Графы. Применение графов к решению задач
Методическая разработка на тему "Графы. Методы решения задач"
Теория графов при решении различных видов задач
В последнее время исследования в областях, традиционно относящихся к дискретной математике, занимают все более заметное место. Наряду с такими классическими разделами математики, как математический анализ, дифференциальные уравнения, в учебных планах специальности "Прикладная математика" и многих других специальностей появились разделы по математической логике, алгебре, комбинаторике и теории графов. Причины этого нетрудно понять, просто обозначив круг задач, решаемых на базе этого математического аппарата. Родоначальником теории графов принято считать математика Леонарда Эйлера Однако теория графов многократно переоткрывалась разными авторами при решении различных прикладных задач. Задача о Кенигсбергских мостах. Задача состоит в том, чтобы обойти все четыре части суши, пройдя по каждому мосту один раз, и вернуться в исходную точку. Эта задача была решена показано, что решение не существует Эйлером в году. Задача о трех домах и трех колодцах. Имеется три дома и три колодца, каким-то образом расположенные на плоскости. Провести от каждого дома к каждому колодцу тропинку так, чтобы тропинки не пересекались рис. Эта задача была решена показано, что решение не существует Куратовским в году. Задача о четырех красках. Разбиение на плоскости на непересекающиеся области называется картой. Области на карте называются соседними, если они имеют общую границу. Задача состоит в раскрашивании карты таким образом, чтобы никакие две соседние области не были закрашены одним цветом рис. С конца позапрошлого века известна гипотеза, что для этого достаточно четырех красок. В году Аппель и Хейкен опубликовали решение задачи о четырех красках, которое базировалось на переборе вариантов с помощью компьютера. Суть опубликованного решения состоит в том, чтобы перебрать большое, но конечное число около типов потенциальных контрпримеров к теореме о четырех красках и показать, что ни один случай контрпримером не является. Этот перебор был выполнен программой примерно за тысячу часов работы суперкомпьютера. Многие математики ставят вопрос: Ведь в программе могут быть ошибки… Методы формального доказательства правильности программ не применимы к программам такой сложности, как обсуждаемая. Тестирование не может гарантировать отсутствие ошибок и в данном случае вообще невозможно. Таким образом, остается уповать на программистскую квалификацию авторов и верить, что они сделали все правильно. Графом G V,E называется совокупность двух множеств — непустого множества V множества вершин и множества E двухэлементных подмножеств множества V E — множество ребер. Ориентированным называется граф, в котором - множество упорядоченных пар вершин вида x,y , где x называется началом, а y — концом дуги. Дугу x, y часто записывают как. Говорят также, что дуга ведет от вершины x к вершине y, а вершина y смежная с вершиной x. Если элементом множества E может быть пара одинаковых не различных элементов V, то такой элемент множества E называется петлей, а граф называется графом с петлями или псевдографом. Если E является не множеством, а набором, содержащим несколько одинаковых элементов, то эти элементы называются кратными ребрами, а граф называется мультиграфом. Если элементами множества E являются не обязательно двухэлементные, а любые подмножества множества V, то такие элементы множества E называются гипердугами, а граф называется гиперграфом. Если задана функция F: В качестве множества пометок обычно используются буквы или целые числа. Если функция F инъективна, то есть разные вершины ребра имеют разные пометки, то граф называют нумерованным. Степень валентность вершины — это количество ребер, инцидентных этой вершине количество смежных с ней вершин. Маршрутом в графе называется чередующаяся последовательность вершин и ребер , в которой любые два соседних элемента инциденты. Если , то маршрут замкнут, иначе открыт. Если граф имеет цикл не обязательно простой , содержащий все ребра графа по одному разу, то такой цикл называется эйлеровым циклом. Если граф имеет простой цикл, содержащий все вершины графа по одному разу , то такой цикл называется гамильтоновым циклом. Расстоянием между вершинами u и v называется длина кратчайшей цепи , а сама кратчайшая цепь называется геодезической. Эксцентриситетом вершины v в связном графе G V,E называется