Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений СЛАУ относительно n неизвестных x 1 , x 2 , Матрица A , столбцами которой являются коэффициенты при соответствующих неизвестных, а строками - коэффициенты при неизвестных в соответствующем уравнении называется матрицей системы. Матрица-столбец b , элементами которой являются правые части уравнений системы, называется матрицей правой части или просто правой частью системы. Матрица-столбец x , элементы которой - искомые неизвестные, называется решением системы. Вычисление решения системы линейных уравнений по формулам Крамера. Метод Гаусса применим для решения системы линейных алгебраических уравнений c невырожденной матрицей системы. Идея метода Гаусса состоит в том, что систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных x 1 , x 2 , Матричная запись метода Гаусса. Прямой ход метода Гаусса: Обратный ход метода Гаусса: Решение системы линейных уравнений методом Гаусса. Дата последнего обновления информации на сайте: Действия с матрицами 2. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений 4. Общая теория систем линейных уравнений. Эта система в "свернутом" виде может быть записана так: Справедливо следующее утверждение формулы Крамера. Научно-практический журнал "Exponenta Pro. Приглашаем преподавателей к участию в конкурсе ИТ-Прорыв! Элементарная теория линейных операторов Список курсов ВМ. На первую страницу О проекте Сотрудничество Обратная связь e-mail.
Теория определителей возникла в связи с задачей решения систем линейных уравнений. Для старших размерностей определены Лейбницем в году. Первая публикация принадлежит Крамеру. Теория определителей создана Вандермондом , Лапласом , Коши и Якоби. Японский математик Сэки Такакадзу ввёл определители независимо в году [2]. Таким образом, в определитель входит n! Понятие определителя может быть введено на основе его свойств. А именно, определителем вещественной матрицы называется функция det: Для матрицы первого порядка значение детерминанта равно единственному элементу этой матрицы:. Значение определителя со знаком ориентированная площадь параллелограмма помимо коэффициента масштабирования также показывает, выполняет ли преобразование A отражение. Для более удобного вычисления определителя третьего порядка можно воспользоваться правилом Саррюса или правилом треугольника. Легко доказать, что при транспонировании определитель матрицы не изменяется иными словами, аналогичное разложение по первому столбцу также справедливо, то есть даёт такой же результат, как и разложение по первой строке:. Следующие свойства отражают основные результаты теории определителей, применение которых выходит далеко за пределы этой теории:. При изучении теории определителей полезно иметь в виду, что в основе этой теории лежит техника манипулирования со строками и столбцами матриц, разработанная К. Суть этих преобразований сводится к линейным операциям над строками столбцами и их перестановке. Эти преобразования достаточно простым образом отражаются на определителе, и при их изучении удобно "расчленить" исходную матрицу на строки или столбцы и считать определитель функцией, определённой над наборами строк столбцов. Свойства являются основными свойствами определителя как функции строк столбцов , они легко доказываются непосредственно из определения. Свойство 2 кососимметричность является логическим следствием свойств 1 и 3. Из свойств 1 и 3 вытекают также следующие свойства:. Тогда им будут соответствовать следующие столбцы: Одним из важнейших следствий универсальности определителя является следующая теорема о мультипликативности определителя. Свойство 3, очевидно, выполнено. Таким образом, определитель матрицы коэффициентов векторов относительно ортонормированного базиса имеет смысл ориентированного объёма параллелепипеда, построенного на этих векторах. Учитывая, что каждый член разложения определителя с ненулевым коэффициентом содержит ровно один элемент из i-ой строки, можно разложить определитель по членам этой строки:. Аналогично, учитывая, что каждый член разложения определителя с ненулевым коэффициентом содержит ровно один элемент из j-ого столбца, можно разложить определитель по членам этого столбца:. Полученные формулы полезно записать в матричном виде. Тогда, согласно с полученными формулами,. Следствие 1 Критерий обратимости матриц. Формула Крамера позволяет выразить решение системы линейных алгебраических уравнений в виде отношения определителей, в знаменателе которого стоит определитель системы, а в числителе - определитель матрицы системы, в которой столбец коэффициентов при соответствующей переменной заменён на столбец из правых частей уравнений. Пусть задана система линейных алгебраических уравнений в матричном виде: Утверждение доказано, так как. Одной из важнейших теорем в теории определителей является следующая теорема о решениях однородной системы линейных уравнений. Не ограничивая общности, считаем, что этот минор образован первыми r строками и столбцами иначе перенумеруем переменные и переставим уравнения в другом порядке. Тогда первые r уравнений системы в матричном виде записываются так:. Покажем, что при этом остальные уравнения будут выполнены автоматически. Данная теорема используется, в частности, для нахождения собственных значений и собственных векторов матриц. Тесно связанными с понятием определителя является понятие линейной зависимости и полноты систем векторов в векторном пространстве. Материал из Википедии — свободной энциклопедии. У этого термина существуют и другие значения, см. Площадь параллелограмма равна модулю определителя матрицы, образованной векторами - сторонами параллелограмма. В противном случае, в силу кососимметричности свойства 2 , получается: Необходимость условия содержится в следствии 2 предыдущего раздела. Тогда первые r уравнений системы в матричном виде записываются так: An Introduction to the History of Mathematics. Triangular factorization and inversion by fast matrix multiplication, Mathematics of Computation , 28 — Для улучшения этой статьи желательно: Проставив сноски , внести более точные указания на источники. Статьи без сносок Википедия: Статьи с невикифицированным списком литературы Википедия: Навигация Персональные инструменты Вы не представились системе Обсуждение Вклад Создать учётную запись Войти. Пространства имён Статья Обсуждение. Просмотры Читать Править Править вики-текст История. В других проектах Викисклад. Эта страница последний раз была отредактирована 2 июля в Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike ; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия. Свяжитесь с нами Политика конфиденциальности Описание Википедии Отказ от ответственности Разработчики Соглашение о cookie Мобильная версия.
https://gist.github.com/ac4aebb64ee7d3518fcb9ffa3fe51308
https://gist.github.com/0b75669163170f95f1ddd642432d9386
https://gist.github.com/2cdebd5e847067437cd4b359505afdda