4.3. ПРИВЕДЕННАЯ СТОИМОСТЬ ДЕНЕГ И ДИСКОНТИРОВАНИЕ
Боди З., Мертон Р. Финансы
Дисконтированная стоимость
Частота начисления сложных процентов M 4. Приведенная стоимость денег и дисконтирование M 4. Правила инвестирования на основе дисконтирования денежных потоков M 4. Множественные денежные потоки M 4. Пожизненная рента M 4. Инфляция и анализ на основе дисконтирования денежных потоков 4. Налоги и инвестиционные решения. Как мы узнали из первой главы, при принятии финансовых решений необходимо учитывать разнесенные во времени расходы и доходы. Людям, принимающим финансовые решения в фирмах и домохозяйствах, нужно думать о том, оправдано ли сегодняшнее вложение денег ожидаемыми выгодами в будущем. Для этого необходимо верное понимание концепции стоимости денег во времени time value of money, TVM и метода дисконтирования денежных потоков, или метода ДДП discounted cash flow, DCF , которые представлены в этой главе. Концепцию стоимости денег во времени TVM можно объяснить следующим образом: Существует, как минимум, три причины, по которым это утверждение правдиво. Первой причиной является то, что эти деньги вы можете инвестировать, получить проценты, и денег у вас в конце концов станет больше. Вторая причина заключается в следующем — покупательная способность денег со временем может упасть из-за инфляции. Третья — в получении денег в будущем нельзя быть до конца уверенным. В этой главе мы расскажем о том, каким образом учитывать первый фактор: Об инфляции и неопределенности мы расскажем в следующих главах. Мы начинаем изучение стоимости денег во времени и анализа дисконтированных денежных потоков с понятия сложных процентов. С помощью вычисления сложных процентов совершается процесс перехода от приведенной, или, как еще говорят, текущей стоимости present value денег, PV к будущей стоимости future value FV. Будущая стоимость — это сумма, которой будут равняться инвестированные деньги к определенной дате с учетом начисления сложных процентов. Например, предположим, что вы положили долл. Сумма, которую вы получите через пять лет при условии, что не возьмете ни цента до истечения этого срока, называется будущей стоимостью долл. Давайте определим наши термины более точно: PV — приведенная стоимость, или начальная сумма на вашем счете. В данном примере долл. FV— будущая стоимость через п лет. Теперь рассчитаем будущую стоимость в этом примере поэтапно. Во-первых, сколько денег у вас будет по окончании первого года? У вас будет долл. Будущая стоимость ваших денег, таким образом, будет равняться долл Если вы оставите долл. Таким образом сумма начисленных процентов будет равна 0,10 х долл. Значит, к концу второго года вы будете счастливым обладателем долл. Для того чтобы получить ясное представление о природе сложных процентов, мы можем разбить будущую стоимость долл. Первая часть— это исходные долл. Следующим компонентом будут проценты, начисленные на эту сумму, — долл. Проценты, начисленные на основную сумму вклада, называются простыми процентами simple interest долл. И наконец, есть еще проценты в размере 10 долл. Проценты, начисленные на уже выплаченные проценты, называются сложными процентами compound interest. Общая сумма процентных начислений долл. Фактически вас не беспокоит то, сколько из общей суммы в долл. Все, что вы действительно хотите знать, так это то, сколько денег будет на вашем счете в будущем. Самый простой способ расчета будущей стоимости к концу второго года заключается в умножении начальной суммы на коэффициент 1,1 здесь мы опускаем нуль из 1,10 для того, чтобы упростить наше уравнение и затем еще раз умножаем на 1, Итак, теперь мы можем ответить па поставленный вопрос. Будущая стоимость долл. Общая сумма процентных начислений за пять лет составляет ,51 долл. Если процентная ставка в предыдущем примере составляет всего5-годовых, то какова будущая стоимость? Сколько составят простые и сложные проценты? Для того чтобы лучше понять начисление сложных процентов, посмотрите на табл. Если, используя данные из таблицы, построить диаграмму на рис. Хотя совокупная величина простых процентов вырастает каждый год на одну и ту же сумму долл. Сложные проценты в диаграмме — это общая сумма всех сложных процентов начисленных до этого времени. В общем говоря, если i — процентная ставка и и — количество лет, то будущую стоимость долл. Выражение в скобках в формуле 4. В нашем примере он равняется , Формула для вычисления коэффициента будущей стоимости достаточно простая:. Будущую стоимость любой вложенной на пять лет суммы денег при ставке процента! Таким образом, будущая стоимость долл. Коэффициент будущей стоимости тем больше, чем выше процентная ставка и чем дольше срок, на который кладутся деньги. Диаграмма будущей стоимости и сложных процентов. На практике существует множество способов вычисления будущей стоимости, которые мы можем проиллюстрировать примером расчета будущей стоимости долл. Мы можем просто умножить на 1,1 пять раз:. Этот метод хорош в случае, если срок вклада не очень велик. Но если количество периодов п увеличивается, этот метод становится утомительным. Если у вас есть калькулятор с клавишей у, вы можете просто посчитать: Будущая стоимость 1 долл. Чем выше процентная ставка, тем быстрее растет будущая стоимость. Общая формула для расчета будущей стоимости в расчете на 1 долл.: Будущая стоимость I доллара для разных периодов и процентных ставок. Существуют специализированные финансовые калькуляторы, предназначенные дм того, чтобы облегчить вычисления. Нажатием соответствующих клавиш вы вводите в произвольном порядке количество периодов n , процентную ставку i и величину вклада PV , а затем рассчитываете будущую стоимость FV. И, как по волшебству, ответ появляется на дисплее калькулятора. Программы электронных таблиц для персональных компьютеров, такие как Lotus и Excel, также имеют встроенные возможности расчета будущей стоимости. Мы также можем использовать для расчетов таблицы коэффициенты будущей стоимости, такие как в табл. Таблица показывает, что соответствующим коэффициентом является 1, Затем мы умножаем наши долл. И наконец, существует удобный способ, который поможет вам подсчитать будущую стоимость ваших денег, если у вас под рукой нет калькулятора или соответствующей таблицы. Это