Статьи Соросовского Образовательного журнала в текстовом формате Симметрии графиков функций и элементарные уравнения Чучаев И. Хорошо известна роль симметрии в геометрии и алгебре. Многие сталкивались с задачами, решение которых значительно упрощается при использовании симметричности фигур или алгебраических выражений. Настоящая статья адресована преимущественно старшеклассникам. Ее цель - показать, что графики основных элементарных функций симметричны относительно преобразований, порожденных сдвигами, симметриями, гомотетиями и инверсиями прямой, и указать, как симметрии графиков функций могут быть использованы при решении уравнений. Пусть X - непустое множество. Взаимно однозначное отображение f множества на себя называется преобразованием множества X. Ясно, что если f и g - преобразования множества X, то их суперпозиция f g и отображение f -1 обратное к f также являются преобразованиями множества X. В этом разделе будут рассмотрены преобразования числовых множеств преобразования движения, подобия, инверсии , имеющие основополагающее значение в геометрии. Преобразование f числовой прямой R называется движением на R, если оно сохраняет расстояния между точками R, то есть для любых x, y k R справедливо равенство. Убедимся, что функция f x - a не меняет своего знака на 0;? Очевидно, что эти преобразования являются движениями на R. Подобие на прямой - это преобразование на R, изменяющее все расстояния между точками R в одном и том же отношении k иначе говоря, сохраняющее отношение расстояний между точками. Число k называется коэффициентом подобия. Очевидно, что гомотетии на R суть подобия и любое подобие можно задать в виде композиции гомотетии, симметрии и сдвига. Каждой точке x k R, отличной от a, поставим в соответствие лежащую по одну сторону от a точку f x , такую, что произведение расстояний от a до x и от a до f x равнялось r 2. Оно называется инверсией R с центром в точке a радиуса r. Пусть f x - инверсия R с центром в точке a радиуса r. Поскольку точки x и f x лежат по одну сторону от a, то. Совокупность всех инверсий R совпадает с совокупностью всех дробно-линейных функций вида 1. Легко убедиться, что любую инверсию можно представить в виде суперпозиции двух сдвигов, гомотетии и инверсии с центром в нуле радиуса 1. Преобразование, обратное к инверсии f x , является инверсией, совпадающей с f x , а суперпозиция двух инверсий может и не быть инверсией. Дополним числовую прямую одной идеальной точкой? Из предыдущего следует, что доопределенная функция j x на R является преобразованием Эти преобразования будем называть дробно-линейными преобразованиями R. Нетрудно заметить, что суперпозиция двух дробно-линейных преобразований R является дробно-линейным преобразованием, обратное преобразование к дробно-линейному - дробно-линейным. Совокупность всех дробно-линейных преобразований содержит как сдвиги, симметрии, подобия и инверсии R, так и их суперпозиции. Напомним, что множество M? X называется симметричным инвариантным относительно преобразования F: Пусть j, y - дробно-линейные преобразования Тогда отображение F, которое каждой точке x, y множества ставит в соответствие точку j x , y x этого же множества, является его преобразованием. Пусть f - функция с областью определения D f? Доопределим функцию f если это возможно во всех предельных точках a области определения D f по правилу. D f при всех x? D f и справедливо равенство. Оказывается, их можно охарактеризовать при помощи совокупности рассматриваемых нами преобразований, относительно которых их графики симметричны. Доказательства приведенных теорем несложны. Докажем, например, теорему 7. Первая часть теоремы следует из свойств показательной функции и теоремы 4. Для доказательства второй части положим. Тогда функция h x определена на R и по теореме 4 при всех x, b k R справедливы равенства. Автоморфные функции являются обобщениями периодических и четных функций. Их теория, созданная в конце XIX и начале XX века, главным образом трудами А. Клейна, представляет собой в настоящее время обширную область комплексного анализа. Однако эти функции представляют интерес и при изучении функций действительного переменного. Пусть функция f определена на D f так, как указано в предыдущем разделе. При этом функцию j будем называть инвариантом соответственно квазиинвариантом функции f. Иными словами, функция f автоморфна квазиавтоморфна , если ее график симметричен относительно некоторого преобразования, при котором точка x, y переходит в точку j x , y соответственно j x , - y , причем j x т x. Предположим, что k j n x - n-кратная суперпозиция j x - инвариант f x , то при всех x k R и любом n k N справедливо равенство. Следующая теорема характеризует инварианты и квазиинварианты непрерывной периодической функции. Пусть f x - непрерывная периодическая функция на R периода T. Отыскание инвариантов функций - задача достаточно сложная. Однако для дробно-квадратичных функций. В этом разделе изложим способы применения симметрий графиков функций при решении уравнений и начнем с приемов использования инвариантов автоморфных функций. Если функция j - инвариант f в том числе и тривиальный , то решения уравнения. Заметим, что спектр уравнений 2 достаточно широк - от хорошо знакомых по курсу математики средней школы до уравнений олимпиадного характера, предлагаемых и на Соросовских олимпиадах см. Используя инварианты f, выписанные в предыдущем разделе, получим, что решения совокупности уравнений. Поскольку уравнение сводится к алгебраическому уравнению десятой степени, то оно других решений не имеет. В некоторых случаях можно указать процедуру, позволяющую находить потерянные корни. Очевидно, что если x0 - решение уравнения 2 , не являющееся решением совокупности уравнений. Поскольку функция f x нечетная, то из предыдущего следует, что она каждое свое значение принимает дважды. Проверкой убеждаемся, что 1 является решением исходного уравнения, а -1 нет. В итоге получим, что корнями исходного уравнения являются 1, 2,. Функция f x является дробно-квадратичной, поэтому она каждое свое значение принимает не более двух раз. Инвариантом функции f будет функция. Ясно, что корни уравнений совокупности образуют решения исходного уравнения. Теперь приведем примеры использования симметрий графиков функций более общего вида. Если x Следовательно, функция четная и периодическая периода 2. Поскольку функция f является возрастающей на [0, 1], то уравнение равносильно совокупности уравнений.
Сообщения без ответов Активные темы. Математический форум Math Help Planet Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел. Ru, Также возможно сделать готовый форум PHPBB2 на Mybb2.
характеристика на почетного работника образец
если сделал ошибку в трудовой книжке
сварочный аппарат ресанта саи отзывы