максимальное расстояние от вершины v до других вершин графа G. Опираясь на приведенные выше определения теории графов, приведем формулировки и доказательства теорем, которые затем найдут свои приложения при решении задач. Пусть А1, А2, А3, Подсчитаем число ребер, сходящихся в каждой вершине, и просуммируем эти числа. Это равносильно нахождению суммы степеней всех вершин. При таком подсчете каждое ребро будет учтено дважды оно ведь всегда соединяет две вершины. Пусть a1, a2, a3, …, ak — это степени четных вершин графа, а b1, b2, b3, …, bm — степени нечетных вершин графа. Это возможно лишь в том случае, если m — четное, то есть четным является и число нечетных вершин графа. Что и требовалось доказать. Число всех людей, когда-либо пожавших руку другим людям, нечетное число раз, является четным. Во всяком графе с n вершинами, где n больше или равно 2, всегда найдутся две или более вершины с одинаковыми степенями. Если граф имеет n вершин, то каждая из них может иметь степень 0, 1, 2, Предположим, что в некотором графе все его вершины имеют различную степень, то есть, и покажем, что этого быть не может. В самом деле, эта вершина должна быть соединена с n-1 вершиной, в том числе и с А, но ведь А оказалась изолированной. Следовательно, в графе, имеющем n вершин, не могут быть одновременно вершины степени 0 и n Это значит, что из n вершин найдутся две, имеющие одинаковые степени. Если в графе с n вершинами n больше или равно 2 только одна пара имеет одинаковую степень, то в этом графе всегда найдется либо единственная изолированная вершина, либо единственная вершина, соединенная со всеми другими. Доказательство данной теоремы мы опускаем. Остановимся лишь на некотором ее пояснении. Содержание этой теоремы хорошо разъясняется задачей: В некоторый момент времени выясняется, что двое совершили одинаковое число обменов. Доказать, что среди школьников есть либо один еще не начинавший обмена, либо один уже завершивший его. Если у графа все простые циклы четной длины, то он не содержит ни одного цикла четной длины. Суть теоремы в том, что на этом графе невозможно найти цикл как простой, так и непростой нечетной длины, то есть содержащий нечетное число ребер. Для того, чтобы граф был эйлеровым, необходимо и достаточно, чтобы он был связным и все его вершины имели четную степень. Для того чтобы на связном графе можно было бы проложить цепь АВ, содержащую все его ребра в точности по одному разу, необходимо и достаточно, чтобы А и В были единственными нечетными вершинами этого графа. Доказательство этой теоремы очень интересно и характерно для теории графов. Его также следует считать конструктивным обратите внимание на то, как использована при этом теорема 3. Для доказательства к исходному графу присоединяем ребро А, В ; после этого все вершины графа станут четными. Этот новый граф удовлетворяет всем условиям теоремы 3. И если теперь в этом цикле удалить ребро А, В , то останется искомая цепь АВ. На этом любопытном приеме основано доказательство следующей теоремы, которую следует считать обобщением теоремы 7. Если данный граф является связным и имеет 2k вершин нечетной степени, то в нем можно провести k различных цепей, содержащих все его ребра в совокупности ровно по одному разу. По поводу доказательства этой теоремы сделаем одно замечание. Эта теорема известна, в основном, как вывод английского математика А. Графы-деревья издавна привлекали внимание ученых. Сегодня двоичные деревья используются не только математиками, а и биологами, химиками, физиками и инженерами подробнее об этом — в параграфе 6. Формула Эйлера справедлива для плоских связных графов, в которых ни один из многоугольников не лежит внутри другого. Эту формулу можно доказать методом математической индукции. Это доказательство мы опускаем. Заметим только, что формула справедлива и для пространственных многогранников. Пусть все пять вершин графа соединены друг с другом. Замечаем, что на графе нет ни одной грани, ограниченной только двумя ребрами. Далее рассуждаем от противного, а именно: Это значит, что для него верна формула Эйлера. Это число можно представить в виде суммы: Отсюда заключаем, что полный граф с пятью вершинами не является плоским. Теорема Понтрягина-Куратовского Граф является плоским тогда и только тогда, когда он не имеет в качестве подграфа полного графа с пятью вершинами. В заключение этого параграфа, на наш взгляд, следует упомянуть то, что в нем объяснялись только