= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
Файл: >>>>>> Скачать ТУТ!
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
Математическое ожидание случайной величины. Пример решения
Дискретные случайные величины.
Функция распределения вероятностей дискретной величины - F(x). Примеры
В простейшем случае, когда множество исходов опыта конечно, каждому исходу опыта поставлено в соответствие единственное число , которое и называется значением случайной величины на исходе и представляется в виде. Если все значения случайной величины совпадают между собой, то говорят, что случайная величина есть постоянная. Примером случайной величины можно считать суммарное количество выпавших очков при одновременном бросании двух игральных кубиков. Очевидно, что число равновероятных исходов при опыте бросания двух кубиков равно Значения, принимаемое случайной величиной, меняются от 2 до 12, причем, разным исходам могут соответствовать одинаковые значения. Например, значение 4 принимается при трех различных исходах: Со случайными величинами обращаются так же, как с обычными числовыми функциями: Математическим ожиданием случайной величины в опыте с равновероятными исходами называется число. То есть, математическое ожидание — это среднее значение случайной величины. В данном выше определении математического ожидания очень существенно то, что исходы равновероятны. Представим теперь, что изучаемая нами случайная величина принимает в результате исходов значений где. Это означает, что какие-то из значений принимаются в результате нескольких равновероятных исходов. Объединим те исходы , которые соответствуют значению в событие. Очевидно, что события , попарно несовместны. Если обозначить через количество равновероятных исходов , соответствующих значению , то мы получим следующее определение математического ожидания: А теперь заметим, что. Таким образом, мы получили новое определение математического ожидания: Таким образом, для вычисления математического ожидания случайной величины недостаточно знать только значения величины при различных исходах, необходимы также вероятности событий, обеспечивающих различные значения случайной величины. Поэтому целесообразно задавать таблицу, в которой указываются различные значения случайной величины, а также вероятности соответствующих исходов:. Построенная нами таблица называется законом рядом распределения дискретной случайной величины. Заметим, что сумма вероятностей, находящихся в нижней строке приведенной таблицы равна 1. Для наглядности закон распределения задают графически: Соединяя полученные точки отрезками, мы получим многоугольник полигон распределения. Стрелок стреляет пять раз по мишени. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле 0,8. Данная случайная величина принимает 6 значений: Подсчитаем вероятность каждого из исходов с применением формулы Бернулли. Значение 0 величина примет с вероятностью. Значение 1 — с вероятностью , значение 2 — с вероятностью , значение 3 — с вероятностью , значение 4 — с вероятностью и значение 5 — с вероятностью. Постройте многоугольник распределения рассмотренной случайной величины. В соответствии с определением независимых событий две дискретные случайные величины и называются независимыми , если при любых и выполняется равенство. Для независимых случайных величин характерно свойство. Если математическое ожидание дает нам значение, вокруг которого разбросаны значения случайной величины, то новая характеристика, называемая дисперсией характеризуетстепень разброса значений случайной величины. Для вычисления дисперсии применяется формула. Найдем дисперсию случайной величины из предыдущего примера. Случайная величина принимает значения -4, -3, -2, -1, 0, 1 с вероятностями 0,, 0,,. Следовательно, величина принимает значения 16, 9, 4, 1, 0 с вероятностями 0,, 0,, 0,, 0, и 0,, соответственно. Для вычисления дисперсии иногда удобно пользоваться формулой. Докажем, что эта формула следует из формулы, определяющей дисперсию. Часто при анализе каких-то процессов приходится выяснять, зависимы ли две случайные величины. Мы уже знаем, что в случае независимости. Но если последнее равенство не выполняется, то можно оценить степень зависимости между случайных величин. Для этого служит коэффициент корреляции , вычисляемый по формуле. Коэффициент корреляции обладает свойством. Очевидно, что коэффициент корреляции двух независимых величин равен нулю. Если же две случайные величины связаны линейно, то есть, , то. Справедливо следующее свойство независимых величин: В случае, когда значение модуля коэффициента корреляции близко к 1, можно найти примерную линейную зависимость одной величины от другой, то есть, значения a и b методом наименьших квадратов. Соответствующая прямая называется прямой регрессии. В случае, когда значения случайной величины непрерывны, например, заполняют целиком интервал, невозможно задавать случайную величину в виде таблицы с конечным числом исходов. Примером непрерывной случайной величины является рост трехлетнего ребенка. Опыт состоит в измерении роста ребенка. Исход опыта — измерение роста конкретного ребенка. Очевидно, что нельзя установить конечное число возможных исходов, можно лишь указать диапазон значений роста по результатам многолетних наблюдений. Для непрерывной случайной величины вводится функция распределения. По аналогии с законом распределения для дискретной величины функция распределения непрерывной случайной величины — это вероятность, но не вероятность того, что случайная величина принимает конкретное значение, а вероятность того, что случайная величина принимает значения, меньшие данного: Если ввести такую же функцию распределения для дискретной величины, то эта функция окажется ступенчатой. Так, в последнем примере со стрелком при , 0, при , при , при , при , при , при. Поскольку функция распределения является вероятностью, ее значения расположены в диапазоне [0,1], при увеличении значений аргумента вероятность уменьшиться не может, так как множество возможных значений случайной величины расширяется. Приведенный пример функции распределения дискретной величины подтверждает эти рассуждения. В случае непрерывной случайной величины график функции распределения — непрерывная кривая. Если функция дифференцируема, то ее производная называется плотностью распределения. Вследствие неубывания функции распределения. Из формулы Ньютона-Лейбница следует, что. Следовательно, в соответствии с геометрическим смыслом интеграла, вероятность того, что случайная величина принимает значения на полуинтервале , равна площади криволинейной трапеции с основанием , ограниченной сверху кривой. Очевидно, что площадь криволинейной трапеции не изменится, если в ее основании полуинтервал заменить на отрезок или на интервал. Заметим, что для непрерывной случайной величины, в отличие от дискретной случайной величины, вероятность того, что величина принимает какое-то конкретное значение, равна нулю. Математическое ожидание для непрерывной случайной величины с дифференцируемой плотностью распределения определяется как. Дисперсия непрерывной случайной величины так же, как и для дискретной случайной величины определяется как и также выражается с помощью интеграла в случае дифференцируемой функции распределения. Две непрерывные случайные величины и называются независимыми , если для любой пары промежутков и справедливо: Так же как в случае дискретных величин имеет место соотношение. Найти 1 Функцию распределения F x ; 2. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение случайной величины Х с плотностью вероятности. А — линейные; б — как случайная функция времени эксплуатации Для проверки статистической значимости коэффициентов регрессии используется случайная величина Задания Дискретная форма представления числовой, текстовой, графической и звуковой информации Задания Астрономия Биология География Другие языки Интернет Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Механика Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Транспорт Физика Философия Финансы Химия Экология Экономика Электроника.
