Корреляционная функция стационарного процесса
КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Корреляционные функции случайных процессов.
Математическое ожидание и дисперсия являются важными характеристиками случайного процесса, но они не дают достаточного представления, какой характер будут иметь отдельные реализации случайного процесса. Процесс изображенный на рис. А , от сечения к сечению протекает плавно, а на рис. Б обладает изменчивостью от сечения к сечению. Поэтому статистическая связь между сечениями в первом случае больше, чем во втором, однако, ни по математическому ожиданию, ни по дисперсии этого установить нельзя. Для того, чтобы учесть степень изменчивости случайного процесса, необходимо ввести понятие корреляционной автокорреляционной функции случайного процесса. Корреляционной функцией случайного процесса X t называют неслучайную функцию двух аргументов R x t 1 ,t 2 , которая для каждой пары произвольно выбранных значений аргументов t 1 , t 2 равна математическому ожиданию произведения двух случайных величин X t 1 и X t 2 , соответствующих сечениям случайного процесса:. Корреляционная функция для центрированной случайной составляющей. Корреляционная функция — универсальная характеристика для случайного процесса. Она определяет зависимость С. Случайный процесс в зависимости от того, как изменяется их статистические характеристики с течением времени, делят на стационарный и нестационарный. Стационарным в узком смысле называют случайный процесс X t если его n-мерные функции распределения и плотность вероятности при любом n не зависят от положения начала отсчета времени t, то есть. Стационарный случайный процесс — это своего рода аналог установившегося процесса в детерминированных системах. Любой переходный процесс — не. Стационарным в широком смысле называют случайный процесс математическое ожидание которого постоянно:. Стационарность в широком смысле вводится тогда, когда в качестве статистических характеристик случайного процесса используется только математическое ожидание и корреляционная функция. Часть теории случайных процессов, которая описывает свойства случайных процессов через его математическое ожидание и корреляционную функцию называют корреляционной теорией случайных процессов. Для случайных процессов с нормальным законом распределения математическое ожидание и корреляционная функция полностью определяют его n-мерную плотность вероятности f n …. Поэтому для нормальных случайных процессов понятие стационарности в широком и узком смысле совпадают. Среднее значение по времени в общем случае различно для отдельных реализаций X i t множества X t , определяющих случайный процесс. Вообще для одного и того же случайного процесса X t среднее по множеству и среднее по времени различны, однако есть сл. Стационарного процесса со временем не изм. X i t на 1 объекте даст в среднем такую же картину, как и большое число наблюдений, сделанные на n объектах. Под эргодическим случайным процессом будем понимать процесс, когда все его статистические свойства можно определить по одной единственной, достаточно продолжительной реализации процесса X i t. Равенство вытекает из эргодической теоремы, которая доказана для некоторых стационарных случайных процессов. Физический смысл эргодической теоремы глубок и имеет практическое значение для вычисления статистических характеристик. Для определения статистических характеристик эргодических стационарных случайных процессов можно наблюдать одну систему в печени длительного времени. Этим пользуются при определении корреляционной функции стационарного случайного процесса по одной реализации. Эргодическая гипотеза позволяет упростить все расчеты и эксперименты , позволяет для определения М. X t одной реализации в течении длит t. Из определения видно, что корреляционная функция представляет собой среднее значение по множеству. Между R x t и существует связь. Основываясь на свойстве эргодичности , можно дисперсию D X определить как среднее по времени от квадрата центрированного случайного процесса. Из 2 и 4 следует, что дисперсия случайного процесса равна начальному значению центрированной корреляционной функции. Учитывая 3 , можно установить связь между дисперсией и корреляционной функцией R x t , то есть Взаимная корреляционная функция — характеризует статистические свойства двух случайных процессов X t и Y t и определяется. Если , то X t и Y t не коррелированны, если , то X t и Y t коррелированные С. Если X t и Y t статистически не связаны и имеют равное нулю среднее значение — то. Обратный вывод не вегда справедлив. Для процессов с нормальным распределением обратный закон справедлив. Для регулярных функций в процессе вычислений за корреляционную функцию принимают результат