правило называется правилом 72 Rule of Оно гласит, что количество лет, необходимое для того, чтобы сумма денег удвоилась "время удвоения" , примерно равно числу 72, поделенному на процентную ставку, выраженную в процентах в год:. Если вы начнете с долл. Вам 20 лет и вы подумываете о том, чтобы положить на счет долл. Сколько денег будет на вашем счете когда вам будет 65 лет? Сколько из этой суммы составят простые проценты, а сколько — сложные? Используя любой из рассмотренных ранее методов мы получаем:. Поскольку начальная сумма составляет долл. Простые проценты получаются путем перемножения следующих величин — 45 х 0,08 х долл. Суть этого примера заключается в том, что незначительная разница в ставках процента может привести к большой разнице в будущей стоимости через большой промежуток времени. Запомните, что правило 72 может помочь нам найти довольно приблизительный ответ на наши вопросы. Таким образом, через 45 лет эта сумма удвоилась бы 5 раз, дав нам примерную будущую стоимость в размере долл Вам необходимо принять следующее инвестиционное решение. У вас есть долл. Вы решили приобрести банковские депозитные сертификаты. Для того чтобы принять это решение, вам нужно сначала подумать о том, какой будет ставка процента по депозитному сертификату в следующем году. Речь идет о стоке реинвестирования reinvestment rate , то есть о процентной ставке, по которой деньги, полученные до окончания намеченного срока инвестирования то есть до истечения двух лет , могут быть вложены повторно. Теперь, используя концепцию будущей стоимости, вы можете принять решение об инвестировании. Вы рассчитываете будущую стоимость дня каждого варианта и выбираете тот, который даст больше денег по истечении двух лет. При наличии двухлетнего депозитного сертификата будущая стоимость первоначального вклада составит;. При последовательном вложении в два одногодичных депозитных сертификата будущая стоимость будет равняться:. Через пятьдесят лет после окончания колледжа вы получаете письмо, в котором вас уведомляют о том, что вы не заплатили взносы в сумме долл. Ваш колледж хотел бы, чтобы вы выплатили эти деньги ко дню пятидесятилетней годовщины встречи выпускников вашего класса. Как благодарный выпускник вы чувствуете, что обязаны заплатить. Сколько вы им задолжали? Используя один из методов, которые были рассмотрены ранее мы находим:. В году Питер Минит Peter Minuit купил остров Манхэттен у индейцев за безделушки, которые стоили примерно 24 долл. Ввиду того что частота начислений может быть различной, очень важно знать способ сравнения процентных ставок. Это делается путем вычисления действующей или эффективной годовой процентной ставки effective annual rate, EFF , эквивалентной процентной ставке при условии начисления процентов один раз в году. Это значит, что проценты начисляются на ваш счет каждый месяц в сумме; от установленной ставки APR. Мы найдем EFF путем подсчета будущей стоимости в конце года в расчете на доллар, вложенный в начале года. В этом примере мы получим:. Если начисление производится один раз в год, тогда эффективная годовая процентная ставка равна процентной ставке в годовом исчислении. В случае, если частота начислений сложных процентов увеличивается, действующая годовая процентная ставка становится все больше и больше, приближаясь к своему максимальному значению. Какой будет действующая годовая процентная ставка? Рабочая книга M 4. Но предположим, что мы хотим знать, сколько нужно инвестировать сегодня для того, чтобы достичь запланированной суммы к определенной дате в будущем. Например, если нам нужно долл. Для того чтобы найти ответ на этот вопрос, нам необходимо рассчитать приведенную стоимость этой будущей суммы. Процедура расчета приведенной стоимости противоположна вычислению будущей стоимости. Иными словами, с ее помощью мы можем выяснить, какую сумму нам необходимо вложить сегодня для того, чтобы получить определенную сумму в будущем. Давайте проследим за тем, как рассчитывается приведенная стоимость. Предположим мы хотим иметь долл. Сумма, которую мы должны вложить сейчас, представляет собой приведенную стоимость будущих долл. Следовательно, мы можем написать:. Теперь предположим, что долл. Для определения приведенной стоимости мы используем наши знания того, как найти будущую стоимость:. Таким образом, ,45 долл. Расчет приведенной стоимости называется дисконтированием, и процентную ставку, которую используют в таких расчетах, часто называют дисконтной ставкой, или ставкой дисконтирования. Необходимо иметь в виду, что под дисконтированием в финансах понимается нечто совсем иное, чем в розничной торговле. В розничной торговле этот термин обозначает снижение цены с целью продажи большего количества товаров. В финансах же этот термин означает расчет приведенной стоимости денег исходя из их определенной суммы в будущем. Для того чтобы различать эти два вида дисконтирования в мире бизнеса, расчет приведенной стоимости называется анализом дисконтированных денежных потоков, или денежных потоков, приведенных к одному моменту времени discounted cashflow DCF analysis. Общая формула для вычисления приведенной стоимости 1 долл. Это выражение называется коэффициентом приведенной текущей стоимости 1 долл. Если мы посчитаем приведенную стоимость 1 долл. Для того чтобы найти приведенную стоимость долл. Поскольку дисконтирование — это процесс, обратный начислению сложных процентов, то для подсчета текущей стоимости мы можем использовать табл. Вместо того чтобы умножать на этот коэффициент, мы поделим на него. Таким образом, мы можем найти приведенную стоимость долл. Для удобства существуют таблицы коэффициентов приведенной стоимости, подобные табл. Общая формула для определения приведенной стоимости 1 долл. Приведенная стоимость 1 долл. Если просмотреть значения в любом из столбцов сверху вниз, то можно заметить, как приведенная стоимость уменьшается тем больше, чем меньше времени остается до того момента, как 1 долл. Ваш брат на свое десятилетие получает сберегательную облигацию на сумму долл. По этому типу облигаций ничего не выплачивается вплоть до наступления срока погашения. Подсчитывая полученные надень рождения "богатства", он считает, что эта облигация уже принесла ему долл. Как бы вы могли