основные теоремы теории графов. Их практическое применение будет рассмотрено в следующих параграфах реферата. Конструирование структур данных для представления в программе объектов математической модели — это основа искусства практического программирования. Далее приводится четыре различных базовых представления графов. Выбор наилучшего представления определяется требованиями конкретной задачи. Более того, при решении конкретных задач используются, как правило, некоторые комбинации или модификации указанных представлений, общее число которых необозримо. Но все они так или иначе основаны на тех базовых идеях, которые описаны в этом разделе. Известны различные способы представления графов в памяти компьютера, которые различаются объемом занимаемой памяти и скоростью выполнения операций над графами. Представление выбирается, исходя из потребностей конкретной задачи. Далее приведены четыре наиболее часто используемых представления с указанием характеристики n p,q — объема памяти для каждого представления. Здесь p — число вершин, а q — число ребер. Представление графа с помощью квадратной булевой матрицы M, отражающей смежность вершин, называется матрицей смежности, где. Матрица смежности неориентированного графа симметрична относительно главной диагонали, поэтому достаточно хранить только верхнюю или нижнюю треугольную матрицу. Представление графа с помощью матрицы H, отражающей инцидентность вершин и ребер, называется матрицей инциденций, где для неориентированного графа. Представление графа с помощью списочной структуры, отражающей смежность вершин и состоящей из массива указателей на списки смежных вершин, где элемент списка представлен структурой. Развитие теории графов в основном обязано большому числу всевозможных приложений. По-видимому, из всех математических объектов графы занимают одно из первых мест в качестве формальных моделей реальных систем. Графы нашли применение практически во всех отраслях научных знаний: Наибольшей популярностью теоретико-графовые модели используются при исследовании коммуникационных сетей, систем информатики, химических и генетических структур, электрических цепей и других систем сетевой структуры. В работе были рассмотрены задачи из теории графов, которые уже стали классическими. Особенно часто в практическом программировании возникают вопросы о построении кратчайшего остова графа и нахождении максимального паросочетания. Известно также, что задача о нахождении гамильтонова цикла принадлежит к числу NP-полных, то есть эффективный алгоритм для ее решения не найден — приведенная программа ищет цикл методом перебора. Гамильтоновым циклом в графе называется цикл, проходящий через все вершины графа ровно один раз. Для данного графа найти гамильтонов цикл, если он существует. Эйлеровым циклом называется цикл в графе, проходящий через все ребра графа ровно один раз. Для данного графа найти эйлеров цикл, если он существует. Построить остовное дерево минимальной стоимости для связанного взвешенного графа, используя алгоритм Прима. Построить остовное дерево минимальной стоимости для связанного взвешенного графа, используя алгоритм Краскала. Все материалы в разделе "Математика". История возникновения теории графов. Основные понятия теории графов. Основные теоремы теории графов. Способы представления графов в компьютере. Обзор задач теории графов. Чернышевского Кафедра теоретических основ информатики и информационных технологий Саратов Введение В последнее время исследования в областях, традиционно относящихся к дискретной математике, занимают все более заметное место. Оптимизационные задачи на графах. Графы и их представление на ЭВМ. Решение комплексных практических задач в работе экономиста. Графы и частично упорядоченные множества. Решение задач по генетике с использованием законов Г. Решение задач о планировании перевозок. Решение математических задач в среде Excel. Метод программирования и схем ветвей в процессах решения задач дискретной оптимизации.
Списки в ворд бывают
Коляски трости новосибирск
Жену вернули всю в сперме
Марка стали для ножей таблица
Не загружается фото на смартфон
Торт панчо от рената агзамова
Расчеты по льготной категории граждан по валидаторам
Нарушение правил охраны труда комментарий
Женский кашемировый кардиган в 4 слоя
Сколько идти 1 км
Основные слова на японском с переводом
Пантенол инструкция по применению спрей
Таганрог генеральный план
Paint marker перевод
Вуги поликлиника 3 расписание