формального применения формулы 1. На стипендию можно купить что-нибудь, но не больше Функции государства — это основные направления его деятельности, в которых выражаются сущность и социальное назначение государства в обществе II. Функции и методология экономики II. Место и значение документа в развитии российского государства и права III. Механизмы регуляции количества ферментов. Количество фермента в клетке зависит от скорости его синтеза и распада, процессов необходимых для обновления фермента. Синтез и распад ферментов регулируется IV. Строение и функции органов и тканей полости рта V1: Строение и функции органов и тканей полости рта. Нормативы и требования к организации стоматологического кабинета А. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Корреляционной функцией случайного процесса X t называют неслучайную функцию двух аргументов R x t 1 ,t 2 , которая для каждой пары произвольно выбранных значений аргументов t 1 , t 2 равна математическому ожиданию произведения двух случайных величин X t 1 и X t 2 , соответствующих сечениям случайного процесса: Любой переходный процесс — не стационарен в смысле Хинчина. Стационарным в широком смысле называют случайный процесс математическое ожидание которого постоянно:
Математическое ожидание и дисперсия являются важными характеристиками случайного процесса, но они не дают достаточного представления о том, какой характер будут иметь отдельные реализации случайного процесса. Это хороню видно из рис. Штриховыми линиями на рис. Процесс, изображенный на рис. Чтобы в какой-то мере охарактеризовать внутреннюю структуру случайного процесса, т. Корреляционной функцией случайного процесса называют неслучайную функцию двух аргументов которая для каждой пары произвольно выбранных значений аргументов моментов времени равна математическому ожиданию произведения двух случайных величин соответствующих сечений случайного процесса: Различные случайные процессы в зависимости от того, как изменяются их статистические характеристики с течением времени, делят на стационарные и нестационарные. Разделяют стационарность в узком смысле и стационарность в широком смысле. Стационарным в узком смысле называют случайный процесс если его n-мерные функции распределения и плотности вероятности при любом не зависят от сдвига всех точек вдоль оси времени на одинаковую величину т. Это означает, что два процесса имеют одинаковые статистические свойства для любого т. Стационарный случайный процесс — это своего рода аналог установившегося процесса в детерминированных системах. Любой переходный процесс не является стационарным. Стационарным в широком смысле называют случайный процесс математическое ожидание которого постоянно: Понятие случайного процесса, стационарного в широком смысле, вводится тогда, когда в качестве статистических характеристик случайного процесса используются только математическое ожидание и корреляционная функция. Часть теории случайных процессов, которая описывает свойства случайного процесса через его математическое ожидание и корреляционную функцию, называют корреляционной теорией. Для случайного процесса с нормальным законом распределения математическое ожидание и корреляционная функция полностью определяют его n-мерную плотность вероятности. Поэтому для нормальных случайных процессов понятия стационарности в широком и узком смысле совпадают. Теория стационарных процессов разработана наиболее полно и позволяет сравнительно просто производить расчеты для многих практических случаев. Поэтому допущение о стационарности иногда целесообразно делать также и для тех случаев, когда случайный процесс хотя и нестационарен но на рассматриваемом отрезке времени работы системы статистические характеристики сигналов не успевают сколько-нибудь существенно измениться. В дальнейшем, если не будет оговорено особо, будут рассматриваться случайные процессы, стационарные в широком смысле. При изучении случайных процессов, стационарных в широком смысле, можно ограничиться рассмотрением только процессов с математическим ожиданием средним значением , равным нулю, т. При выражение для корреляционной функции В теории случайных процессов пользуются двумя понятиями средних значений. Первое понятие о среднем значении — это среднее значение по мнооюеству или математическое ожидание , которое определяется на основе наблюдения над множеством реализацчй случайного процесса в один и тот же момент времени. Среднее значение по множеству принято обозначать волнистой чертой над выражением, описывающим случайную функцию: В общем случае среднее значение по множеству является функцией времени Другое понятие о среднем значении — это среднее значение по времени, которое определяется на основе наблюдения за отдельной реализацией