Вы уже знаете, что задачи по стереометрии в первой части ЕГЭ на самом деле простые. Правильный чертеж, элементарная логика, внимательность, плюс некоторые приемы, о которых мы рассказали в первой части статьи и еще расскажем — вот и всё, что вам нужно. Перейдем сразу к практике. Найдите объем треугольной пирамиды. Мы помним, что объем параллелепипеда равен. А объем пирамиды равен. Иными словами, если у параллелепипеда и пирамиды одинаковые основания и одинаковые высоты, то объем пирамиды будет в три раза меньше, чем объем параллелепипеда. А у нашей пирамиды еще и площадь основания в два раза меньше. Значит, ее объем в шесть раз меньше объема параллелепипеда. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба. Об одном из способов решения этой задачи мы уже рассказали. Посчитайте, сколько нужно четырехугольных пирамидок, чтобы сложить из них такой кубик. Есть и второй способ. Если бы пирамида и куб имели одинаковые высоты, объем пирамиды был бы в раза меньше объема куба поскольку площади основания у них одинаковые. А у нашей пирамиды высота в два раза меньше, чем у куба. Значит, ее объем будет в раз меньше, чем у куба. Радиусы трех шаров равны , и. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов. На самом деле это задача по алгебре, причем элементарная. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны , а объем равен. Мы говорили, что в основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный треугольник. У него все углы равны и все стороны тоже равны. Площадь его проще всего найти по формуле. Поскольку , высота равна. Найдите объем конуса, образующая которого равна и наклонена к плоскости основания под углом градусов. Если вы вдруг забыли, что такое образующая, — смотрите нашу таблицу с формулами. Вспомним, что угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость, то есть угол. Из прямоугольного треугольника находим, что. Объем конуса найдем по известной формуле и поделим на. Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами , а боковые ребра равны и наклонены к плоскости основания под углом градусов. Нарисуйте вид сверху, то есть правильный шестиугольник. У него все стороны равны, все углы тоже равны. Как найти площадь правильного шестиугольника, если специальную формулу вы не знаете? Проще всего разбить его на одинаковых равносторонних треугольников. Формула площади равностороннего треугольника вам известна: Итак, площадь основания равна. Высота призмы — это отрезок, перпендикулярный ее основаниям. Из прямоугольного треугольника АСН находим: Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна и образует углы , и градусов с плоскостями граней параллелепипеда. Мы уже говорили, что угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость. Проекцией диагонали на нижнее основание будет отрезок. Пусть диагональ образует угол градусов именно с плоскостью нижнего основания. Итак, мы нашли высоту параллелепипеда. Проекцией на переднюю грань будет отрезок. Из прямоугольного треугольника найдем. Мы нашли ширину параллелепипеда. А его длина то есть отрезок находится аналогично. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно. Но зачем такие сложности? В основании лежит равнобедренный прямоугольный треугольник, площадь которого равна. Тогда объем пирамиды равен. Объем треугольной пирамиды , являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды , равен. Найдите объем шестиугольной пирамиды. У треугольной и шестиугольной пирамид, о которых говорится в условии, одинаковые высоты. Разные только площади основания. Видим, что площадь основания треугольной пирамиды в раз меньше, чем у шестиугольной. Если в условии задачи или есть рисунок — значит, повезло. Рисунок — это уже половина решения. А если его нет? Значит, рисуйте сами, как умеете. Вам ведь не девочку на шаре надо изобразить, а намного более простые объекты: Середина ребра куба со стороной является центром шара радиуса. Найдите площадь части поверхности шара, лежащей внутри куба. Значит, сторона куба является диаметром шара. Осталось понять, какая часть шара лежит внутри куба. Вершина куба со стороной является центром сферы, проходящей через точку. Найдите площадь части сферы, содержащейся внутри куба. В ответе запишите величину. Здесь главное — понять, какая часть шара лежит внутри куба. Порисуйте кубики и шарики. Пока есть возможность, возьмите яблоко оно почти шарообразной формы , потренируйтесь. Жаль, что на ЕГЭ вам не выдадут килограмма яблок для отработки пространственного мышления. Объем треугольной пирамиды равен. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении , считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду. Эта задача уже поинтереснее — ей и до недалеко. Это значит, что она делит его на отрезки, длины которых и. Плоскость делит пирамиду на две. У пирамид и общее основание. Ясно, что отношение их объемов равно отношению высот. Проведем перпендикуляры и к плоскости основания пирамиды. Очевидно, что отрезок параллелен отрезку , поскольку два перпендикуляра к одной плоскости параллельны друг другу. Через две параллельные прямые можно провести плоскость, причем только одну. Итак, точки и лежат в одной плоскости, то есть мы от стереометрической задачи перешли к плоской, планиметрической. Объем пирамиды равен объема пирамиды. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер. Прежде всего, все ребра равны, значит, тетраэдр — правильный. В его основании лежит равносторонний треугольник, а вершина проецируется в центр этого треугольника. Заметим, что отрезок параллелен поскольку является средней линией треугольника. И отрезок тоже параллелен , потому что является средней линией треугольника. Мы помним, что средняя линия треугольника не только параллельна основанию — она равна половине основания. А у нашего тетраэдра все ребра равны. Значит, — ромб, все стороны которого равны. Мы уже сказали, что у правильного тетраэдра вершина точка проецируется в центр основания точка. В основании — правильный треугольник. Значит, точка будет точкой пересечения биссектрис, медиан и высот этого треугольника, и тогда перпендикулярен. Вспомним теорему о трех перпендикулярах. И тогда — квадрат. А теперь — самые сложные задачи. Для их решения существуют секретные приемы. Конечно же, лучше знать их заранее, чем изобретать на экзамене. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра. Можно долго искать формулу объема октаэдра а именно он там и находится, в серединке , а можно поступить умнее. Помните, как в задаче мы считали площадь неудобно расположенных фигур? Здесь проще всего посчитать площадь квадрата со стороной , в который вписан данный треугольник. И вычесть из нее площади трех прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? В нашей задаче про тетраэдр и многогранник можем поступить аналогично. Как получился этот многогранник в серединке? От исходного тетраэдра отрезали четыре маленьких тетраэдра, объем каждого из которых в раз меньше, чем объем большого об этом мы уже говорили. Обратите внимание, нарисован куб, а написано — параллелепипед. Мы знаем, что его объем равен , но не знаем, чему равны его длина, ширина и высота. Не так-то просто найти площадь основания и высоту пирамиды. Так может, и не надо этого делать? Есть более удобный способ — тот же, что и в предыдущей задаче. Ведь пирамида получается, если мы отрежем от параллелепипеда четыре пирамиды по углам — , , и. А объем каждой из них легко посчитать — мы делали это в первой задаче этой статьи. Например, объем пирамиды равен объема параллелепипеда. Объем четырех всех пирамид, которые отрезали, равен объема параллелепипеда. Значит, объем пирамиды равен объема параллелепипеда. Задачи и освоены — от самых простых до самых сложных. Заходите чаще на наш сайт. Если вам понравились геометрия и стереометрия, мы расскажем, как решать задачу. Мы обязательно Вам перезвоним. Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cocies. Это совершенно обычная практика. Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности. Чтобы получить доступ к закрытым материалам для подготовки к ЕГЭ, пожалуйста, зарегистрируйтесь. Главная О компании Новости Команда Вакансии Документы Платим деньги Расписание Москва Орел Чебоксары Химки Готовься бесплатно Преподаватели Фотоальбом Отзывы Франшиза. Учебные материалы и курсы для подготовки к ЕГЭ по математике и другим предметам. Подготовка к ЕГЭ Бесплатные материалы Видеокурсы ЕГЭ по математике Видеокурсы ОГЭ по математике Годовой онлайн-курс Анны Малковой Материалы для репетиторов и учителей Подготовительные курсы к ЕГЭ Обучающее видео БЕСПЛАТНО Имя: Пушкинская и еще 5 офисов. Копирование материалов допускается только с разрешения владельца сайта и при наличии обратной ссылки. Онлайн курс Анны Малковой по математике от А до Я Смотреть. Материалы отправлены Вам на электронную почту! Оставайтесь вместе с нами!
В ней изложен курс геометрии 11 класса в виде теоретических и практических Моя библиотека Справка Расширенный поиск книг. Геннадий Солтан , Aлла Солтан. Книга написана в соответствии с программой по математике для учреждений общего среднего образования. В ней изложен курс геометрии 11 класса в виде теоретических и практических материалов для самоподготовки, включены тесты для систематизации знаний и закрепления практических умений и навыков за 10—11 классы. Для учащихся учреждений общего среднего образования, гимназий, абитуриентов. Пособие будет полезным для самостоятельной работы учащихся, а также при подготовке к экзаменам по математике. Призма Площадь поверхности призмы. Пирамида Площадь поверхности пирамиды. Усеченная пирамида и площадь ее поверхности. Свойства плоских углов при вершине пирамиды. Тесты по разделуМногогранники и площади их поверхностей. Комбинации цилиндра и шара цилиндра и многогранника. Комбинации конуса и шара конуса и многогранника конуса и цилиндра. Тесты по разделу Тела вращения и их комбинации с многогранниками. Тесты по разделу Объемы многогранников. Плоскость касательная к сфере. Комбинации шара и многогранника. Площадь поверхности и объем шара. Тесты по разделу Площади поверхностей и объемы тел вращения. Ответы и указания к упражнениям. Часто встречающиеся слова и выражения.
https://gist.github.com/0c1b6afaca6965470d64365102b1f6c4
https://gist.github.com/43aaea55542ce445f75e706f1f388094
Представьте произведение в виде произведения возможно большего