объяснить своему брату его ошибку? Мы ищем приведенную стоимость долл. Существует несколько способов, пользуясь которыми мы можем это подсчитать. На обычном калькуляторе мы могли бы найти эту приведенную стоимость, разделив на 1,08 пять раз и получив при этом На финансовом калькуляторе подобном тому, что изображен на рис, 4. Мы также могли бы воспользоваться коэффициентом приведенной стоимости 1 доллара, взятым из табл. Умножим этот коэффициент на долл. Разъяснить ситуацию вашему брату — задача не из легких. Возможно, для этого лучше использовать концепцию будущей стоимости. Вы могли бы объяснить ему, что сегодня его сберегательная облигация стоит всего 68 долл. Какова приведенная стоимость долл. Суть концепции выражена в уравнении, которое объединяет будущую стоимость, приведенную стоимость, процентную или дисконтную ставку и количество периодов ее начисления:. Если нам известны значения трех из имеющихся в этом уравнении переменных, мы можем найти значение четвертой и, основываясь на этом, сформулировать правило принятия инвестиционных решений. Наиболее общее правило принятия решений — правило определения чистой приведенной стоимости NPV. Это правило не только широко используется и применимо к любой ситуации то есть если его использовать правильно, то можно застраховаться от неправильного решения , но и интуитивно понятно. Правило NPV звучит следующим образом. Принимайте участие в проекте, если приведенная стоимость будущих денежных поступлений от его реализации превышает ваши первоначальные инвестиции. Главная сложность заключается в том, чтобы не "сравнивать яблоки с апельсинами". Поэтому при расчете будущих денежных потоков что мы и будем делать через некоторое время мы должны использовать их приведенную стоимость для того, чтобы их можно было сравнивать с сегодняшними затратами. Инвестируйте в проект, если его WFположительна. Откажитесь от инвестирования в проект, если NPV отрицательна. Например, предположим, что есть возможность купить сберегательную облигацию номиналом долл. Является ли покупка сберегательной облигации хорошим вложением денег? Давайте посмотрим, как использовать правило принятия решений на основе HPV для оценки этой инвестиции. Начальное вложение в сберегательную облигацию равно 75 долл. Какова приведенная стоимость денежных поступлений от облигации? Ответ прост — это приведенная дисконтированная стоимость долл. Ставка дисконтирования, применяемая нами в этом случае, — это ставка доходности, которую можно было бы получить, если бы деньги не были вложены в облигацию. Для расчетов NPV любой инвестиции в качестве процентной ставки или говоря более широко — ставки доходности, мы используем альтернативную стоимость капитала opportunity cost of capital , также называемую рыночной ставкой помещения или капитализации market capitalization rate. Альтернативная стоимость капитала — это та ставка доходности, которую мы могли бы получить от других направлений инвестирования, если бы не израсходовали эту сумму в проекте, подлежащем сейчас оценке. Однако не всегда понятно, откуда следует брать альтернативную стоимость капитала, поэтому на этот вопрос мы ответим в приложении к этой главе. Для того чтобы легко проследить все расчеты, которые мы будем делать особенно, если мы воспользуемся финансовым калькулятором , мы поместим наши данные в следующую таблицу. Знак вопроса обозначает переменную, значение которой необходимо узнать. В этом случае мы используем три переменных, FV, п, и i для того, чтобы рассчитать четвертую, PV. Затем мы сравним рассчитанную нами приведенную стоимость с известными начальными затратами на покупку сберегательной облигации. С помощью соответствующей формулы мы найдем:. Другими словами, NPV инвестиции, 68,06 долл. Проявляется критерием того, насколько сильно изменяется ваше текущее финансовое состояние в результате сделанного выбора. Понятно, что если NPV отрицательна, деньги вкладывать не стоит. В данном случае, если вы примете решение о покупке данной облигации, то ваше текущее богатство ухудшится приблизительно на 7 долл. Для того чтобы прийти к тому же самому заключению, можно использовать другой способ, известный под названием правила будущей стоимости. Оно гласит; Вкладывайте деньги в проект, если его будущая стоимость больше будущей стоимости, которую вы получите в ходе реализации другого варианта инвестирования средств. Это правило не так очевидно, как рассмотренное ранее, хотя и приводит к тому же решению, что и правило ЛУК Причина, по которой это правило не часто используется на практике, заключается в том, что при многих обстоятельствах как будет показано далее в книге будущую стоимость инвестиций нельзя рассчитать, в то время как правило NPV применить можно. Давайте теперь посмотрим, как правило будущей стоимости использовалось бы в том же самом примере, с помощью которого мы проиллюстрировали правило NPV. Покупка облигации первоначальная инвестиция 75 долл. Действительно ли облигация имеет более высокую будущую стоимость, чем мы могли бы получить в банке? И снова, пользуясь имеющимися у нас данными, заполним таблицу:. Воспользовавшись формулой, мы получим, что будущая стоимость денег на банковском счете составит:. Совершенно очевидно, что эта сумма значительно выше, чем будущих долларов, получаемых при погашении сберегательной облигации. И вновь мы приходим к выводу, что сберегательная облигация является худшим вариантом инвестирования. Существуют другие правила принятия решений, которые также используются на практике, У каждого из них имеются свои собственные основания для применения и каждое служит для решения конкретных проблем. Стоит отметить, однако, что ни одно из правил не имеет такого универсального применения, как правило NPV. Вот еще одно широко используемое правило, которое во многих случаях может быть эквивалентом правила NPV: Это правило опирается на сравнение имеющихся ставок доходности. Если вы вложите 75 долл. Другими словами, мы хотим найти i для того, чтобы решить уравнение:. Другими словами, IRR равна процентной ставке, при которой NPV равна нулю. Таким образом, если ставка, при которой NPV равен нулю то есть IRR выше, чем альтернативная стоимость капитала, тогда нам понятно, что NPV при альтернативной стоимости капитала должна быть