случайного процесса на протяжении Рис. Среднее значение по времени обозначают прямой чертой над соответствующим выражением случайной функции и определяют по формуле: Среднее значение по времени в общем случае различно для отдельных реализаций множества, определяющих случайный процесс. Вообще говоря, для одного и того же случайного процесса среднее по множеству и среднее по времени значения различны. Однако существует класс стационарных случайных процессов, называемых эргодическими, для которых среднее по множеству равно среднему по времени, т. Корреляционная функция эргодического стационарного случайного процесса неограниченно убывает по модулю при Однако надо иметь в виду, что не всякий стационарный случайный процесс является эргодическим, например случайный процесс каждая реализация которого постоянна во времени рис. В этом случае средние значения, определенные по одной реализации и в результате обработки множества реализаций, не совпадают. Один и тот же случайный процесс в общем случае может быть эргодическим по отношению к одним статистическим характеристикам и неэргодическим по отношению к другим. В дальнейшем будем считать, что по отношению ко всем статистическим характеристикам условия эргодичности выполняются. Свойство эргодичности имеет очень большое практическое значение. Для определения статистических свойств некоторых объектов, если трудно осуществить одновременное наблюдение за ними в произвольно выбранный момент времени например, при наличии одного опытного образца , его можно заменить длительным наблюдением за одним объектом. Иными словами, отдельная реализация эргодического случайного процесса на бесконечном промежутке времени полностью определяет весь случайный процесс с его бесконечными реализациями. Собственно говоря, этот факт лежит в основе описанного ниже метода экспериментального определения корреляционной функции стационарного случайного процесса по одной реализации. Как видно из 9. Для эргодических случайных процессов корреляционную функцию можно определить как среднее по времени от произведения , т. Если среднее значение случайного процесса равно нулю то Основываясь на свойстве эргодичности, можно дисперсию [см. Статистические свойства связи двух случайных процессов можно характеризовать взаимной корреляционной функцией которая для каждой пары произвольно выбранных значений аргументов равна Для эргодических случайных процессов вместо 9. Взаимная корреляционная функция характеризует взаимную статистическую связь двух случайных процессов в разные моменты времени, отстоящие друг от друга на промежуток времени. Значение характеризует эту связь в один и тот же момент времени. Однако обратный вывод о том, что если взаимная корреляционная функция равна нулю, то процессы независимы, можно сделать лишь в отдельных случаях в частности, для процессов с нормальным законом распределения , общей же силы обратный закон не имеет. Заметим, что корреляционные функции могут вычисляться и для неслучайных регулярных функций времени. Однако когда говорят о корреляционной функции регулярной функции то под этим понимают просто результат формального применения к регулярной функции операции, выражаемой интегралом: Приведем некоторые основные свойства корреляционных функций 1. Начальное значение корреляционной функции [см. Значение корреляционной функции при любом не может превышать ее начального значения, т. Чтобы доказать это, рассмотрим очевидное неравенство из которого следует Находим средние значения по времени от обеих частей последнего неравенства: Таким образом, получим неравенство 3. Корреляционная функция есть четная функция , т. Это вытекает из самого определения корреляционной функции. Действительно, поэтому на графике корреляционная функция всегда симметрична относительно оси ординат. Корреляционная функция суммы случайных процессов определяется выражением где — взаимные корреляционные функции Действительно, 5. Корреляционная функция постоянной величины равна квадрату этой постоянной величины рис. Корреляционная функция периодической функции, например представляет собой косинусоиду рис. Тогда, учитывая сказанное выше, получим т. Корреляционная функция временной функции, разлагаемой в ряд Фурье: Типичная корреляционная функция стационарного случайного процесса имеет вид, представленный на рис. Ее можно аппроксимировать следующим аналитическим выражением: С ростом связь между ослабевает и корреляционная функция становится меньше. Легко заметить, что корреляционная функция, соответствующая случайному процессу с более тонкой структурой, убывает быстрее Другими словами, чем более высокие частоты присутствуют в случайном процессе, тем быстрее убывает соответствующая ему корреляционная функция. Иногда встречаются