Случайная величина
3.2. Случайная величина
Распределение вероятностей непрерывной случайной величины и его характеристики
Случайной величиной называется переменная, которая может принимать те или иные значения в зависимости от различных обстоятельств. Случайная величина называется непрерывной , если она может принимать любое значение из какого-либо ограниченного или неограниченного интервала. Для непрерывной случайной величины невозможно указать все возможные значения, поэтому обозначают интервалы этих значений, которые связаны с определёнными вероятностями. Примерами непрерывных случайных величин могут служить: Функцией распределения случайной величины как дискретной, так и непрерывной или интегральной функцией называется функция , которая определяет вероятность, что значение случайной величины X меньше или равно граничному значению х. Плотностью вероятности f x непрерывной случайной величины называется производная её функции распределения:. Интеграл в этом равенстве выражает вероятность того, что случайная величина примет какое-либо значение из интервала. Но это событие достоверное, а поэтому его вероятность равна единице. Плотность вероятности непрерывной случайной величины X задана равенством , при этом. По условию приходим к равенству. Найти плотность вероятности непрерывной случайной величины X , которая принимает только неотрицательные значения, а её функция распределения. График плотности вероятности непрерывной случайной величины называется её кривой распределения рис. Площадь фигуры на рисунке заштрихована , ограниченной кривой, прямыми, проведёнными из точек a и b перпендикулярно оси абсцисс, и осью Ох , графически отображает вероятность того, что значение непрерывной случайной величины Х находится в пределах от a до b. Распределение непрерывной случайной величины можно характеризовать средними значениями, а также показателями вариации и другими показателями. Арифметическое среднее всех возможных значений непрерывной случайной величины называется её математическим ожиданием , обозначаемым или. Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х , плотностью вероятности которой является функция f x , находится как величина интеграла. Среднее квадратичное отклонение непрерывной случайной величины определяется как арифметическое значение квадратного корня из дисперсии. Дана непрерывная случайная величина. Её плотность вероятности при и при остальных значениях x. Найти её математическое ожидание и дисперсию. Сначала определим параметр с. Разбивая отрезок интегрирования на части, получаем. При находим математическое ожидание искомой случайной величины:. Равномерным распределением непрерывной случайной величины называется распределение, в котором значения случайной величины с двух сторон ограничены и в границах интервала имеют одинаковую вероятность. Это означает, что в в данном интервале плотность вероятности постоянна. Функция распределения непрерывной случайной величины при равномерном распределении имеет вид. Наблюдения показали, что вес ящика, предназначенного для транспортировки овощей, является равномерно распределённой случайной величиной в интервале от г. Случайно выбран один ящик. Найти характеристики равномерно распределённой случаной величины при условиях, которые будут указаны в решении. Найдём вероятность того, что вес данного ящика будет в интервале от г. Определим, у скольки процентов ящиков вес находится на удалении одного стандартного отклонения от среднего значения т. Нормальное распределение непрерывной случайной величины представляет собой такое распределение, функция плотности которого следующая:. На рисунке ниже представлена функция плотности нормального распределения, график которой получен при рассчёте некоторой выборки данных в пакете программных средств STATISTICA. На ней столбцы гистограммы представляют собой значения выборки, распределение которых близко или, как принято говорить в статистике, незначимо отличаются от к собственно графику функции плотности нормального распределения, который представляет собой кривую красного цвета. Изменения среднего значения перемещают кривую функции плотности нормального распределения в направлении оси Ox. Если возрастает, кривая перемещается вправо, если уменьшается, то влево. Если меняется стандартное отклонение, то меняется высота вершины кривой. При увеличении стандартного отклонения вершина кривой находится выше, при уменьшении - ниже. Стандартизованным или нормированным называется нормальное распределение, среднее значение которого , а стандартное отклонение. На рисунке ниже представлена интегральная функция стандартизованного нормального распределения, график которой получен при рассчёте некоторой выборки данных в пакете программных средств STATISTICA. Собственно график представляет собой кривую красного цвета, а значения выборки приближаются к нему. Стандартизация случайной величины означает переход от первоначальных единиц, используемых в задании, к стандартизованным единицам. Стандартизация выполняется по формуле. На практике все возможные значения случайной величины часто не известны, поэтому значения среднего и стандартного отклонения точно определить нельзя. Их заменяют средним арифметическим наблюдений и стандартным отклонением s. Величина z выражает отклонения значений случайной величины от среднего арифметического при измерении стандартных отклонений. Практически в любом учебнике статистики в приложениях в конце книги можно найти таблицы значений функции плотности стандартизованного нормального распределения и интегральной функции. Чтобы использовать эти значения, нужно вычислить стандартизованное значение изменяющейся величины. Предприятие производит детали, срок службы которых нормально распределён со средним значением и стандартным отклонением часов. Для случайно отобранной детали вычислим вероятность того, что её срок службы будет не менее часов. Чтобы вычислить эту вероятность, используя таблицы, случайную величину нужно сначала стандартизовать. Затем можно использовать соответствующее значение интегральной функции из таблиц. Распределение вероятностей непрерывной случайной величины и его характеристики. Но Следовательно, , откуда. Теперь получим функцию распределения данной случайной величины: По определению плотности вероятности получаем при и при , поскольку F x для этих значений x постоянна равна нулю. Нет времени вникать в решение? Пройти тест по теме Теория вероятностей и математическая статистика. Разбивая отрезок интегрирования на части, получаем так как остальные два интеграла равны нулю вследствие равенства нулю плотности вероятности на этих интервалах. При находим математическое ожидание искомой случайной величины: Найдём среднее значение непрерывной случайной величины: Различные задачи на сложение и умножение вероятностей. Формула полной вероятности и формула Байеса. Независимые испытания и формула Бернулли. Распределение вероятностей непрерывной