От текста к рисунку, от рисунка к схеме
Решение и оформление простых задач в 1 классе
2. Приемы моделирования при обучении решению простых задач
Понятие графа целесообразно вводить после того, как разобрано несколько задач, подобных задаче 1, решающее соображение в которых — графическое представление. Важно, чтобы ученики сразу осознали, что один и тот же граф может быть нарисован разными способами. Строгое определение графа, на мой взгляд, давать не нужно, так как оно слишком громоздко и это только затруднит обсуждение. На первых порах хватит и интуитивного понятия. При обсуждении понятия изоморфизма можно решить несколько упражнений на определение изоморфных и неизоморфных графов. Одно из центральных мест темы — теорема о четности числа нечетных вершин. Важно, чтобы ученики до конца разобрались в ее доказательстве и научились применять к решению задач. При разборе нескольких задач рекомендую не ссылаться на теорему, а фактически повторять ее доказательство. Чрезвычайно важно также понятие связности графа. Содержательным соображением здесь является рассмотрение компоненты связности, на это необходимо обратить особое внимание. Эйлеровы графы — тема почти игровая. Первая и главная цель, которую нужно преследовать при изучении графов, —научить школьников видеть граф в условии задачи и грамотно переводить условие на язык теории графов. Не стоят рассказывать обе всем на нескольких занятиях подряд. Лучше разнести занятия по времени на 2—3 учебных года. Графы — замечательные математические объекты, с их помощью можно решать очень много различных, внешне не похожих друг на друга задач. В математике существует целый раздел — теория графов, который изучает графы, их свойства и применение. Мы же обсудим только самые основные понятия, свойства графов и некоторые способы решения задач. Между девятью планетами солнечной системы установлено космическое сообщение. Рейсовые ракеты летают по следующим маршрутам: Земля — Меркурий; Плутон — Венера; Земля — Плутон; Плутон — Меркурий; Меркурий — Вене; Уран — Нептун; Нептун — Сатурн; Сатурн — Юпитер; Юпитер — Марс и Марс — Уран. Можно ли долететь на рейсовых ракетах с Земли до Марса? Доска имеет форму двойного креста, который получается, если из квадрата 4x4 убрать угловые клетки. Можно ли обойти ее ходом шахматного коня и вернуться на исходную клетку, побывав на всех клетках ровно по одному разу? Мы рассмотрели две непохожие задачи. Однако решения этих двух задач объединяет общая идея — графическое представление решения. При этом и картинки, нарисованные для каждой задачи, оказались похожими: Такие картинки и называются графами. Точки при этом называются вершинами , а линии — ребрами графа. Заметим, что не каждая картинка такого вида будет называться графом. Будем называть что рисунок такого вида, как в предыдущих задачах, графом, если есть какая-то конкретная задача для которой такой рисунок построен. Другое замечание касается вида графа. Попробуйте проверить, что граф для одной и той же задачи можно нарисовать разными способами; и наоборот для разных задач можно нарисовать одинаковые по виду графы. Здесь важно лишь то, какие вершины соединены друг с другом, а какие — нет. Например, граф для задачи 1 можно нарисовать по-другому:. Запишем еще одно определение: Степенью вершины графа называется количество выходящих из нее ребер. В связи с этим, вершина, имеющая четную степень, называется четной вершиной, соответственно, вершина, имеющая нечетную степень, называется нечетной вершиной. С понятием степени вершины связана одна из основных теорем теории графов —теорема о честности числа нечетных вершин. Докажем ее мы немного позднее, а сначала для иллюстрации рассмотрим задачу. В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы каждый телефон был соединен ровно с пятью другими? Допустим, что такое соединение телефонов возможно. Тогда представим себе граф, в котором вершины обозначают телефоны, а ребра — провода, их соединяющие. Подсчитаем, сколько всего получится проводов. К каждому телефону подключено ровно 5 проводов, то есть степень каждой вершины нашего графа — 5. Чтобы найти число проводов, надо просуммировать степени всех вершин графа и полученный результат разделить на 2 так как каждый провод имеет два конца, то при суммировании степеней каждый провод будет взят 2 раза. Но тогда количество проводов получится разным. Но это число не целое. Значит наше предположение о том, что можно соединить каждый телефон ровно с пятью другими, оказалось неверным. Количество ребер графа равно половине суммы степеней его вершин. Так как количество ребер должно быть целым числом, то сумма степеней вершин должна быть четной. А это возможно только в том случае, если граф содержит