корреляционные функции, которые могут быть аппроксимированы аналитическим выражением где — дисперсия; — параметр затухания; — резонансная частота. Корреляционные функции подобного вида имеют, например, случайные процессы типа турбулентности атмосферы, фединга радиолокационного сигнала, углового мерцания цели и т. Корреляционная функция Стационарного случайного процесса, на которой наложена периодическая составляющая с частотой также будет содержать периодическую составляющую той же частоты. Примерный вид корреляционной функции процесса содержащего в своем составе кроме случайной также и периодическую составляющую, показан на рис. Чтобы выявить скрытую периодическую составляющую такая задача возникает, например, при выделении малого полезного сигнала на фоне большой помехи , лучше всего определить корреляционную функцию для больших значений когда случайный сигнал уже сравнительно слабо коррелирован и случайная составляющая слабо сказывается на виде корреляционной функции. Чем слабее взаимосвязь между предыдущими и последующими значениями случайного процесса, тем быстрее убывает корреляционная функция Время при котором имеет место неравенство где — достаточно малая величина, называют временем корреляции случайного процесса. Случайный процесс, в котором отсутствует связь между предыдущими и последующими значениями, называют чистым случайным процессом или белым шумом. В случае белого шума время корреляции и корреляционная функция представляет собой -функцию рис. При решении практических задач часто пользуются нормированной корреляционной функцией Нормированная корреляционная функция удобна тем, что всегда Иногда в рассмотрение вводят нормированную взаимную корреляционную функцию причем можно показать, что Экспериментальное определение корреляционных функций. Пусть имеется экспериментальная запись осциллограмма реализации некоторого случайного процесса на достаточно длинном интерва времени. В общем случае это может быть запись реализации случайного процесса с наложенной на него регулярной составляющей. Весь интервал Т записи осциллограммы делится на I равных частей, длительность которых выбирается такой, чтобы реализация мало изменялась на протяжении интервала рис. Значение ординаты реализации к на некотором отрезке обозначим а значение ординаты этой же кривой, но смещенной на величину обозначим. Задаваясь различными значениями находим для различных значений среднее значение произведения ординат. Приближенное значение корреляционной функции В 9. Изображение движений в фазовой плоскости Линейная консервативная система второго порядка. Система с сухим кулоновским трением. Система с отрицательной восстанавливающей силой. Линейная колебательная система с вязким трением. Линейная апериодическая система с вязким трением. Абсолютная устойчивость Квадратичный критерий абсолютной устойчивости. Примечание к критерию Попова. Понятие об импульсных системах автоматического управления Структура и уравнения импульсных модуляторов. Структурная схема амплитудно-импульсного модулятора. Структурная схема частотно-импульсного модулятора. Структурная схема широтно-импульсного модулятора. Структурные схемы частотно-импульсных к широтно- импульсных модуляторов 1-го рода. Структурная схема системы управления с импульсной модуляцией. Классификация систем управления с импульсной модуляцией. Исследование устойчивости и качества систем управления с амплитудноимпульсной модуляцией Передаточная функция импульсной системы. Дискретное преобразование Лапласа и его основные свойства. Частотные характеристики импульсной системы. Исследование устойчивости систем с амплитудно-импульсной модуляцией. Алгебраический критерий устойчивости аналог критерия Гурвица. Частотный критерий устойчивости аналог критерия Найквиста. Исследование качества систем с амплитудно-импульсной модуляцией. Непрерывное регулирование как граница импульсного регулирования. Исследование динамики цифровых систем автоматического управления Исследование цифровых систем методом логарифмических частотных характеристик. Исследование цифровых систем с непрерывной передачей данных. Исследование цифровых систем с учетом квантования по уровню и по времени. Исследование систем с широтноимпульсной модуляцией Исследование периодических колебаний в системах с широтно-импульсной модуляцией. Исследование систем с частотно-импульсной модуляцией Исследование устойчивости в целом частотно-импульсных систем 2-го рода. Исследование периодических режимов в системах с ИЧИМ. Исследование периодических колебаний в системах с ИЧИМ 1-го рода. Расчет линейных систем при случайных воздействиях Аналитический метод определения дисперсии ошибки. Графоаналитическое определение дисперсии ошибки. Синтез линейных систем с