданным. Числовые функции можно также задавать с помощью графика. Это множество точек, часто является поверхностью. Для функций трёх и более аргументов такое графическое представление не применимо. Однако, и для таких функций можно придумать наглядное полугеометрическое представление например каждому значению четвёртой координаты точки сопоставить некоторый цвет на графике. Пусть дано отображение f: Отображения, у которых совпадают область задания и область значений, называются отображениями заданного множества в себя или преобразованиями. В частности, преобразование f: Это отображение имеет специальное обозначение: Такое обозначение обязано своим происхождением англ. Поэтому, нередко, тождественное преобразование называют единичным. В терминах композиции отображений, свойство обратимости заключается в одновременном выполнении двух условий: Если отображение обратимо см. Если функция является и сюръективной , и инъективной , то такую функцию называют биективной или взаимно однозначной. Пусть дана функция f: Пусть задана функция f: В зависимости от того, какова природа области задания и области значений, различают следующие случаи областей:. В случае 1 рассматриваются отображения в самом общем виде и решаются наиболее общие вопросы. Таким общим вопросом, например, является вопрос о сравнении множеств по мощности: Это позволяет провести классификацию множеств в виде единой шкалы, начальный фрагмент выглядит следующим образом:. В случае 2 , основной объект рассмотрения — заданная на множестве структура дополнительные свойства элементов множества и то, что происходит с этой структурой при отображении: Существует большое разнообразие структур, которые могут быть заданы на множествах. Функции с конкретным свойством могут не существовать на множествах, не обладающих соответствующей структурой. Например, формулировка свойства непрерывности функции, заданной на множестве, требует задания на этом множестве топологической структуры. Некоторые авторы понимают под функцией частично определённую функцию. Это имеет свои преимущества, например, возможна запись f: В силу определения функции, заданному значению аргумента соответствует ровно одно значение функции. Несмотря на это, нередко можно услышать про так называемые многозначные функции. В действительности, это не более чем удобное обозначение функции, область значений которой сама является семейством множеств. Функция однозначна , если каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции. Функция многозначна , если хотя бы одному значению аргумента соответствует два или более значений функции [6]. Материал из Википедии — свободной энциклопедии. У этого термина существуют и другие значения, см. Сужение и продолжение функции. Нечётные и чётные функции. Некоторые общематематические понятия и обозначения. Для научных работников и инженеров. Функции и пределы, дифференциальное и интегральное исчисление. Функции со специальными свойствами. Страницы, использующие волшебные ссылки ISBN. Навигация Персональные инструменты Вы не представились системе Обсуждение Вклад Создать учётную запись Войти. Пространства имён Статья Обсуждение. Просмотры Читать Править Править вики-текст История. В других проектах Викисклад. Эта страница последний раз была отредактирована 9 мая в Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike ; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия. Свяжитесь с нами Политика конфиденциальности Описание Википедии Отказ от ответственности Разработчики Соглашение о cookie Мобильная версия.
План мероприятий на день россии 2017
Построить недорогой дом с гаражом
Правила перевода на немецкий
Статья 82 жилищного кодекса
Сколько гр в тарелке супа