положительной. Мы знаем, что расчет NPV учитывает будущие поступления. Мы также знаем, что приведенная стоимость будущих денежных потоков больше, когда дисконтная ставка невелика. Для того чтобы рассчитать i на финансовом калькуляторе, введите PV, FV, и и подсчитайте i. Мы поставили знак "минус" перед 75 долл. В большинстве финансовых калькуляторов сумма первоначальной инвестиции вводится со знаком "минус". В этом нет ничего удивительного, так как в программе калькулятора заложена необходимость первоначальных расходов вводимых со знаком "-" для того, чтобы получить обратный положительный денежный поток в будущем. Если бы все денежные потоки наличности были положительными, мы могли бы создать машину для производства денег, а это, к сожалению, невозможно. Если у вас нет финансового калькулятора, вы можете найти значение ", используя свои знания алгебры:. Совершенно понятно, что выгоднее класть деньги в банк. Правило принятия решений на основе внутренней ставки доходности эквивалентно правилу NPV в том, что касается оценки одноразовой инвестиции, которая не предполагает больше дополнительных вложений, то есть отрицательных будущих денежных потоков. Но даже и при этом условии данное правило не позволяет проранжировать по степени выгодности потенциальные инвестиционные возможности. В целом это правило можно сформулировать следующим образом: В примере, который мы решали с помощью нашего финансового калькулятора, есть еще одна переменная: Давайте рассчитаем эту величину для сберегательной облигации. Мы знаем, что FV равна долл. Чему же тогда равняется n? Мы нашли, что п равняется 3,74 года. Как можно интерпретировать полученный результат? Это наблюдение подводит нас к следующему правилу: Иными словами, выбирайте тот вариант инвестирования, при котором вы можете превратить вложенные 75 долл. Это правило, однако, применяется только в особых случаях- Как и в случае с правилом IRR, правило "срока окупаемости" не подходит для принятия решений в большинстве случаев. Хотя эти альтернативные правила иногда используются на практике, придерживайтесь правила NPV как безопасного и универсального правила выбора. У вас есть возможность купить участок земли за долл. Вы уверены, что через пять лет он будет стоить долл. Вспомним ранее рассмотренное правило: Не инвестируйте средства, если его NPV отрицательна". Какой является приведенная стоимость долл. В этом случае мы вводим в финансовый калькулятор значения FV, n, i и рассчитываем PV. Затем мы сравниваем рассчитанную нами приведенную стоимость с первоначальными затратами в долл. Таким образом, инвестиция в земельную собственность имеет приведенную стоимость долл. Сравнив с долл. Ее NPV равняется долл. Докажите, что использование рассмотренных ранее правил принятия инвестиционных решений приводит к тому же результату — инвестиция выгодна. В предыдущем примере мы рассматривали возможность инвестиций, когда требовалось вложить наши деньги сейчас и получить деньги обратно в какой-то момент в будущем. Но очень часто финансовые решения подразумевают совершенно противоположное. Например, предположим, что вам нужно взять в долг долл. Затем вы идете к другу, который говорит, что одолжит вам долл. Первое, что нам нужно сделать, — это правильно определить параметры проекта, который необходимо оценить. Необходимая вам сумма денег, которые вы можете занять у своего друга входящий поток денег и приведенную стоимость которых вы хотите оценить, составляет долл. Инвестиция, которую вам предстоит сделать, представляет собой приведенную стоимость долл. Для того чтобы разобраться в этом, мы должны рассчитать NPV проекта. Значения денежных потоков у нас есть. Мы определили, что приведенная стоимость ваших будущих затрат исходящего денежного потока составляет ,66 долл. Таким образом, NPV проекта равняется долл. Отсюда следует, что инвестиционный проект, предполагающий заем у вашего друга, не заслуживает внимания. Лучше взять нем в банке. Какова подразумеваемая процентная ставка, которую предлагает вам друг? Ответ мы получим, решив уравнение приведенной стоимости относительно i:. Вам лучше взять заем в банке. Обратите внимание, что ставка, которую вы только что рассчитали, — это IRR займа у вашего друга. В предыдущих примерах мы утверждали, что правило IRR действует следующим образом; вкладывайте деньги в проект, если его IRR больше, чем альтернативная стоимость капитала. Это правило применимо в случае, если особенностью проектов является одноразовое вложение то есть начальный денежный поток — отрицательный, а будущие потоки — положительные. Однако должно быть совершенно понятно, что для проектов, в которых речь идет о займе то есть начальный денежный поток положительный и будущий денежный поток, предназначенный для выплаты долга, отрицательный это правило должно быть перевернуто с ног на голову: Как было отмечено ранее, главная потенциальная проблема с правилом IRR может возникнуть там, где есть множественные денежные потоки. В таких случаях IRR может быть не одна или IRR может вообще не быть. Более подробно об этой проблеме мы расскажем дальше. Рабочая книга До сих. Что происходит, если их больше одного? Предположим, что вы хотите отложить деньги на обучение ребенка в колледже 4. Или же вы подходите к облигации как такому виду инвестиций, который способен обеспечить денежный поток будущих выплат, или думаете о том, чтобы взять заем в банке, что потребует от вас периодических выплат для его погашения. Для того чтобы знать, как вести себя во всех этих более сложных ситуациях, нам нужно только немного расширить рассмотренные концепции. Полезным инструментом при анализе потоков наличности во времени является временной график time line , приведенный на рис. Знак "минус" перед денежным потоком означает, что вы вкладываете эту сумму денег исходящий поток , в то время как отсутствие знака говорит о том, что вы получаете эту сумму входящий поток. В нашем примере вы инвестируете в начале точка 0 на графике и получаете 20 в конце первого периода, 50 — в конце второго, и 60 — в конце третьего. Мы начинаем анализ с примера о сбережениях, опираясь на концепцию будущей стоимости. Итак, каждый год вы кладете долл. Сколько денег у вас будет через два года, если до истечения этого срока вы не снимете со счета