минимальной средней квадратической ошибкой Синтез при произвольной структуре системы. Расчет нелинейных систем методом статистической линеаризации Расчет замкнутых нелинейных систем. Метод классического вариационного исчисления метод множителей Лагранжа Уравнения Эйлера—Лагранжа. Задачи с подвижными концами и фиксированным временем Задача с нефиксированным временем. Теорема об n интервалах. Вырожденные и особые задачи Задача с подвижными концами Задача максимального быстродействия Условие нормальности. Метод Кротова Принцип оптимальности Функция и уравнение Беллмана Проблема обоснования метода динамического программирования и достаточные условия оптимальности Метод Кротова [11] Принцип оптимальности Кротова. Наблюдатели Управляемость линейных стационарных объектов. Управляемость при наличии ограничения на управление. Наблюдаемость и восстанавливаемость Обнаруживаемость Наблюдатели Наблюдатели пониженного порядка. Методы синтеза оптимальных систем с обратной связью. Синтез оптимальных линейных систем по интегральному квадратичному критерию Синтез оптимальных линейных систем по интегральному квадратичному критерию Векторное дифференцирование. Синтез оптимального линейного регулятора выхода. Методы оптимальной оценки состояния. Принцип разделимости Метод динамического программирования Синтез стохастической оптимальной линейной системы при полной информации о состоянии Синтез стохастических оптимальных систем управления при неполной информации Наблюдатель Калмана—Бьюси при цветном шуме объекта. Наблюдатель Калмана—Бьюси при цветном шуме наблюдения. Сингулярная вырожденная задача линейного оптимального оценивания. Стохастическая линейная оптимальная система управления при неполной информации. Оптимальные дискретные системы Синтез оптимальной линейной системы при квадратном критерии Стохастическая оптимальная линейная система при полной информации о состоянии. Наблюдатель оцениватель, фильтр Калмана. О расходимости фильтров и методах их регуляризации. Самонастраивающиеся системы Принципы построения поисковых самонастраивающихся систем. Регулярные методы поиска экстремума Метод градиента. Методы случайного поиска Локальный случайный поиск с пересчетом. Локальный случайный поиск по наилучшей пробе. Локальный случайный поиск по статистическому градиенту. Глобальный случайный поиск с независимым выбором плотности распределения пробных шагов. Примеры поисковых самонастраивающихся систем Многоканальный статистический оптимизатор со случайным поиском. Принципы определения градиента функции качества. Принципы идентификации динамических свойств системы управления. Примеры беспоисковых самонастраивающихся систем Самонастраивающаяся система с моделью. Системы с адаптацией в особых фазовых состояниях Адаптивные системы с переменной структурой. Адаптивная система с переменной структурой, использующая информацию о внутренних координатах. Обучающиеся системы Метод секущих плоскостей. Персептронная модель автоматической классификации. Адаптивные робототехнические системы Методы обработки сенсорной информации для адаптивного управления роботами. Корреляционные функции случайных процессов Математическое ожидание и дисперсия являются важными характеристиками случайного процесса, но они не дают достаточного представления о том, какой характер будут иметь отдельные реализации случайного процесса. Стационарным в узком смысле называют случайный процесс если его n-мерные функции распределения и плотности вероятности при любом не зависят от сдвига всех точек. В общем случае среднее значение по множеству является функцией времени Другое понятие о среднем значении — это среднее значение по времени, которое определяется на основе наблюдения за отдельной реализацией случайного процесса на протяжении. Иными словами, отдельная реализация эргодического случайного. Однако когда говорят о корреляционной функции регулярной функции то под этим понимают просто результат формального. Корреляционная функция суммы случайных процессов определяется выражением где — взаимные корреляционные функции. Чем меньше длительность отрезков и чем больше величина интервала Т, тем точнее выражение 9. Если запись реализации осциллограмма соответствует случайному процессу, среднее значение которого равно к, то экспериментально найденная по ней эквивалентная корреляционная функция также будет содержать постоянную составляющую, которая на основании свойств 4 и 5 корреляционных функций равна Связь между корреляционной функцией случайного процесса и эквивалентной корреляционной функцией определяется выражением.
Защита гражданских прав учебник
Каталог метро на эту неделю московская область
Рассеяны какая часть речи
Участники революции 1905 1907 таблица
Руководство по эксплуатации lada priora