Дискретная случайная величина принимает в результате испытания различные значения, которые можно записать в виде последовательности. Закон распределения дискретной случайной величины X , принимающей значения с вероятностями p 1 , p 2 ,…, p n , представим в виде таблицы:. Дисперсией дискретной случайной величины X называют число. Для дискретной случайной величины справедливо равенство:. Пусть проводится n независимых испытаний. Вероятность осуществления события A в одном испытании постоянна и равна p. Дискретная случайная величина X — число испытаний, в которых произошло событие A имеет биномиальное распределение. Математическое ожидание M X числа появлений события A в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании: Дисперсия D X равна произведению числа испытаний на вероятности появления и не появления события в одном испытании: Математическое ожидание и дисперсия случайной величины соответственно равны:. Независимые дискретные случайные величины X и Y заданы законами распределений:. Закон распределения случайной величины имеет вид. Имеется десять студенческих групп, насчитывающих соответственно 12, 10, 11, 8, 12, 9, 10, 8, 10, 11 студентов. Составьте закон распределения случайной величины , определяемой как число студентов в наугад выбранной группе. Найдите математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Имеется двадцать коробок с яблоками, причем количество яблок в них: Составьте закон распределения случайной величины X , определяемой как количество яблок в произвольно выбранной коробке, и найдите математическое ожидание и дисперсию этой величины. Бросают две правильные игральные кости. Случайная величина X —максимальное из двух выпавших очков Найдите математическое ожидание и дисперсию X. Вероятность попадания в мишень одного стрелка равна 0,5; второго — 0,4. Найдите математическое ожидание и дисперсию общего числа попаданий в мишень. Из урны, содержащей два белых и три черных шара, наугад вынимают два шара без возвращения. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа вынутых белых шаров. Найдите математическое ожидание и дисперсию общего числа попаданий. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа выпадения герба при десяти независимых бросаниях монеты. Найдите математическое ожидание числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов, причем вероятность выигрыша по каждому равна 0,3. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа бракованных изделий в партии из пяти тысяч изделий, если каждое изделие может оказаться бракованным с вероятностью 0, При ввинчивании в патрон дефектные лампы сразу перегорают, и тогда ввинчивается следующая. Случайная величина X — число ввинченных ламп. Найдите закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины X. Найдите закон распределения случайной величины X , которая может принимать только два значения: Даны все возможные значения дискретной случайной величины X: Найдите закон распределения случайной величины X. Продаются саженцы трех сортов. Вероятность того, что приживется саженец первого сорта, равна 0,75; второго — 0,7; третьего — 0,6. Садовод купил три саженца различных сортов. Составить закон распределения числа прижившихся у него саженцев. В бригаде имеется четыре трактора. Вероятность выхода в поле каждого из них каждый день одинакова и равна 0,8. Составить закон распределения случайной величины — числа тракторов, которые выйдут в поле в произвольно выбранный день. Вероятность поражения вирусным заболеванием куста земляники равна 0,3. Составить закон распределения числа кустов земляники, зараженных вирусом из четырех посаженных. Найти функцию распределения и построить ее график. Доярка обслуживает три доильных аппарата. Вероятность того, что в течении дойки первый аппарат не потребует ее внимания, равна 0,1; второй — 0,2; третий — 0,3. Составить закон распределения числа доильных аппаратов, которые потребуют внимания рабочего в течении часа. Вероятность повреждения упаковки при перевозке изделия равна 0,2. Составить закон распределения числа изделий с поврежденной упаковкой среди взятых наудачу четырех. Найти функцию распределения этой случайной величины и пользуясь ею, найти вероятность того, что изделий с поврежденной упаковкой будет не меньше одного, но меньше трех. Студент - человек, постоянно откладывающий неизбежность Вероятность, случайное событие, случайная величина Дискретная случайная величина Дискретная случайная величина. Закон распределения дискретной случайной величины. Числовые характеристики дискретных случайных величин. Дискретная цепь Маркова с дискретным временем Задание 5. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Закон распределения дискретной случайной величины X , принимающей значения с вероятностями p 1 , p 2 ,…, p n , представим в виде таблицы: Для дискретной случайной величины справедливо равенство: Дискретная случайная величина X задана законом распределения 0 1 2 0,3 0,5? Независимые дискретные случайные величины X и Y заданы законами распределений:
Суп куриный классический
Depeche mode judas перевод
Поликлиника вуги люберцы расписание врачей
Как сделать газон на глине
Нордавиа архангельск сочи расписание