ни цента? Затем вы добавите еще одну долл. К концу второго года на вашем счете будет 1,1 x долл. Будущую стоимость долл. Для этого мы отдельно рассчитываем будущую стоимость первых двух вкладов по долл. Будущая стоимость первого вклада равняется:. Сложив полученные величины, мы получим те же самые долл. Предположим, вы положили в банк долл. Приведенная стоимость множественных денежных потоков. Зачастую нам необходимо рассчитать именно приведенную, а не будущую, стоимость ряда денежных потоков. Предположим, вы хотите получить долл. В этом случае мы должны рассчитать приведенную стоимость двух денежных потоков, показанных на рис. Поскольку будущая стоимость суммарных денежных потоков равна сумме будущей стоимости каждого из них, точно так же определяется и приведенная стоимость. Предположим, у вас появилась возможность вложить деньги в проект, отдача от которого составит долл. От вас требуется вложить долл. Вы убеждены в том, что проект совершенно лишен риска. Обратите внимание, что эта задача очень похожа на предыдущую. Денежные потоки, вызванные реализацией этого проекта, будут такие же, как и изображенные на рис. Ввиду того что инвестиции, необходимые для начала реализации этого проекта, составляют всего долл. Отсюда следует, что, как уже упоминалось в этой главе, инвестиция с положительной NPV выгодна. Следовательно, это предложение имеет смысл принять. Часто в сберегательных схемах, инвестиционном проекте или схеме возврата кредита будущие денежные поступления или выплаты то есть положительные или отрицательные денежные потоки остаются неизменными из года в год. Такого рода ряд постоянных поступлений или выплат денег называется аннуитетом, или рентой annuity. Этот термин пришел к нам из сферы страхования жизни, в которой договором аннуитета называется договор, гарантирующий покупателю ряд выплат за определенный период времени. В финансах этот термин применяется по отношению к любому количеству денежных платежей. Таким образом, ряд платежей по рассрочке или ипотечному договору также называется аннуитетом- Если денежные платежи начинаются немедленно, как это присуще сберегательному плану или аренде, такой договор называется срочным или немедленным аннуитетом immediate annuity. Если денежный поток начинается в конце текущего периода, а не немедленно, такой договор называется обычным аннуитетом ordinary annuity. Ипотека является примером обычного аннуитета. Существуют более удобные формулы, таблицы и функции калькулятора для расчета будущей и приведенной стоимости аннуитета, которые могут пригодиться, когда несколько денежных потоков распределены по многим периодам. Предположим, вы намерены откладывать по долл. Если вы начнете откладывать деньги сразу, у вас будет: Полученный результат — ,10 долл. Коэффициент, на который умножается долл. Хотя в таблицах есть коэффициенты будущей стоимости для разных процентных ставок и количества периодов, сегодня многие предпочитают пользоваться финансовыми калькуляторами. Клавиша калькулятора, предназначенная для ввода значения периодических платежей, на большинстве моделей обозначена РМТ сокращение от payment. В нашем примере нам известны значения i , п, РМТ, и мы хотим рассчитать PV. Мы вписываем данные в соответствующие ячейки таблицы и ставим знак вопроса в графу, значение которой мы хотим подсчитать. При расчете будущей стоимости аннуитета, несомненно, имеет значение вид аннуитета — немедленный, как в нашем примере, или обычный. В случае с обычным аннуитетом первый взнос в размере долл. Хотя и в том, и в другом случае количество платежей одинаково, при немедленном аннуитете на общую сумму начисляются проценты за дополнительный год. Для обычного аннуитета величиной 1 доля. Мы определили, что будущая стоимость ежегодных долларовых взносов по нашему сберегательному плану с учетом трехгодичного периода равняется ,10 долл. На некоторых финансовых калькуляторах есть специальная кнопка, нажав на которую, вы можете установить, когда начинаются выплаты аннуитета — в начале или в конце первого периода. На калькуляторе, изображенном на рис. Диаграмма денежных потоков аннуитета. Часто нам необходимо узнать еще и приведенную стоимость платежей по аннуитету. Ответом будет приведенная стоимость трех денежных платежей. Приведенная стоимость аннуитета — это сумма приведенной стоимости каждого из трех платежей по долл Полученный результат является приведенной стоимостью аннуитета и равняется ,69 долл. Коэффициент, на который умножали платежи по долл. Приведем формулу для расчета приведенной стоимости обычного аннуитета в 1 долл. На финансовом калькуляторе мы могли бы ввести значения для и, i, PMT и рассчитать PV. Вам 65 лет, и вы подумываете о целесообразности покупки специального договора пожизненного страхования он тоже называется аннуитет у страховой компании. Каков размер процентной ставки, которую вам собирается платить страховая компания? Сколько вам нужно прожить для того, чтобы оправдать покупку аннуитета? Доказательство того, что вклад в размере ,69 долл. Проще всего определить целесообразность принятия этого решения об инвестировании на основе расчета приведенной стоимости выплат по договору пожизненного страхования договор аннуитета и сравнения полученной суммы со стоимостью аннуитета долл. Допустим, что это обычный аннуитет. Тогда ожидается 15 выплат по долл. Другими словами, для того, чтобы собрать те же самые 15 годовых платежей по долл. Следовательно, чистая приведенная стоимость, вложения в аннуитет, составляет:. Для того чтобы рассчитать предполагаемую процентную ставку по аннуитету, нам необходимо найти дисконтную ставку, благодаря которой Wf этого вклада становится равной нулю. Для того чтобы найти данную величину на финансовом калькуляторе, мы вводим значения п, РМТ, РV и рассчитываем i. Для того чтобы определить количество лет, которое человек должен прожить для того, чтобы оправдать покупку этого аннуитета, мы должны задать себе следующий вопрос: Правильный ответ — 21 год. На финансовом калькуляторе мы можем найти эту величину п после того, как введем значения для i, РМТ и PV. Теперь давайте рассмотрим пример финансового решения. Вы решили купить дом и вам необходимо занять долл. Банк, в который вы обратились, предлагает взять ипотечный кредит с