четное число нечетных вершин. Граф называется связным, если из любые две его вершины можно соединить путем, то есть непрерывной последовательностью ребер. Существует целый ряд задач, решение которых основано на понятии связности графа. В стране Семерка 15 городов, каждый из городов соединен дорогами не менее, чем с семью другими. Докажите, что из каждого города модно добраться в любой другой. Рассмотрим два произвольных А и В города и допустим, что между ними нет пути. Каждый из них соединен дорогами не менее, чем с семью другими, причем нет такого города, который был бы соединен с обоими рассматриваемыми городами в противном случае существовал бы путь из A в B. Нарисуем часть графа, соответствующую этим городам:. Теперь явно видно, что мы получили не менее различных 16 городов, что противоречит условию задачи. Значит утверждение доказано от противного. Если принять во внимание предыдущее определение, то утверждение задачи можно переформулировать и по-другому: Теперь вы знаете, как выглядит связный граф. Пример несвязного графа вы видите на рисунке:. Каждый такой отдельный кусок называется компонентой связности графа. Каждая компонента связности представляет собой связный граф и для нее выполняются все утверждения, которые мы доказали для связных графов. Рассмотрим пример задачи, в которой используется компонента связности:. В Тридевятом царстве только один вид транспорта — ковер-самолет. Из столицы выходит 21 ковролиния, из города Дальний — одна, а из всех остальных городов, — по Докажите, что из столицы можно долететь в город Дальний. Понятно, что если нарисовать граф ковролиний Царства, то он может быть несвязным. Рассмотрим компоненту связности, которая включает в себя столицу Царства. Из столицы выходит 21 ковролиния, а из любых других городов, кроме города Дальний — по 20, поэтому, чтобы выполнялся закон о четном числе нечетных вершин необходимо, чтобы и город Дальний входил в эту же самую компоненту связности. А так как компонента связности — связный граф, то из столицы существует путь по ковролиниям до города Дальний, что и требовалось доказать. Вы наверняка сталкивались с задачами, в которых требуется нарисовать какую-либо фигуру не отрывая карандаш от бумаги и проводя каждую линию только один раз. Оказывается, что такая задача не всегда разрешима, то есть существуют фигуры, которые указанным способом нарисовать нельзя. Вопрос разрешимости таких задач также входит в теорию графов. Впервые его исследовал в году великий немецкий математик Леонард Эйлер, решая задачу о Кенигсбергских мостах. Поэтому графы, которые можно нарисовать указанным способом, называются Эйлеровыми графами. Можно ли нарисовать изображенный на рисунке граф не отрывая карандаш от бумаги и проводя каждое ребро ровно один раз? Если мы будем рисовать граф так, как сказано в условии, то в каждую вершину, кроме начальной и конечной, мы войдем столько же раз, сколько выйдем из нее. То есть все вершины графа, кроме двух должны быть четными. В нашем же графе имеется три нечетные вершины, поэтому его нельзя нарисовать указанным в условии способом. На квадратной доске 3x3 расставлены 4 коня так, как показано на рис. Можно ли сделав несколько ходов конями, переставить их в положение, показанное на рис. Занумеруем клетки доски, как показано на рисунке:. Каждой клетке поставим в соответствие точку на плоскости и, если из одной клетки можно попасть в другую ходом шахматного коня, то соответствующие точки соединим линией. Исходная и требуемая расстановки коней показаны на рисунках:. При любой последовательности ходов конями порядок их следования, очевидно, измениться не может. Поэтому переставить коней требуемым образом невозможно. В стране Цифра есть 9 городов с названиями 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Путешественник обнаружил, что два города соединены авиалинией в том и только в том случае, если двузначное число, образованное названиями городов, делится на 3. Можно ли долететь по воздуху из города 1 в город 9? Поставив в соответствие каждому городу точку и соединив точки линией, если сумма цифр делится на 3, получим граф, в котором цифры 3, 5, 9 связаны между собой, но не связаны с остальными. Значит долететь из города 1 в город 9 нельзя. В государстве городов к из каждого города выходит 4 дороги. Сколько всего дорог в государстве. Подсчитаем общее количество выходящих городов дорог — Однако при таком подсчете каждая дорога посчитана 2 раза — она выходит из одного города и входит в другой. Значит всего дорог в два раза меньше, то есть В классе 30 человек. Может ли быть так, что 9 человек имеют по 3 друга, 11 — по 4 друга, а 10 — по 5 друзей? Может ли в государстве, в котором из каждого города выходит ровно 3 