случайной величины и его характеристики Определение непрерывной случайной величины, функция её распределения и плотность вероятности Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины Равномерное распределение Нормальное распределение непрерывной случайной величины Определение непрерывной случайной величины, функция её распределения и плотность вероятности Случайной величиной называется переменная, которая может принимать те или иные значения в зависимости от различных обстоятельств. Случайные величины делятся на дискретные или прерывные и непрерывные. Плотностью вероятности f x непрерывной случайной величины называется производная её функции распределения: Из этого получено, что Интеграл в этом равенстве выражает вероятность того, что случайная величина примет какое-либо значение из интервала. Пройти тест по теме Теория вероятностей и математическая статистика График плотности вероятности непрерывной случайной величины называется её кривой распределения рис. Из этого выводятся следующие свойства функции плотности вероятности: Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины Распределение непрерывной случайной величины можно характеризовать средними значениями, а также показателями вариации и другими показателями. Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х , плотностью вероятности которой является функция f x , находится как величина интеграла , если он сходится абсолютно. Дисперсией называется величина интеграла , если он сходится. Равномерное распределение Равномерным распределением непрерывной случайной величины называется распределение, в котором значения случайной величины с двух сторон ограничены и в границах интервала имеют одинаковую вероятность. Таким образом, при равномерном распределении плотность вероятности имеет вид Функция распределения непрерывной случайной величины при равномерном распределении имеет вид Характеристики равномерного распределения: Нормальное распределение непрерывной случайной величины Нормальное распределение непрерывной случайной величины представляет собой такое распределение, функция плотности которого следующая: Для увеличения рисунка можно щёлкнуть по нему левой кнопкой мыши. Свойства функции плотности нормального распределения для всех значений аргумента функция плотности положительна; если аргумент стремится к бесконечности, то функция плотности стреится к нулю; функция плотности симметрична относительно среднего значения: Интегральная функция нормального распределения: Функция плотности стандартизованного нормального распределения: Интегральная функция стандартизованного нормального распределения:
Для анализа случайных величин в теории вероятностей принято использовать её функцию распределения. В отличие от ряда распределения функция распределения может быть определена для случайных величин любых типов. Функцией распределения случайной величины называется функция, значениями которой являются вероятности того, что значения случайной величины будут строго меньше аргумента функции распределения. Следовательно, функция распределения случайной величины определена для любых действительных значений своего аргумента и значения функции распределения задаются так: Можно пояснить, что значение функции распределения — это вероятность того, что случайная величина примет значение, лежащее на числовой оси левее точки. Функция распределения случайной величины удобна для анализа тем, что она определена для любых действительных значений своего аргумента. Если не существует значений случайной величины , которые меньше значения , то значение функции распределения будет равно нулю, поскольку нулевой будет вероятность. Для всех остальных значений своего аргумента значение функции распределения будет больше 0. Но эти значения всегда меньше или равны 1, поскольку значениями функции распределения всегда являются вероятности тех или иных событий. Следовательно, для любых действительных значений функция распределения определена и её значения находятся от 0 до 1 включительно: Функция распределения является неубывающей, то есть если , то. Функция распределения при стремлении аргумента к стремится к 0, а при стремлении к стремится к 1. Иначе говоря, , а. Функция распределения является непрерывной слева, то есть. Вероятность того, что случайная величина примет значение в полуинтервале , в который левый конец включён, а правый конец - нет, равна разности значений функции распределения этой случайной величины в концах этого полуинтервала: Первое основное свойство функции распределения можно обосновать так. Если , то интервал является подмножеством. Следовательно, случайное событие является подмножеством случайного события , а потому, как доказывалось в первой части курса, их вероятности связаны неравенством. И тогда по определению функции распределения получаем, что. Второе и третье свойства функции распределения принимаются в этой части курса без доказательства. Отметим только, что оба эти свойства являются следствиями аксиом непрерывности вероятности, которые излагались в первой части курса теории вероятностей и математической статистики. Четвёртое свойство можно обосновать так. Если два числа связаны неравенством , то объединение множеств и даст множество , то есть. Равны и вероятности этих множеств, как случайных событий: При этом множества и не пересекаются, а потому являются несовместными случайными событиями. Для таких случайных событий вероятность их объединения равна сумме их вероятностей: И тогда по определению того, как вычисляются значения функции распределения, вероятности в правой части этого равенства можно заменить значениями функции распределения от соответствующих значений аргументов: Если в последнем равенстве сделать переменной и устремить к справа, то получится, что в пределе полуинтервал превратится в точку , а само равенство превратится в. Выражение в правой части этого равенства называется скачком функции в точке. Если функция распределения является непрерывной в точке , то её скачёк равен нулю. Следовательно, для случайных величин, имеющих непрерывные функции распределения, вероятность принять какое-то конкретное значение всегда равно 0. Если же у случайной величины функция распределения является только слева непрерывной а это, напомним, свойство любых функции распределения , то вероятность для этой случайной величины иметь какое-то конкретное значение будет равно скачку функции распределения в точке этого значения аргумента. Такая закономерность характерна для дискретных случайных величин: Последнее изменение этой страницы: Все права принадлежать их авторам. Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления. Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Следующая. Функция распределения случайной величины и её свойства.
Асикс история бренда
Накачать пресс бабочкой
Память одно из важнейших свойств бытия текст
Samsung galaxy wonder i8150 характеристики
Ничего не осталось текст