погашением его в течение 30 лет ежемесячными платежами. Другой банк предлагает вам летний ипотечный кредит с ежемесячной выплатой по долл. Размер платежа составляет ,61 долл. Он рассчитывается следующим образом:. На первый взгляд может показаться, что ипотечный кредит сроком на 30 лет выгоднее, так как ежемесячный платеж 1 ,61 долл. Но по ипотечному кредиту сроком на 15 лет вам -придется сделать всего платежей. Для того чтобы найти эту ставку, произведем такие вычисления:. Пожизненная рента -— это ряд денежных выплат, который продолжается вечно. Классическим примером могут служить облигации "консоль", выпущенные Оршанским правительством в девятнадцатом веке, процент по номиналу которых выплачивался каждый год, но которые не имели срока погашения. Другим примером и, возможно, более актуальным может служить привилегированная акция, по которой дивиденды выплачиваются по итогам каждого периода обычно поквартально и которая не имеет обусловленного срока выкупа. Неудобной особенностью любой пожизненной ренты является то, что вы не можете рассчитать будущую стоимость выплат по ней, потому что она бесконечна. Несмотря на это, она имеет вполне определенную приведенную стоимость. На первый взгляд нижет показаться парадоксальным, что серия денежных выплат, которая длится вечно, имеет в настоящее время определенную стоимость. Давайте рассмотрим бессрочный поток денежных выплат в долл. Если процентная ставка составляет 10Х годовых, то какова стоимость этой пожизненной ренты сегодня? Если бы вы положили на счет долл. Вы могли бы снять со счета долл. Если обобщить сказанное, формула для расчета приведенной стоимости пожизненной ренты выглядит следующим образом:. По привилегированным акциям компании Boston Gas and Electric Co, выплачиваются дивиденды в размере 10 долл. Сначала нам необходимо рассчитать доходность привилегированных акций. Для того чтобы это сделать, нам нужно только разделить дивиденды в размере 10 долл. Для того чтобы принять это решение об инвестировании, вы, конечно, должны учитывать рискованность инвестиций. Эту сторону вопроса мы подробно рассмотрим ниже. Часто возникают ситуации, когда денежные поступления от инвестиций увеличиваются с постоянным темпом прироста. Предположим, вы подумываете о том, чтобы вложить деньги в недвижимость, доход от которой, как вы ожидаете, составит в первый год долл. Для того чтобы оценить такую инвестицию, вам нужна формула для вычисления текущей стоимости растущего аннуитета growth annuity. Она имеет следующий вид:. Тогда приведенная стоимость недвижимости составила бы:. Если вы можете приобрести недвижимость менее чем за долл. Следующие дивидендные выплаты составят 1 долл. Поток ожидаемых будущих денежных дивидендов как раз и является примером растущего аннуитета. Используем формулу для расчета растущего аннуитета:. Многие займы, такие как кредиты на покупку дома и покупку машины, выплачиваются равномерными периодическими платежами. Каждый из них состоит из двух частей: После каждой выплаты оставшаяся сумма долга уменьшается на уже выплаченную величину. Следовательно, в следующих платежах та часть, которая содержит в себе начисленные проценты, меньше, чем проценты за предыдущий период, а часть, приходящаяся на выплату основной суммы займа, больше, чем в предыдущем периоде. Допустим, вы берете кредит в долл. Сначала мы рассчитываем годовой платеж, для чего находим РМТ, PV которого составляет долл. Таким образом, годовой платеж составляет ,48 долл. Какую часть от ,48 долл. Остаток от ,48 долл. Таким образом, после первого платежа остаток долга по займу составляет долл. Процесс постепенной регулярной выплаты займа на протяжении всего его периода называется амортизацией займа amortization. Сколько из ,48 долл. Остаток после второй выплаты, следовательно, равен ,52 долл. Третий и последний платеж покрывает как проценты, так и основную сумму ,54 долл. Этот анализ показывает, как с каждой последующей выплатой ,48 долл. Вы собрались приобрести автомобиль и подумываете о займе в долл. Месячная выплата равна 88,84 долл. Продавец машины убеждает вас в следующем: Ввиду того что общая сумма выплат процентов за год всего 66,19 долл. В чем заблуждение продавца? Дело в том, что с первым месячным платежом и с каждым последующим вы не только платите проценты на остаток долга, но и выплачиваете часть основной суммы. Поскольку ваш месячный платеж составляет 88,85 долл. Полная схема амортизации займа представлена в табл. Предположим, вы собираетесь вложить долл. Какой вариант инвестирования лучше выбрать на следующий год и почему? Ответ зависит от того, насколько сильно изменится валютный курс доллара к иене на протяжении года. Предположим, обменный курс сейчас составляет иен за доллар и, следовательно, ваши долл. Если вы вложите деньги в облигации в иенах, то через год у вас будет иен то есть 1,03 х иен. Если вы поместите свой капитал в долларовые облигации, у вас будет долл. Облигации в иенах будут стоить в долларах долл. Облигация в иенах будет иметь долларовый эквивалент долл. При каком будущем обменном курсе вам было бы все равно, какой облигации отдать предпочтение? Для того чтобы найти уровень обменного курса, который выведет вашу инвестицию на точку безубыточности, разделите иен на долл. Таким образом, мы можем сделать следующее заключение: Если валютный курс доллара к немецкой маркеравен0,50 долл. Для того чтобы избежать путаницы при приеме финансовых решений относительно разных валют пользуйтесь простым правилом: Таким образом, для того, чтобы рассчитать приведенную стоимость денежных потоков, выраженных в иенах, вы должны дисконтировать их, используя процентную ставку для инвестиций в иенах. Рассчитывать же приведенную стоимость денежных потоков, выраженных в долларах, вы должны, используя долларовую процентную ставку. Расчет приведенной стоимости платежей, выраженных в иенах, с использованием долларовых процентных ставок приводит к ошибочным ответам. Предположим, что вы пытаетесь решить, в какой из стран вам лучше вложить деньги — в Америке или Японии — при условии, что в обоих случаях первоначальные затраты составляют долл. Японский проект будет приносить вам по иен дохода в год на протяжении пяти лет, тогда как поступления от американского проекта составят долл. У какого