дороги, быть ровно дорог? Число дорог равно числу городов х, умноженному на 3 число выходящих из каждого города дорог и разделенному на 2 см. Значит дорог в таком государстве быть не может. Докажите, что число людей, живших когда-либо на Земле и сделавших нечетное число рукопожатий, четно. В стране из каждого города выходит дорог и из каждого города можно добраться до любого другого. Одну дорогу закрыли на ремонт. Докажите, что и теперь из любого города можно добраться до любого другого. Рассмотрим компоненту связности, в которую входит один из городов, дорогу между которыми закрыли. По теореме о четности числа нечетных вершин в нее входит и второй город. А значит по-прежнему можно найти маршрут и добраться из одного из этих городов в другой. Имеется группа островов, соединенных мостами так, что от каждого острова можно добраться до любого другого. Турист обошел все острова, пройдя по каждому мосту розно 1 раз. На острове Троекратном он побывал трижды. Сколько мостов ведет с Троекратного, если турист. На рисунке изображен парк, разделенный на несколько частей заборами. Можно ли прогуляться по парку и его окрестностям так, чтобы перелезть через каждый забор розно 1 раз? Школа цифрового века Педагогический университет. Подать заявку Личный кабинет. Главная Положение о фестивале и конкурсах Содержание: Голованева Любовь Викторовна , учитель математики. Школа цифрового века Педагогический университет Вебинары Педагогический марафон Учительская книга.
Информационные модели на графах Информатика и ИКТ 7 класс Гимназия 1 г. Новокуйбышевска Учитель информатики: Красакова О.Н. - презентация
Два населенных пункта А и С расположены на берегу большой реки на расстоянии 36 км. Между ними ежедневно курсируют катера, график движения которых представлен на рисунке. Используя представленный график, определите, сколько катеров ежедневно выходит в рейс? Какова скорость течения реки и какова собственная скорость катеров? На пристани пункта А именно здесь находится начало координат висит обрывок расписания, из которого следует, что первый катер отходит от пристани А в 5. Попытайтесь восстановить расписание движения катеров время отправления от пристани А и прибытия катеров на пристань А. Ответ представьте в виде таблицы: По рисунку определяем, что на нем представлены три графика движения катеров: Таким образом, ежедневно в рейс выходит три катера. Обозначим v - скорость катера, u - скорость течения реки. Восстановим расписание движения катеров: Обозначим массу воздуха в банке m, масса моющего средства по условию такая же. Когда к куску льда подвели количество теплоты Q, то растаяла масса льда, которую можно найти Кусок льда с вмороженной дробинкой начнет тонуть, когда архимедова сила станет меньше суммарной силы тяжести, действующей на лед и дробинку, поэтому Подставим в неравенство выражение для объемов и изменения массы льда и получим: Когда выполняется равенство, то кусок льда только начинает тонуть, этому соответствует минимальное количество теплоты, подведенное к куску льда. Найдем это минимальное значение количества теплоты: Обозначим сопротивления вольтметра R v , сопротивление амперметра R A , сила тока через приборы: Определим напряжение на амперметре: Используя закон Ома для участка цепи, определим сопротивление амперметра Из данных определяем полное сопротивление схемы Т. Сначала найдем полное сопротивление новой схемы. Параллельно с резистором включен амперметр, последовательно к этому участку вольтметр, поэтому По закону Ома можем найти силу тока через вольтметр и напряжение на вольтметре: Тогда напряжение и сила тока на амперметре равны: Пусть расстояние между судами в начальный момент времени будет равно L. В равностороннем треугольнике это длина стороны. Найдем время, которое потребовалось обоим судам для прохождения этого пути: Приравнивая левые части двух уравнений, получаем: После преобразований получаем квадратное уравнение: Для этого нужно затратить количество теплоты, равное. Ученик Вася, смешав равные объемы, должен получить среднее значение плотности Ученик Петя должен был получить другую формулу, так как массы жидкостей равны. Рассмотрим движение буя в воздухе. Ускорение постоянно и равно g. Пройденный путь равен Н - х. Используя формулу, построим график v x по точкам. В этом случае графики v x и a x будут иметь вид: Найдем коэффициенты в данной зависимости из данных о движении. Из условия задачи на глубине 25 м скорость равна 0. Подставив сюда выражение для v, получим: Построим графики по точкам, получим: Объем пасты, выдавленной поршнем за небольшой промежуток времени, равен За то же самое время на поверхности оказался такой же объем пасты: Во время прилива брусок находится на песчаном дне. В