проекта NPV выше? Вычтем начальные издержки в размере долл. Затем мы рассчитываем NPV японского проекта, используя процентную ставку для иен:. Теперь переведем PV японского проекта из иен в доллары по текущему обменному курсу 0,01 долл. Отняв начальные издержки в размере долл. Таким образом, ЛТяпонского проекта выше, и именно на нем вам следует остановить свой выбор. И вы таким образом выбрали бы американский проект. Давайте разберемся с вопросом о сбережениях на старость. В возрасте 20 лет вы отложили долл. Хорошая новость заключается в том, что ваши вложенные долл. Плохая новость — вещи, которые вы покупаете сегодня, к тому времени будут стоить гораздо больше. Таким образом, вы ничего не выиграете. Поэтому, для того чтобы принимать действительно разумные решения о долговременных инвестициях, вы должны учитывать как процентную ставку, так и уровень инфляции. Для этого необходимо различать номинальную и реальную ставки процента. Номинальная процентная ставка — это ставка, выраженная в той или иной валюте без поправок на инфляцию, а реальная процентная ставка корректирует номинальную на уровень инфляции. Это различие между реальной и номинальной процентными ставками было рассмотрено в главе 2 раздел 2. Общая формула, связывающая реальную процентную ставку с номинальной процентной ставкой и уровнем инфляции, выглядит следующим образом:. Использование годовых процентных ставок APR с непрерывным начислением процентов упрощает алгебраическое соотношение между реальной и номинальной ставкой доходности- С учетом этого соотношение между годовыми процентными ставками принимает следующий вид:. С точки зрения финансового планирования знание реальной процентной ставки дает большое преимущество. Объясняется это тем, что, в конечном счете, именно последняя обусловливает то, что вы сможете купить на свои сбережения в обозримом будущем. Вернемся к нашему конкретному примеру, в котором вы в возрасте 20 лет положили на счет долл. Что мы действительно хотели бы знать, так это то, сколько денег с точки зрения реальной покупательной способности у вас будет к тому времени, когда вам исполнится 65 лет. Есть два способа расчета необходимых нам данных — простой и сложный. Первый заключается в том, чтобы рассчитать будущую стоимость долл. Мы определим искомую нами величину как реальную будущую стоимость real future value. В качестве альтернативы мы можем прийти к тому же результату поэтапно. И наконец, делим номинальную будущую стоимость на будущий уровень, чтобы найти реальную будущую стоимость:. Конечный результат тот же самый. Мы выяснили, что если положить долл. Итак, существует два способа вычисления реальной будущей стоимости долл. Расчет будущей стоимости на основе реальной процентной ставки. Расчет номинальной будущей стоимости с использованием номинальной ставки и последующей переоценкой ее с учетом инфляции с целью найти реальную будущую стоимость. Какой из этих двух равноценных методов вам подойдет, зависит от конкретной ситуации. Вашей дочери 10 лет, и вы планируете открыть счет для того, чтобы обеспечить оплату ее образования в колледже. Плата за год обучения в колледже сейчас составляет долл. Если вы положите долл. Если вы подсчитаете будущую стоимость долл. Но плата за обучение представляет собой своего рода постоянно удаляющуюся цель. Плата за обучение в прошлом увеличивалась, как минимум, на общий уровень инфляции. Таким образом, ваших долл. Собираясь инвестировать долл. Первый из финансовых инструментов мы назовем номинальным депозитным сертификатом, a второй — реальным депозитным сертификатом. Какой из них вы выберете? Ваш выбор зависит от прогнозов уровня инфляции на следующий год. Поэтому вам лучше приобрести номинальный депозитный сертификат. Конечно, так как вы не можете совершенно точно знать, какого уровня достигнет инфляция, принятие решения усложняется. Мы вернемся к этой проблеме позже, когда будем рассматривать вопрос учета неопределенности при принятии решений об инвестировании. Предположим, вы заняли долл. Хотя вы и должны вернуть долл. Проценты в размере 80 долл. Другими словами, вы выплачиваете долг "подешевевшими" долларами, Нет ничего удивительного в том, что когда процентная ставка по займу установлена заранее, дебиторы рады непредвиденной инфляции, а кредиторы нет. Во многих финансовых задачах, где рассчитывается приведенная стоимость, будущая сумма не фиксируется. Предположим, вы планируете купить машину через четыре года и хотите сейчас отложить достаточно денег для того, чтобы заплатить за нее. Машина, о покупке которой вы подумываете, стоит, скажем, долл. Пытаясь рассчитать, какую сумму вам необходимо вложить сейчас, вполне естественно следующим образом рассчитывать приведенную стоимость долл. Вы вполне можете прийти к заключению, что сейчас достаточно вложить в банк долл. Но это было бы ошибкой. Если машина, которую вы хотите купить, стоит сейчас долл. Это зависит от уровня инфляции. Есть два равнозначных способа учета инфляции для таких ситуаций. Первый способ заключается в том, чтобы рассчитать приведенную стоимость, используя реальную дисконтную ставку. Как мы видели ранее, реальная дисконтная ставка определяется следующим образом:. Второй способ состоит в том, чтобы рассчитать приведенную стоимость долл. Тем или иным способом мы получаем тот же результат: Причина, по которой мы в первый раз ошибочно подсчитали необходимую для вклада сумму всего лишь долл. Вспомним один из наших предыдущих примеров: Год обучения в колледже сейчас обходится в долл. Сколько денег вам нужно положить на счет сейчас для того, чтобы хватило заплатить за первый год обучения через восемь лет, если вы думаете, что вам удастся разместить деньги на условиях вы-. В этом случае вы не в состоянии точно предсказать ожидаемый уровень инфляции. Но нужно ли это для того, чтобы ответить на стоящий перед вами практический вопрос? Ответ "нет" подкреплен тем, что вы думаете, что плата за обучение будет расти независимо от общего уровня инфляции. При этом допущении реальная стоимость образования через восемь лет будет такой же, как и сегодня — долл. Значит, вы можете рассчитать приведенную стоимость, дисконтируя долл. Если по ошибке вы дисконтировали бы долл. Полученный результат говорит о том, что через восемь лет вам бы не хватило денег заплатить за обучение. Вопрос неопределенности мы рассмотрим более подробно в последующих главах. Когда вы обдумываете различные варианты долгосрочных сбережений, очень важно принимать во внимание инфляцию. Сумма, которую вы можете себе позволить откладывать каждый год, будет расти вместе с общей стоимостью жизни, так как ваш доход тоже, скорее всего, будет увеличиваться. Один из простых способов управиться со всем этим, не имея точных прогнозов уровня инфляции, заключается в том, чтобы составлять планы, учитывая постоянные реальные платежи и реальную процентную ставку. Вашей дочери 10 лет и вы планируете открыть счет в банке для того, чтобы обеспечить ей возможность получить образование в колледже. Вы хотите класть деньги на счет равными суммами в реальном выражении ежегодно на протяжении восьми последующих лет д ля того, чтобы накопить достаточно денег и через восемь лет заплатить за первый год обучения. Для того чтобы найти ежегодную реальную сумму вклада, мы сначала найдем значение РМТ. Таким образом, сумма ежегодного вклада должна быть такой, чтобы соответствовать по сегодняшней покупательной способности ,85 долл. В соответствии с этим планом сбережений номинальная сумма, поступающая на счет каждый год, должна корректироваться в соответствии с текущим уровнем инфляции. В результате суммы, которая накопится на счете за восемь лет, хватит на оплату обучения. Необходимая плата за обучение, которая нам понадобится через восемь лет, составит в реальном выражении долл. Для того чтобы убедиться в том. Вычисляя величину номинального ежегодного взноса при номинальной процентной ставке 8. Реальная стоимость этой суммы в сегодняшних долларах составит — как раз хватит заплатить за обучение. При принятии инвестиционных решений учитывать инфляцию столь же важно, как и при принятии решений о личных сбережениях. При инвестировании в такие виды реальных активов, как недвижимость, заводы и оборудование, будущие денежные поступления от сделанных капиталовложений, скорее всего, увеличатся в номинальном выражении из-за инфляции. Если вы не скорректируете соответствующим образом сложившуюся ситуацию, то можно упустить стоящие инвестиционные возможности- Для того чтобы понять, насколько важно должным образом принимать во внимание инфляцию, обратите внимание на следующий пример. Допустим, что в настоящее время ваш дом отапливается мазутом и ежегодные расходы на отопление составляют долл. Вы подсчитали, что благодаря переходу на газовое отопление вы сможете сократить расходы на отопление на долл. Стоимость установки системы газового отопления составляет долл. Обратите внимание, что для этого решения нет естественных временных ограничений- Допустим, что разница в долл. Предположим также, что предстоящие затраты на замену отопительной системы останутся прежними в случае использования любой из систем. Таким образом, при принятии решения мы можем их не учитывать. Значит, эта инвестиция приносит вечный доход — вы платите долл. Если вы думаете, что разница в цене долл. Таким образом, вы должны сравнить ее с ожидаемой реальной процентной ставкой банковского вклада. Таким образом, возможно, в конце концов, это неплохой вариант вложения. На основании этого примера мы можем сформулировать следующее правило: Это правило лишь ненамного отличается от предостережения, которое мы давали ранее в этой главе: Ваш комментарий о книге Обратно в раздел Экономика и менеджмент Список тегов: Все права на книги принадлежат их авторам. Если Вы автор той или иной книги и не желаете, чтобы книга была опубликована на этом сайте, сообщите нам. Библиотека Гумер - Экономика и менеджмент. Налоги и инвестиционные решения Как мы узнали из первой главы, при принятии финансовых решений необходимо учитывать разнесенные во времени расходы и доходы. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ Мы начинаем изучение стоимости денег во времени и анализа дисконтированных денежных потоков с понятия сложных процентов. Будущая стоимость ваших денег, таким образом, будет равняться долл.: Самый простой способ расчета будущей стоимости к концу второго года заключается в умножении начальной суммы на коэффициент 1,1 здесь мы опускаем нуль из 1,10 для того, чтобы упростить наше уравнение и затем еще раз умножаем на 1,1: Будущая стоимость и сложные проценты Годы Вклад в начале года долл. Вклад в конце года долл. Формула для вычисления коэффициента будущей стоимости достаточно простая: Диаграмма будущей стоимости и сложных процентов 4. Расчет будущей стоимости На практике существует множество способов вычисления будущей стоимости, которые мы можем проиллюстрировать примером расчета будущей стоимости долл. Мы можем просто умножить на 1,1 пять раз: Будущая стоимость I доллара для разных периодов и процентных ставок Существуют специализированные финансовые калькуляторы, предназначенные дм того, чтобы облегчить вычисления. Оно гласит, что количество лет, необходимое для того, чтобы сумма денег удвоилась "время удвоения" , примерно равно числу 72, поделенному на процентную ставку, выраженную в процентах в год: N i PV FV Результат 5 8? Теология апокрифы апологетика библейские толкования библиология библейские словари богословие догматика душепопечительство екклесиология история церкви оккультизм патрология религиоведение сектология современная церковь сравнительное богословие. Конфессии атеизм ислам иудаизм католицизм православие протестантизм. Иностранные языки Английский Французский Немецкий Иврит Японский Турецкий Испанский Китайский. Каталоги Новые книги Именной Хронологический Авторы. Разное Форум Блог Новости Туризм Рефераты Ссылки Связь Site Map. Поиск по сайту Введите условия поиска Web www. Итоговая номинальная будущая стоимость ,90 долл.
5 способов затролить друга в майнкрафт
Рэхт прайс лист
Вирусный цистит симптомы
Графическая работа 7 по инженерной графике лунева
Что делать консалт собеседование
Характеристики нового уаз патриот 2017 года
Где в электростали заброшенная больница
Административное право т
Политика где путин
Расписание электричек тарасовская москва
Импрессионизм во французском искусстве
Общее исковое заявление образец
Бифидумбактерин баг инструкция
Государство сент китс и невис на карте
Расписание врачей поликлиника 121