таком случае вода под нижнюю грань бруска не проникает, поэтому на него не действует архимедова сила. Бакен погрузится под воду полностью. Изобразим силы, действующие на бакен и брусок: Если последнее уравнение выполняется, то бакен плавает. Если в левой части уравнения получится положительное число, то бакен всплывает; если отрицательное, то нет. В ответе получилось отрицательное число, следовательно, бакен не всплывет во время прилива. Во втором случае, когда дно покрыто круглой галькой, под нижнюю грань бруска вода проникать будет. Потому на брусок будет так же действовать архимедова сила. Проведем аналогичные расчеты и рассуждения, как в первом случае: Так как в данном случае получилось положительное число, то можно сделать вывод о том, что бакен всплывет. При этом архимедова сила, действующая на бакен, будет равна: Бакен будет погружен в воду частично: Для решения задачи воспользуемся на каждого случая формулой тонкой линзы, а также формулой увеличения, даваемого линзой: Приравнивая левые части уравнения и решая полученное уравнение, находим высоту предмета: Используя первое уравнение, можем найти фокусное расстояние. Новости физики Олимпиады Дистанц. Найти ускорение и скорость автомобиля. Мыльная пена в бутылке. После многократного встряхивания пластиковой бутылки, в которой осталось немного средства для мытья посуды, она оказалась полностью заполненной пеной. Определите плотность пены, если известно, что масса содержащегося в банке воздуха равна массе моющего средства. Какое количество теплоты следует сообщить куску льда, чтобы он утонул дробинка остается внутри него? В схеме, приведенной на рисунке, показания приборов таковы: Каковы будут показания приборов, если их поменять местами? Прибытие в порт Два судна двигаются прямолинейно и равномерно в один и тот же порт. В начальный момент времени положения судов и порта образуют равносторонний треугольник. В момент прибытия первого судна в порт второму остается пройти км. Найдите расстояние между судами в начальный момент времени. Крокодил Гена Крокодил Гена в свой день рождения решил напоить гостей чаем. В это время старуха Шапокляк, воспользовавшись добротой волшебника в голубом вертолете, подобралась к форточке на кухне и через нее стала бросать в кастрюлю снежки массой 50 г. С каким интервалом она их бросала, если температура воды в кастрюле после попадания первого снежка перестала меняться? Теплоемкостью кастрюли и потерями тепла пренебречь. Для этого нужно затратить количество теплоты, равное 8. Плотность вещества Ученики 7-го класса изучали тему "Плотность вещества". В качестве практического задания им было предложено изготовить смесь двух жидкостей и найти плотность смеси теоретически и экспериментально. Ученики Петя и Вася быстро изучили учебник, а затем приступили к практической работе. Вася взял равные объемы жидкостей, а Петя - равные массы. Во сколько раз отличаются плотности полученных смесей? При смешивании жидкостей химических реакций не происходит и общий объем смеси равен сумме первоначальных объемов жидкостей. Ученик Вася, смешав равные объемы, должен получить среднее значение плотности Ученик Петя должен был получить другую формулу, так как массы жидкостей равны 9. Радиобуй С самолет, летящего на высоте м, был сброшен глубоководный радиобуй. Начальная скорость буя относительно земли равна нулю. Движение в воздухе - свободное падение. Попадая в воду, буй начинает замедляться, причем его скорость линейно убывает с глубиной. Достигнув глубины 25 м, он останавливается и начинает посылать радиосигналы. Постройте графики зависимости скорости от координаты и ускорения от координаты для каждого случая - движения буя в воздухе и в воде. За координату х принять расстояние буя до поверхности воды. Шар в воде В сосуде с водой находится пробковый шар объемом V, который удерживается от всплытия деревянной горизонтальной полкой, прикрепленной к стенке сосуда. Стенки сосуда и полка гладкие. Найти силу F, с которой шар действует на полку. Какова скорость движения поршня? Сможет ли груз оторваться от дна при повышении уровня воды во время прилива? Каким будет результат, если дно представляет собой круглая галька? Фокусное расстояние фотоаппарата Школьник решил измерить фокусное расстояние своего фотоаппарата. Для этого он сфотографировал предмет и обнаружил, что изображение предмета на фотопленке при фотографировании с расстояния 8 м имело размер 13 мм, а при фотографировании с расстояния 5 м - 21 мм. Найти фокусное расстояние объектива фотоаппарата и высоту предмета.
Король джинхын силла история
Phorum солнышко стихи
Детская площадкана дачном участкесвоими руками
Замена приводного ремня хендай ix35 своими руками
Фон для ютуба без текста